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1、 第八章：空間解析幾何與向量代數(shù) 一、重點與難點 1、重點 ①向量的基本概念、向量的線性運算、向量的模、方向角； ②數(shù)量積（是個數(shù)）、向量積（是個向量）； ③幾種常見的旋轉(zhuǎn)曲面、柱面、二次曲面； ④平面的幾種方程的表示方法（點法式、一般式方程、三點式方程、截距式方程），兩平面的夾角； ⑤空間直線的幾種表示方法（參數(shù)方程、對稱式方程、一般方程、兩點式方程）， 兩直線的夾角、直線與平面的夾角； 2、難點 ①向量積（方向）、混合積（計算）； ②掌握幾種常見的旋轉(zhuǎn)曲面、柱面的方程及二次曲面所對應(yīng)的圖形； ③空間曲線在坐標(biāo)面上的投影； ④特殊位置的平面方程（過原點、平行于

2、坐標(biāo)軸、垂直于坐標(biāo)軸等；） ⑤平面方程的幾種表示方式之間的轉(zhuǎn)化； ⑥直線方程的幾種表示方式之間的轉(zhuǎn)化； 二、基本知識 1、向量及其線性運算 ①向量的基本概念： 向量: 既有大小, 又有方向的量； 向量表示方法：用一條有方向的線段(稱為有向線段)來表示向量. 有向線段的長度表示向量的大小, 有向線段的方向表示向量的方向.； 向量的符號: 以A為起點、B為終點的有向線段所表示的向量記作. 向量可用粗體字母表示, 也可用上加箭頭書寫體字母表示, 例如, a、r、v、F或、、、； 向量的模: 向量的大小叫做向量的模. 向量a、、的模分別記為|a|、、. 單位向量: 模等于1的

3、向量叫做單位向量； 向量的平行: 兩個非零向量如果它們的方向相同或相反, 就稱這兩個向量平行. 向量a與b平行, 記作a // b. 零向量認(rèn)為是與任何向量都平行； 兩向量平行又稱兩向量共線. 零向量: 模等于0的向量叫做零向量, 記作0或. 零向量的起點與終點重合, 它的方向可以看作是任意的. 共面向量： 設(shè)有k(k3)個向量, 當(dāng)把它們的起點放在同一點時, 如果k個終點和公共起點在一個平面上, 就稱這k個向量共面； 兩向量夾角：當(dāng)把兩個非零向量a與b的起點放到同一點時, 兩個向量之間的不超過p的夾角稱為向量a與b的夾角, 記作或. 如果向量a與b中有一個是零向量, 規(guī)定

4、它們的夾角可以在0與p之間任意取值.； ②向量的線性運算 向量的加法（三角形法則）：設(shè)有兩個向量a與b, 平移向量使b的起點與a的終點重合, 此時從a的起點到b的終點的向量c稱為向量a與b的和, 記作a+b, 即c=a+b . : 平行四邊形法則: 向量a與b不平行時, 平移向量使a與b的起點重合, 以a、b為鄰邊作一平行四邊形, 從公共起點到對角的向量等于向量a與b的和a+b. 向量的加法的運算規(guī)律: (1)交換律a+b=b+a; (2)結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c). 負(fù)向量: 設(shè)a為一向量, 與a的模相同而方向相反的向量叫做a的負(fù)向量,

5、記為-a. 向量的減法: 把向量a與b移到同一起點O, 則從a的終點A向b的終點B所引向量便是向量b與a的差b-a . 向量與數(shù)的乘法： 向量a與實數(shù)l的乘積記作規(guī)定la是一個向量, 它的模|la|=|l||a|, 它的方向當(dāng)l>0時與a相同, 當(dāng)l<0時與a相反. 當(dāng)l=0時, |la|=0, 即la為零向量, 這時它的方向可以是任意的. 運算規(guī)律: (1)結(jié)合律 l(ma)=m(la)=(lm)a； (2)分配律 (l+m)a=la+ma；l(a+b)=la+lb. 向量的單位化: 設(shè)a0, 則向量是與a同方向的單位向量, 記為ea. ，于是a=|a|ea. 定理1

6、 設(shè)向量a 0, 那么, 向量b平行于a的充分必要條件是: 存在唯一的實數(shù)l, 使 b = la. ③空間直角坐標(biāo)系 在空間中任意取定一點O和三個兩兩垂直的單位向量i、j、k, 就確定了三條都以O(shè)為原點的兩兩垂直的數(shù)軸, 依次記為x軸(橫軸)、y軸(縱軸)、z軸(豎軸), 統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸. 它們構(gòu)成一個空間直角坐標(biāo)系, 稱為Oxyz坐標(biāo)系. 注: (1)通常三個數(shù)軸應(yīng)具有相同的長度單位; (2)通常把x 軸和y軸配置在水平面上, 而z軸則是鉛垂線; (3)數(shù)軸的的正向通常符合右手規(guī)則. 坐標(biāo)面: 在空

7、間直角坐標(biāo)系中, 任意兩個坐標(biāo)軸可以確定一個平面, 這種平面稱為坐標(biāo)面. x軸及y軸所確定的坐標(biāo)面叫做xOy面, 另兩個坐標(biāo)面是yOz面和zOx面. 卦限: 三個坐標(biāo)面把空間分成八個部分, 每一部分叫做卦限, 含有三個正半軸的卦限叫做第一卦限, 它位于xOy面的上方. 在xOy面的上方, 按逆時針方向排列著第二卦限、第三卦限和第四卦限. 在xOy面的下方, 與第一卦限對應(yīng)的是第五卦限, 按逆時針方向還排列著第六卦限、第七卦限和第八卦限. 八個卦限分別用字母I、II、III、IV、V、VI、VII、VIII表示. 向量的坐標(biāo)分解式: 任給向量r,

8、對應(yīng)有點M, 使. 以O(shè)M為對角線、三條坐標(biāo)軸為棱作長方體, 有 , 設(shè) , , , 則 . 上式稱為向量r的坐標(biāo)分解式, xi、yj、zk稱為向量r沿三個坐標(biāo)軸方向的分向量. 點M、向量r與三個有序x、y、z之間有一一對應(yīng)的關(guān)系 . 有序數(shù)x、y、z稱為向量r(在坐標(biāo)系Oxyz)中的坐標(biāo), 記作r=(x, y, z); 向量稱為點M關(guān)于原點O的向徑. ④利用坐標(biāo)作向量的線性運算 設(shè)a=(ax, ay, az), b=(bx, by, bz) a+b=(ax+bx, ay+by, az+bz). a-b=(ax-bx, ay-by, a

9、z-bz). la=(lax, lay, laz). 利用向量的坐標(biāo)判斷兩個向量的平行: 設(shè)a=(ax, ay, az)0, b=(bx, by, bz), 向量b//ab=la , 即b//a(bx, by, bz)=l(ax, ay, az), 于是. ⑤向量的模、方向角、投影 設(shè)向量r=(x, y, z), 作, 則 向量的模長公式 . 設(shè)有點A (x1, y1, z1)、B(x2, y2, z2), =(x2, y2, z2)-(x1, y1, z1)=(x2-x1, y2-y1, z2-z1), A、 B兩點間的距離公式為：.

10、 方向角：非零向量r與三條坐標(biāo)軸的夾角a、b、g稱為向量r的方向角. 設(shè)r=(x, y, z), 則 x=|r|cosa, y=|r|cosb, z=|r|cosg . cosa、cosb、cosg 稱為向量r的方向余弦. , , . 從而 . cos2a+cos2b+cos2g=1. 投影的性質(zhì): 性質(zhì)1 (a)u=|a|cos j (即Prjua=|a|cos j), 其中j為向量與u軸的夾角; 性質(zhì)2 (a+b)u=(a)u+(b)u (即Prju(a+b)= Prjua+Prjub);

11、性質(zhì)3 (la)u=l(a)u (即Prju(la)=lPrjua); 2、數(shù)量積、向量積、混合積 ①兩向量的數(shù)量積 數(shù)量積: 對于兩個向量a和b, 它們的模 |a|、|b| 及它們的夾角q 的 余弦的乘積稱為向量a和b的數(shù)量積, 記作ab, 即 ab=|a| |b| cosq . 數(shù)量積的性質(zhì): (1) aa = |a| 2. (2) 對于兩個非零向量 a、b, 如果 ab =0, 則 a^b; 反之, 如果a^b, 則ab =0. 如果認(rèn)為零向量與任何向量都垂直, 則a^b ab =0. 兩向量夾角的余弦的坐標(biāo)表示:

12、 設(shè)q=(a, ^ b), 則當(dāng)a0、b0時, 有 . 數(shù)量積的坐標(biāo)表示: 設(shè)a=(ax, ay, az ), b=(bx, by, bz ), 則 ab=axbx+ayby+azbz . 數(shù)量積的運算律: (1)交換律: ab = ba; (2)分配律: (a+b)c=ac+bc . (3) (la)b = a(lb) = l(ab), (la)(mb) = lm(ab), l、m為數(shù). ②兩向量的向量積 向量積: 設(shè)向量c是由兩個向量a與b按下列方式定出: c的

13、模 |c|=|a||b|sin q , 其中q 為a與b間的夾角; c的方向垂直于a與b所決定的平面, c的指向按右手規(guī)則從a轉(zhuǎn)向b來確定. 那么, 向量c叫做向量a與b的向量積, 記作ab, 即 c = ab. 向量積的性質(zhì): (1) aa = 0 ; (2) 對于兩個非零向量a、b, 如果ab = 0, 則a//b; 反之, 如果a//b, 則ab = 0. 如果認(rèn)為零向量與任何向量都平行, 則a//b ab = 0. 數(shù)量積的運算律: (1) 交換律ab = -ba; (2) 分配律:

14、 (a+b)c = ac + bc. (3) (la)b = a(lb) = l(ab) (l為數(shù)). 數(shù)量積的坐標(biāo)表示: 設(shè)a=(ax, ay, az), b=(bx, by, bz) ab = ( ay bz - az by) i + ( az bx - ax bz) j + ( ax by - ay bx) k. 為了邦助記憶, 利用三階行列式符號, 上式可寫成 =aybzi+azbx j+axbyk-aybxk-axbz j-azbyi = ( ay bz - az by) i + ( az

15、 bx - ax bz) j + ( ax by - ay bx) k. . ③三向量的混合積 混合積：先作兩向量a和b的向量積,把所得到的向量與第三個向量c再作數(shù)量積，這樣得到的數(shù)量叫做三個向量a、b、c的混合積，記作[abc] [abc]= = 混合積的幾何意義：混合積[abc]是這樣一個數(shù)，它的絕對值表示以向量a、b、c 為棱的平行六面體的體積，如果向量a、b、c組成右手系，那么混合積的符號是正的，如果a、b、c組成左手系，那么混合積的符號是負(fù)的。 三個向量a、b、c共面的充分必要條件事他們的混合積[abc]=0即 =0 3、曲面及其方程 ①曲面方程的概念

16、如果曲面S與三元方程 F(x, y, z)=0 有下述關(guān)系: (1) 曲面S上任一點的坐標(biāo)都滿足方程F(x, y, z)=0; (2) 不在曲面S上的點的坐標(biāo)都不滿足方程F(x, y, z)=0, 那么, 方程F(x, y, z)=0就叫做曲面S的方程, 而曲面S就叫做方程F(x, y, z)=0的圖形. 例如：方程 (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2. 表示球心在點M0(x0, y0, z0)、半徑為R的球面 ②旋轉(zhuǎn)曲面 以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面, 這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)曲

17、面的軸. 設(shè)在yO z 坐標(biāo)面上有一已知曲線C, 它的方程為 f (y, z) =0, 把這曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周, 就得到一個以z軸為軸的旋轉(zhuǎn)曲面. 它的方程為 , 這就是所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程. 在曲線C的方程f(y, z)=0中將y改成, 便得曲線C繞z 軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程. 同理, 曲線C繞y 軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為 . ③柱面 柱面: 平行于定直線并沿定曲線C移動的直線L形成的軌跡叫做柱面, 定曲線C叫做柱面的準(zhǔn)線, 動直線L叫做柱面的母線. 例如方程x2+y2=R2在空間直角坐標(biāo)系中表示圓柱面, 它的母線平行

18、于z軸, 它的準(zhǔn)線是xOy 面上的圓x2+y2=R2. 一般地, 只含x、y而缺z的方程F(x, y)=0, 在空間直角坐標(biāo)系中表示母線平行于z 軸的柱面, 其準(zhǔn)線是xOy 面上的曲線C: F(x, y)=0. 類似地, 只含x、z而缺y的方程G(x, z)=0和只含y、z而缺x的方程H(y, z)=0分別表示母線平行于y軸和x軸的柱面. ④二次曲面 三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面. 把平面叫做一次曲面. (1)橢圓錐面 由方程所表示的曲面稱為橢圓錐面. (2)橢球面 由方程所表示的曲面稱為橢球面. (3)單葉雙曲面 由方程所表

19、示的曲面稱為單葉雙曲面. (4)雙葉雙曲面 由方程所表示的曲面稱為雙葉雙曲面. (5)橢圓拋物面 由方程所表示的曲面稱為橢圓拋物面. (6)雙曲拋物面. 由方程所表示的曲面稱為雙曲拋物面. 雙曲拋物面又稱馬鞍面. 方程 , , , 依次稱為橢圓柱面、雙曲柱面、拋物柱面. 4 空間曲線及其方程 ①空間曲線的一般方程 設(shè)　F(x, y, z)=0和G(x, y, z)=0是兩個曲面方程, 它們的交線為C 所以C應(yīng)滿足方程組 上述方程組叫做空間曲線C的一般方程. ②空間曲線的參數(shù)方程 空間曲線C上動點的坐標(biāo)x、y、z表示

20、為參數(shù)t的函數(shù): .……..(2) 當(dāng)給定t=t1時, 就得到C上的一個點(x1, y1, z1); 隨著t的變動便得曲線C上的全部點. 方程組(2)叫做空間曲線的參數(shù)方程. ③空間曲線在坐標(biāo)面上的投影 以曲線C為準(zhǔn)線、母線平行于z軸的柱面叫做曲線C關(guān)于xOy面的投影柱面, 投影柱面與xOy面的交線叫做空間曲線C在xOy 面上的投影曲線, 或簡稱投影(類似地可以定義曲線C在其它坐標(biāo)面上的投影). 設(shè)空間曲線C的一般方程為. 設(shè)方程組消去變量z后所得的方程 H(x, y)=0 ,

21、 這就是曲線C關(guān)于xOy面的投影柱面. 曲線C在xOy 面上的投影曲線的方程為: 5 平面及其方程 ①平面的點法式方程 法線向量: 如果一非零向量垂直于一平面, 這向量就叫做該平面的法線向量. 已知平面P上的一點M0(x0, y0, z0)及它的一個法線向量n =(A, B, C)， 平面的點法式方程.為：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z- z0)=0 ②平面的一般方程 平面的一般方程為：Ax+By+Cz+D=0， 其中x, y, z的系數(shù)就是該平面的一個法線向量n的坐標(biāo), 即 n=(A, B, C). 特殊位置的平面方程： D=0, 平面過原點.

22、 n=(0, B, C), 法線向量垂直于x軸, 平面平行于x軸. n=(A, 0, C), 法線向量垂直于y軸, 平面平行于y軸. n=(A, B, 0), 法線向量垂直于z軸, 平面平行于z軸. n=(0, 0, C), 法線向量垂直于x軸和y軸, 平面平行于xOy平面. n=(A, 0, 0), 法線向量垂直于y軸和z軸, 平面平行于yOz平面. n=(0, B, 0), 法線向量垂直于x軸和z軸, 平面平行于zOx平面. 求這平面的方程 ③平面的截距式方程為： .(其中a0, b0, c0).該平面與x、y、z軸的交點依次為P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)

23、、R(0, 0, c)三點, 而a、b、c依次叫做平面在x、y、z軸上的截距. ④平面的三點式方程為：=0其中M()，N() P()是平面上的三點。 ⑤兩平面的夾角 兩平面的夾角: 兩平面的法線向量的夾角(通常指銳角)稱為兩平面的夾角. 設(shè)平面P1和P2的法線向量分別為n1=(A1, B1, C1)和n2=(A2, B2, C2), 那么平面P1和P2的夾角q 應(yīng)是和兩者中的銳角, 平面P1和P2垂直相當(dāng)于A1 A2 +B1B2 +C1C2=0; 也即 平面P 1和P 2平行或重合相當(dāng)于.也即 設(shè)P0(x0, y0, z0)是平面Ax+By+Cz+D=0外一

24、點, P0到這平面的距離公式為. d 6 空間直線及其方程 ①空間直線的一般方程 空間直線L可以看作是兩個平面P1和P2的交線. 如果兩個相交平面P1和P2的方程分別為A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0, 那么直線L滿足方程組 . (1) 上述方程組叫做空間直線的一般方程. ②空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程 方向向量: 如果一個非零向量平行于一條已知直線, 這個向量就叫做這條直線的方向向量. 容易知道, 直線上任一向量都平行于該直線的方向向量. 已知直線L通過點M0(x0, y0, x0), 且直線的方向向量為

25、s = (m, n, p), 則直線L的方程為： 叫做直線的對稱式方程或點向式方程. 注: 當(dāng)m, n, p中有一個為零, 例如m=0, 而n, p0時, 這方程組應(yīng)理解為 ; 當(dāng)m, n, p中有兩個為零, 例如m=n=0, 而p0時, 這方程組應(yīng)理解為 . 設(shè), 得方程組 . 此方程組就是直線L的參數(shù)方程. ③兩直線的夾角 兩直線的方向向量的夾角( 通常指銳角)叫做兩直線的夾角. 設(shè)直線L1和L2的方向向量分別為s1=(m1, n1, p1)和s2=(m2, n2, p2), 那么L1和L2的夾角j就是

26、和兩者中的銳角, 因此 設(shè)有兩直線L1:, L2:, 則 L 1^L 2m1m2+n1n2+p1p2=0; l// IIL2 ④直線與平面的夾角 當(dāng)直線與平面不垂直時, 直線和它在平面上的投影直線的夾角j稱為直線與平面的夾角, 當(dāng)直線與平面垂直時, 規(guī)定直線與平面的夾角為. 設(shè)直線的方向向量s=(m, n, p), 平面的法線向量為n=(A, B, C), 直線與平面的夾角為j , 那么, 因此 . 因為直線與平面垂直相當(dāng)于直線的方向向量與平面的法線向量平行, 所以, 直線與平面垂直相當(dāng)于 . 因為直線與平面平行或直線在平

27、面上相當(dāng)于直線的方向向量與平面的法線向量垂直, 所以, 直線與平面平行或直線在平面上相當(dāng)于 Am+Bn+Cp=0. 設(shè)直線L的方向向量為(m, n, p), 平面P的法線向量為(A, B, C) , 則 L^P ; L/ / P Am+Bn+Cp=0. 三、疑難點解析 （1）數(shù)量積、向量積、混合積易混怎么辦？ 答：數(shù)量積是一個數(shù)量無方向、向量積是個向量有方向，算出來的向量垂直于兩向量 構(gòu)成的平面，且滿足右手法則?；旌戏e也是個常數(shù)。 數(shù)量積：ab=|a| |b| cosq . =axbx+ayby+azbz . 向量積

28、c = ab. ， |c|=|a||b|sin q , =aybzi+azbx j+axbyk-aybxk-axbz j-azbyi 混合積： [abc]= = （2）已知平面圖形的方程如何求出該圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)后所得旋轉(zhuǎn)體的方程？ 答：求旋轉(zhuǎn)曲面方程的口訣用通俗的語言描述就是：：“繞誰（如x）旋轉(zhuǎn)誰不變，另外一個字母變成”。 （3）同一個方程在空間和在平面中表示的圖形為何不一樣？ 答：例如：，在平面上只有兩個坐標(biāo)，所以表示的是一個圓，但在空間中是三維坐標(biāo)的，這個方程表示的就是圓柱了，即當(dāng)滿足上述方程，則對任意的z, 也滿足這個方程。 （4）求平面方程有幾

29、種方法，具體用于求平面方程時要注意哪些關(guān)鍵的東西？ 答：求平面方程時最關(guān)鍵的就是要找到平面中的一個點和平面的法向量，求平面的法向量經(jīng)常會用到兩向量的叉乘的方向的性質(zhì)來解決法向量，也即找到兩個向量做叉乘后所得到的向量便可做所求向量的法向量。 （5）解與直線和平面相關(guān)的題時如何分析？ 答：但凡涉及平面的找法向量，但凡涉及直線的找方向向量。然后在根據(jù)具體題來分析該如何使用法向量和方向向量。 四、考點分析 （一）向量的的基本概念的相關(guān)知識 例1、平行于向量的單位向量為______________. 解： 例2、 設(shè)已知兩點，計算向量的模，方向余弦和方向角. 解、

30、=（-1，-，1） =2,, 例3、 設(shè)，求向量在x軸上的投影，及在y軸上的分向量. 解 ：a=13i+7j+15k, 所以在x軸上的投影為13，在y軸上的分量為7j 例4、 在空間直角坐標(biāo)系{O;}下，求M(a, b, c)關(guān)于 (1) 坐標(biāo)平面；(2) 坐標(biāo)軸；(3) 坐標(biāo)原點的各個對稱點的坐標(biāo). [解]：M (a, b, c)關(guān)于xOy平面的對稱點坐標(biāo)為(a, b, －c)， M (a, b, c)關(guān)于yOz平面的對稱點坐標(biāo)為(－a, b, c)， M (a, b, c)關(guān)于xOz平面的對稱點坐標(biāo)為(a,－b, c)， M (a, b, c)關(guān)于x軸平面的對稱

31、點坐標(biāo)為(a,－b,－c)， M (a, b, c)關(guān)于y軸的對稱點的坐標(biāo)為(－a, b,－c)， M (a, b, c)關(guān)于z軸的對稱點的坐標(biāo)為(－a,－b, c). M (a, b, c)關(guān)于原點對稱的對稱點的坐標(biāo)為(－a,－b, —c). （二）向量的數(shù)量積、向量積、混合積的計算 例5、設(shè)，求(1)(3)a、b的夾角的余弦. 解：（1） （2）， （3） 例6、知，求與同時垂直的單位向量. 解： 即為所求單位向量。 例7、已知，求的面積 解：思路：=答案： 其中，|OA|= 例8、求單位向量，使且軸，

32、其中. 解：取，則。 ==8j-6k,| |=10,=,答案： 例9、 解：=,。tan,答案： 例10．已知矢量互相垂直，矢量與的夾角都是，且計算： 解： 例11、已知平行四邊形以﹛1，2，-1﹜，﹛1，-2，1﹜為兩邊 求它的邊長和內(nèi)角 求它的兩對角線的長和夾角 解： ∴或 ，. ∴ 例12、已知,試求:

33、 解: ∴4. 原式= . 原式==9 例13、已知直角坐標(biāo)系內(nèi)矢量的分量,判別這些矢量是否共面?如果不共面,求出以它們?yōu)槿忂呑鞒傻钠叫辛骟w體積. , , . , , . 解: 共面 ∵= ∴向量共面 不共面 ∵= ∴向量不共面 以其為鄰邊作成的平行六面體體積

34、 （三）求平面的曲線與曲面 例14.一動點到的距離恒等于它到點的距離一半，求此動點的軌跡方程，并指出此軌跡是什么圖形？ 解：動點在軌跡上的充要條件是。設(shè)的坐標(biāo)有 化簡得 故此動點的軌跡方程為 此軌跡為橢圓 例15、 把下面的平面曲線的普通方程化為參數(shù)方程. ⑴; ⑵ ; ⑶. 解:⑴ 令,代入方程 得 參數(shù)方程為. ⑶令代入方程 得 當(dāng)時,當(dāng)時, 故參數(shù)方程為. (四)空間的曲線與曲面方程及投影 例15、 一動點移動時，與及平面等距離，求該動點的軌跡方

35、程。 解：設(shè)在給定的坐標(biāo)系下，動點，所求的軌跡為， 則 亦即 由于上述變形為同解變形，從而所求的軌跡方程為 例16、 求下列各球面的方程： （1）中心，半徑為； （2）中心在原點，且經(jīng)過點； （3）一條直徑的兩端點是 （4）通過原點與 （5）求中心在且與平面相切的球面方程。 . 解：（1）所求的球面方程為： （2）球面半徑 所以類似上題，得球面方程為 （3）球面的球心坐標(biāo)，球的半徑，所以球面方程為： （4）設(shè)所求的球面方程為： 因該球面經(jīng)過點，所以 （1） 解（1）有

36、所求的球面方程為 （5）球面的半徑為C到平面：的距離，它為： ， 所以，要求的球面的方程為： . 即： 例17、（1)將xOy坐標(biāo)面上的繞x軸旋轉(zhuǎn)一周，生成的曲面方程為 __ _____________，曲面名稱為___________________. 2)將xOy坐標(biāo)面上的繞x軸旋轉(zhuǎn)一周，生成的曲面方程 _____________，曲面名稱為___________________. 3)將xOy坐標(biāo)面上的繞x軸及y軸旋轉(zhuǎn)一周，生成的曲面方 程為_____________，曲面名稱為_____________________.

37、 4）在平面解析幾何中表示____________圖形。在空間解析幾何中 表示______________圖形. 解：求旋轉(zhuǎn)曲面方程的口訣：“繞誰（如x）旋轉(zhuǎn)誰不變，另外一個字母變成” （1) ,旋轉(zhuǎn)拋物面 （,球面 （3)繞x軸：旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面 繞y軸：旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面 （4）、拋物線，拋物柱面 5）畫出下列方程所表示的曲面 (1) 解： (2) 解 例18、（1）、指出方程組在平面解析幾何中表示____________圖形，在空間= 析幾何中表示______

38、________圖形. （2）、求球面與平面的交線在xOy面上的投影方程. （3）、求上半球與圓柱體的公共部分在 xOy面及xOz面上的投影. （4）、求曲線在坐標(biāo)面上的投影曲線的方程，并指出原曲線是什么曲線？ 解：（1）、平面解析幾何表示橢圓與其一切線的交點；空間解析幾何中表示橢圓柱面與其切平面的交線。 （2）、 （3）、在xoy面的投影為：， 在xOz面的投影為（？）： (4)、先求投影柱面方程，答案：原曲線在面上的投影曲線方程為 。原曲線是由旋轉(zhuǎn)拋物面被平面所截的拋物線。 例19、已知柱面的準(zhǔn)線為： 母線平行于軸，求該柱面方程； 解：從

39、方程 中消去，得到： 即： 此即為要求的柱面方程。 例20、已知橢圓拋物面的頂點在原點，對稱面為面與面，且過點和，求這個橢圓拋物面的方程。 解：據(jù)題意可設(shè)，要求的橢圓拋物面的方程為： 令確定與 和均在該曲面上。 有： 從而 所以要求的橢圓拋物面的方程為： 即： （五）求平面方程等相關(guān)知識點的各類常見的重要題型（找到平面過的點和平面的法向量） 注意利用兩向量的叉乘知識來解決平面的法向量。 例21（1）、求過點(3,0,-1)且與平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程. 解：平面過點為（3,0，-1），且與平面3x-7y+5z-1

40、2=0平行，所以所求平面的法向量為,再由平面方程的點法式方程知所求方程為： （2）、求過點(1,1,-1)，且平行于向量a=(2,1,1)和b=(1,-1,0)的平面方程. 解：因為所求平面平行于向量a=(2,1,1)和b=(1,-1,0)，所以知道平面的法向量垂直于向量a=(2,1,1)和b=(1,-1,0)，根據(jù)向量的叉乘知，在由點法式方程知所求平面為：。 （3）、求平行于xOz面且過點(2,-5,3)的平面方程. 解：所求平面平行于xOz面，所以垂直y軸，所以可以用z軸上的單位向量（0,1,0）為法向量，再由點法式方程知所求平面為：

41、（4）、求平行于x軸且過兩點(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程. 解：因為平面過兩點M(4,0,-2)和N(5,1,7)，所以過向量=（1,1，9）,由因為所求平面平行于x軸，所以平面平行于x軸上的單位向量i=（1,0,0），從而,再由點法式方程知所求平面方程為： （5）、求過點(2,0,-3)且與直線垂直的平面方程. 解：直線的方向向量可以作為所求平面的法向量，所以，在由平面的點法式方程知所求平面為： （6）、求過點(3,1,-2)且通過直線的平面方程. 解：因為平面過直線，所以過直線上的點A（4，-3,0），已知過點B(3,1,-2),從而過向量及直線的方向

42、向量因此平面的法向量可求出，再由平面的點法式方程知所求平面為：。 （7）、求過點且與直線垂直的平面方程。 解： 所求平面方程為 即 （8）、求過點，，且垂直于的平面. 解：法一：，所求平面法向量，且 取 又平面過點，則平面方程為 解法2. 在平面上任取一點，則和共面，由三向量共面的充要條件得，整理得所求平面方程 （9）、求過直線，且與直線：平行的平面. 解：用平面束。設(shè)過直線的平面束方程為 因為所求平面與直線：平行，則所求平面的法向量()與直線的方向向量(1,-1,2),從而，因此所求平面方程為。 （10）、求通過軸其與點相距

43、8個單位的平面方程。 解：設(shè)通過軸的平面為它與點相距8個單位，從而 因此 從而得或于是有或 所求平面為或 (11)求過A(1,1,-2)，B（-2，-2,2），C（1，-1,2）三點的平面方程 （12）、已知直線，直線，求過且平行的平面方程。 解： 在上任取一點， 故所求平面方程為 即 （13）、求過軸，且與平面的夾角為的平面方程. 解：平面過軸，不妨設(shè)平面方程為，則，且（ 不全為），已知平面的法向量為，兩平面的夾角為，根據(jù)兩法向量與兩平面的關(guān)系有, 所以所求的平面方程為：或 （六）求直線方程等相關(guān)知識點的各類常見的重要題型（找出直線所過的

44、點與直線方向向量） 例22（1）、求過點(1,2,3)且平行于直線的直線方程. 解：因為所求直線平行于直線，所以可取所求直線的方向向量為（2,1,5），又因為過點（1,2,3），由直線的對稱式方程知所求直線方程為： （2）、求過點(0,2,4)且與兩平面,平行的直線方程. 解：所求直線與兩平面,平行，所以該直線垂直于這兩平面的法向量，所以也垂直于這兩法向量構(gòu)成的平面，有兩向量的叉乘知可去所求直線的方向向量為，再由直線的對稱式方程知所求直線方程為： （3）求過且平行于平面又與直線相交的直線方程。 解：設(shè)所求直線方程為 所求直線與已知平面平行，則所求直線的方向向量

45、與已知平面的法向量垂直即有 （1） 又所求直線與已知直線（相交）共面，在已知直線上任取一點，則 在平面上。三向量(所求直線，已知直線，)共面，得， 即 （2） 由（1）（2），得 所求直線方程： 程. （4）、求在平面:上，且與直線垂直相交的直線方程. 解：所求直線與已知直線L的交點，過交點且垂直于已知直線的平面為。 答案： （5）通過點和點的直線； 解：所求直線的方向向量為（5，-5,0） 由直線的對稱式方程知所求直線方程為：，亦即。 （6）通過點且與三軸分別成的直線； 解：欲求的直線的方向矢量為：， 故由直線的對稱式方程知所求直線方程為：。

46、（7）通過點且與兩直線和垂直的直線； 。 解：欲求直線的方向矢量為：，所以，直線方程為： 。 （8）用對稱式方程及參數(shù)式方程表示直線 解：，取 得 故直線的對稱式方程為 直線參數(shù)式方程為 （七）利用平面與直線的位置關(guān)系找出法向量與方向向量，求平面與直線的夾角、距離、位置關(guān)系、直線與平面的交點計算等相關(guān)知識點的各類題型 例23、 判別下列各直線之間的位置關(guān)系： （1）與 解：，， 所以 （2）與 解：， 所以 ‖ （?。┣簏c到直線的距離 例24、求原點到的距離。 解：方法（1）化為參數(shù)方程

47、 點（0，0，0）到直線上任意點的距離為（參數(shù)為的點） 方法（2）過點（0，0，0）與且直線垂直的平面方程為 將直線化為參數(shù)式方程為代入直線的垂面方程，得 所以（0，0，0）在直線上的垂足為 所求距離為 （ⅱ）求直線與平面的交點 例25、求直線與平面的交點。 解：（1）令 代入平面得 ， 所求交點為 （ⅲ）已知點在已知平面的投影計算。 例26 求點在平面上的投影。 解：過且與垂直的直線方程為 代入得 ， 故在平面上的投影

48、為 （ⅳ）涉及線面關(guān)系的綜合計算。 例23 (1)、求直線與平面的夾角. 解：設(shè)平面與直線的夾角為，直線的方向向量為，平面的法向量，=0，所以夾角為0。 （2)直線與直線的位置關(guān)系 ; 解: 直線的方向向量為 直線的方向向量為 ，所以兩直線垂直。 （3)直線和平面x+y+z=3的位置關(guān)系 解：直線的方向向量（3,1，-4）與平面的法向量（1,1,1）垂直，從而知該直線平行于平面或在平面內(nèi)，有因為直線上一點（2，-2,3）在平面內(nèi)，所以知直線在平面x+y+z=3內(nèi)。 （4）、求點A(3,-1,2)到直線的距離. 解：直線的方向向量為，求直線上的一點（可令y=0）,

49、所以直線過點B（1，0，2）,點AB之間的距離為,向量的夾角的余弦為，所以A點到直線的距離為 (6)、求兩直線：與直線：的最短距離. 解：已知兩直線的方向向量為，故垂直于兩方向向量的向 量可取為，又點在直線上 過直線且平行于的平面為，即，又點 在直線上，該點到平面的距離 為所求兩直線間的最短距離。 （7）求兩平行平面，間的距離：； 解：（1）將所給的方程化為： 所以兩平面間的距離為：2-1=1。 （8）求兩平面，所成的角； 解：（1）設(shè)：，： （9）.求下列各對直線間的角 ① ② 解 ① ∴ ② 直線

50、∴ 例24、.分別在下列條件下確定的值： （1）使和表示同一平面； （2）使與表示兩平行平面； （3）使與表示兩互相垂直的平面。 解：（1）欲使所給的兩方程表示同一平面，則： 即： 從而：，，。 （2）欲使所給的兩方程表示兩平行平面，則： 所以：，。 （3）欲使所給的兩方程表示兩垂直平面，則： 所以： 。 例25、求關(guān)于直線與點對稱的點。 解：已知直線的方向矢量為：，或為，求直線上的一點（令z=0, ）,從而直線方程為 過垂直于已知直線的平面為：，即 代入平面方程解出t= 該平面與已知直線的交點為，所以若令為P的對稱點，則： ，，

51、　　， 即。 （八）用平面束求解題；求過直線的平面可設(shè)為 例26、.求通過平面和的交線且滿足下列條件之一的平面： （1）通過原點； （2）與軸平行； （3）與平面垂直。 解：（1）設(shè)所求的平面為： 欲使平面通過原點，則須：，即， 故所求的平面方程為： 即：。 （2）同（1）中所設(shè)，可求出。 故所求的平面方程為： 即：。 （3）如（1）所設(shè)，欲使所求平面與平面垂直，則須： 從而：， 所以所求平面方程為：。 五、章節(jié)基礎(chǔ)訓(xùn)練 向量及其線性運算 一、選擇題 1. 點關(guān)于軸的對稱點坐

52、標(biāo)為-------------------------------------------------------（ ） （A） （B） （C） （D） 2. 下列哪組角可以作為某個空間向量的方向角---------------------------------------------（ ） （A） （B） （C） （D） 3. 已知A(1,0,2), B(1,2,1)是空間兩點，向量的模是：（ ） A ） B） C） 6 D）9 4. 設(shè)a={1,-1,3}, b={2,-1,2}，求c=3a-2b

53、是：（ ） A ）{-1,1,5}. B） {-1,-1,5}. C） {1,-1,5}. D）{-1,-1,6}. 5、 已知向量的終點為則起點的坐標(biāo)為 （ ）； 、 、 、 、 6、已知向量則垂直與及軸的單位向量 （ ）； 、 、 、 、 7、零向量的方向（ ）； 、是一定的； 、是任意的； 、與坐標(biāo)軸間的夾角相等； 、以上結(jié)論都不對。 8、單位向量的方向 （ ）； 、必相等； 、不相等； 、不一定相等； 、向量的方向必相同。 9、兩個單位向量（ ）

54、； 、是一定的； 、是任意的； 、與坐標(biāo)軸間的夾角相等； 、以上結(jié)論都不對。 二、填空題 1．（4）在空間直角坐標(biāo)系中，指出下列各點在哪個卦限？ (1) 第____________卦限 (2) 第____________卦限 (3) 第____________卦限 (4) 第____________卦限 2、 已知兩點與，與向量方向一致的單位向量=

55、 。 3、若，則中點坐標(biāo)為， 4、若為向量的方向角，則 __________ _______________ . 5、與的位置關(guān)系_______________ . 6、已知，，且，則（1）=_____________； （2）線段的中點坐標(biāo)為______________________。 7、已知點的向徑為單位向量，且與軸的夾角為，另外兩個方向角相等， 則點的坐標(biāo)為____________________________。 三、計算題 2、已知，，求，和

56、． 3、 設(shè)求 5、化簡． 6、已知向量與各坐標(biāo)軸成相等的銳角，若，求的坐標(biāo)。 7、試證明以三點A（4,1,9）、B（10，-1,6）、C(2,4,3)為頂點的三角形是等腰直角三角形。 數(shù)量積、向量積、混合積 一、選擇題 1、 設(shè)求是：（ ） A ）-i-2j+5k B）-i-j+3k C）-i-j+5k D）3i-3j+3k 2、設(shè)⊿的頂點為，求三角形的面積是： A ） B） C） D）3 3、下列關(guān)系式錯誤的是---------------

57、---------------------------------------------------（ ） (A) (B) (C) (D) 二、填空題 1、已知，，且，則 ． 2、與的位置關(guān)系為_________________ 3、設(shè)，，則 =_______________ =___________________________ 三、計算題 1、設(shè)，求 2、試找出一個與同時

58、垂直的向量。 3、已知，試在軸上求一點，使的面積最小。 4、設(shè)。 5、設(shè)已知向量，計算 曲面及其方程 一、選擇題 1、設(shè)球面方程為則下列點在球面內(nèi)部的是（ ）； 、 、 、 、 2、列曲面中經(jīng)過原點的曲面是（ ）； 、 、、 、 3、 曲面的圖形關(guān)于（ ）； 、平面對稱； 、平面對稱；、平面對稱； 、原點對稱。 4、在空間直角坐標(biāo)系里表示（ ）； 、一個點； 、平面； 、橢圓 、橢圓面。 5．母線平行于x軸且通過曲線的柱面方程是( )． (A) (B) (C)

59、 (D) 6、將曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周，所得的曲面為（ ） （A）圓錐面 （B）旋轉(zhuǎn)拋物面 （C）橢球面 （D）拋物柱面 7、在空間直角坐標(biāo)系中，是（ ） （A）圓 （B）球 （C）一點 （D）圓柱面 二、計算題 3、設(shè)動點與點的距離等于從這點到平面的距離的一半，試求此動點的軌跡。 4、坐標(biāo)面的曲線繞軸旋轉(zhuǎn)生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程是： 空間曲線及其方程 1、求出平面與橢球面的交線方程。 2、指出下列曲面與三個坐標(biāo)面的交線分別是什么

60、曲線？ （1）； （2）； （3）； （4） 平面及其方程 1、在空間直角坐標(biāo)系下，方程的圖形表示為（ ）； 、通過原點的直線； 、垂直于軸的直線； 、垂直于軸的平面； 、通過軸的平面。 2、直線與平面的位置關(guān)系為----------（ ） （A）平行　　 （B）垂直　　 （C）斜交　　 （D）在平面上 3. 平面與面夾角為-------------------------------------------（ ） （A） （B） （

61、C） （D） 4、 通過點且平行與平面的平面方程為（ ）； 、 、 、 、 5、在軸上的截距分別為（ ）； 、 、 、 、 6、平面（ ）； 、平行于軸； 、平行于軸； 、平行于軸； 、過原點。 7. 求兩平面和的夾角是：（ ） A ） B） C） D） 8、已知空間三點M(1,1,1)、A(2,2,1)和B（2，1，2），求∠AMB是（ ） A ） B）

62、 C） D） 9、平面與平面的位置關(guān)系是( )． (A) 相交但不垂直 (B) 互相垂直 (C) 平行但不重合 (D) 互相重合 10. 求平行于軸，且過點和的平面方程．是（ ） A）2x+3y-5=0 B）x-y+1=0 C）x+y+1=0 D）． 11、設(shè)平面方程為，且，則平面( ) （A）平行于軸 （B）平行于軸 （C）經(jīng)過軸 （D）垂直 二、填空題 1、通過原點且垂直于直線的平面方程為 ． 2、 過點且與坐標(biāo)面平行的平面方程為___________

63、_________ 3、 點到平面的距離為 ___________________ 4、判定下列兩平面之間的位置關(guān)系： （1）平面與平面 __________________ （2）平面與平面__________________________ 5、點到平面的距離d=____________________ 6、過點且平行于平面的平面方程為____________________- 7、指出下面各平面的特殊位置： （1）x=0; (2)3y-1=0; (3)2x-3y-6=0; (4)x-3y=0; (5)y+z=1; (6)x-2z=0 (7)6

64、x-z+5=0 三、計算題 1.求下列各平面的坐標(biāo)式參數(shù)方程和一般方程： （1）通過點和點且平行于矢量的平面 （2）通過點和且垂直于坐標(biāo)面的平面； （3）已知四點，，。求通過直線AB且平行于直線CD的平面，并求通過直線AB且與平面垂直的平面。 2、求下列各平面的方程： （１）通過點，且又通過直線的平面； （２）通過直線且與直線 平行的平面； （３）通過直線且與平面垂直的平面； （4）平行軸，且過點和的平面 （5）過點和且垂直于平面 3、 求下列平面的一般方程. ⑴通過點和且分別平行于三坐標(biāo)軸的三個平面; ⑵過點且在軸和軸上截距分別為和的平面; ⑶

65、與平面垂直且分別通過三個坐標(biāo)軸的三個平面; ⑷已知兩點,求通過且垂直于的平面; 4、求兩平行平面，間的距離： 5、求過三點的平面方程。 （ⅲ）二平面夾角的計算（夾角規(guī)定為[0,]）。 6、求兩平面和的夾角。 7、求與之間的距離。 9、求過點（1,2,1）而與兩直線和平行的平面的方程。 10、求證：直線包含在平面之內(nèi)。 空間直線及其方程 一、選擇題 1、 設(shè)空間直線方程則此直線經(jīng)過的點是（ ）； 、 、 、 、 2、在空間直角坐標(biāo)系里表示（ ）； 、一個點； 、兩條直線； 、兩個平面的交線，即直線 、兩個點

66、。 3、空間直線 與平面的相互位置關(guān)系是（ ） （A）互相平行但不相交 （B）互相垂直 （C）不平行也不垂直 （D）直線在平面內(nèi) 4、設(shè)直線方程為，且，則直線( )． （A）過原點 （B）平行于軸 （C）垂直于軸 （D）平行于軸 5、 求點到直線L：的距離是：（ ） A ） B C） D） 二、填空題 1、過點且垂直于平面的直線方程_________________________； 2、過點且平行于直線的直線方程____________________； 3、過點和點的直線方程________________________________________; 4、直線通過原點的條件是什么？ 5、.確定的值，使： （1）直線與平面平行則=_________________；