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1、習(xí)題三 3-1 慣性系S′相對(duì)慣性系以速度運(yùn)動(dòng)．當(dāng)它們的坐標(biāo)原點(diǎn)與重合時(shí)，==0，發(fā)出一光波，此后兩慣性系的觀測(cè)者觀測(cè)該光波的波陣面形狀如何?用直角坐標(biāo)系寫(xiě)出各自觀測(cè)的波陣面的方程． 解: 由于時(shí)間和空間都是均勻的，根據(jù)光速不變?cè)恚庥嵦?hào)為球面波．波陣面方程為： 題3-1圖 3-2 設(shè)圖3-4中車廂上觀測(cè)者測(cè)得前后門(mén)距離為2．試用洛侖茲變換計(jì)算地面上的觀測(cè)者測(cè)到同一光信號(hào)到達(dá)前、后門(mén)的時(shí)間差． 解: 設(shè)光訊號(hào)到達(dá)前門(mén)為事件，在車廂系時(shí)空坐標(biāo)為，在車站系： 光信號(hào)到達(dá)后門(mén)為事件，則在車廂系坐標(biāo)為，在車站系： 于是 或者 3-3 慣性系S′相

2、對(duì)另一慣性系沿軸作勻速直線運(yùn)動(dòng)，取兩坐標(biāo)原點(diǎn)重合時(shí)刻作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)．在S系中測(cè)得兩事件的時(shí)空坐標(biāo)分別為=6104m,=210-4s，以及=12104m,=110-4s．已知在S′系中測(cè)得該兩事件同時(shí)發(fā)生．試問(wèn)：(1)S′系相對(duì)S系的速度是多少? (2) 系中測(cè)得的兩事件的空間間隔是多少? 解: 設(shè)相對(duì)的速度為， (1) 由題意 則 故 (2)由洛侖茲變換 代入數(shù)值， 3-4 長(zhǎng)度=1 m的米尺靜止于S′系中，與′軸的夾角=30，S′系相對(duì)S系沿軸運(yùn)動(dòng)，在S系中觀測(cè)者測(cè)得米尺與軸夾角為45． 試求：(1)S′系和S系的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度.(2)S系中測(cè)得的米尺長(zhǎng)度．

3、解: (1)米尺相對(duì)靜止，它在軸上的投影分別為： ， 米尺相對(duì)沿方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)速度為，對(duì)系中的觀察者測(cè)得米尺在方向收縮，而方向的長(zhǎng)度不變，即 故 把及代入 則得 故 (2)在系中測(cè)得米尺長(zhǎng)度為 3-5 一門(mén)寬為，今有一固有長(zhǎng)度(＞)的水平細(xì)桿，在門(mén)外貼近門(mén)的平面內(nèi)沿其長(zhǎng)度方向勻速運(yùn)動(dòng)．若站在門(mén)外的觀察者認(rèn)為此桿的兩端可同時(shí)被拉進(jìn)此門(mén)，則該桿相對(duì)于門(mén)的運(yùn)動(dòng)速率至少為多少? 解: 門(mén)外觀測(cè)者測(cè)得桿長(zhǎng)為運(yùn)動(dòng)長(zhǎng)度，，當(dāng)時(shí)，可認(rèn)為能被拉進(jìn)門(mén)，則 解得桿的運(yùn)動(dòng)速率至少為： 題3-6圖 3-6兩個(gè)慣性系中的觀察者和以0.6c(c表示真空中光速)的相對(duì)速度相互接近，如果測(cè)

4、得兩者的初始距離是20m，則測(cè)得兩者經(jīng)過(guò)多少時(shí)間相遇? 解: 測(cè)得相遇時(shí)間為 測(cè)得的是固有時(shí) ∴  ， ， ， 或者，測(cè)得長(zhǎng)度收縮， 3-7 觀測(cè)者甲乙分別靜止于兩個(gè)慣性參考系和中，甲測(cè)得在同一地點(diǎn)發(fā)生的兩事件的時(shí)間間隔為 4s，而乙測(cè)得這兩個(gè)事件的時(shí)間間隔為 5s．求： (1) 相對(duì)于的運(yùn)動(dòng)速度． (2)乙測(cè)得這兩個(gè)事件發(fā)生的地點(diǎn)間的距離． 解: 甲測(cè)得,乙測(cè)得，坐標(biāo)差為′ (1)∴ 解出 (2) ∴ 負(fù)號(hào)表示． 3-8 一宇航員要到離地球?yàn)?光年的星球去旅行．如果宇航員希望把這路程縮短為3光年，則他所乘的火箭相對(duì)于地球

5、的速度是多少? 解: ∴ 3-9 論證以下結(jié)論：在某個(gè)慣性系中有兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生在不同地點(diǎn)，在有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的其他慣性系中，這兩個(gè)事件一定不同時(shí)． 證: 設(shè)在系事件在處同時(shí)發(fā)生，則，在系中測(cè)得 ， ∴ 即不同時(shí)發(fā)生． 3-10 試證明： (1)如果兩個(gè)事件在某慣性系中是同一地點(diǎn)發(fā)生的，則對(duì)一切慣性系來(lái)說(shuō)這兩個(gè)事件的時(shí)間間隔，只有在此慣性系中最短． (2)如果兩個(gè)事件在某慣性系中是同時(shí)發(fā)生的，則對(duì)一切慣性關(guān)系來(lái)說(shuō)這兩個(gè)事件的空間間隔，只有在此慣性系中最短． 解: (1)如果在系中，兩事件在同一地點(diǎn)發(fā)生，則，在系中，，僅當(dāng)時(shí)，等式成立，∴最短． (2)若在系中同

6、時(shí)發(fā)生，即，則在系中，，僅當(dāng)時(shí)等式成立，∴系中最短． 3-11 根據(jù)天文觀測(cè)和推算，宇宙正在膨脹，太空中的天體都遠(yuǎn)離我們而去．假定地球上觀察到一顆脈沖星(發(fā)出周期無(wú)線電波的星)的脈沖周期為 0.50s，且這顆星正沿觀察方向以速度0.8c離我們而去．問(wèn)這顆星的固有周期為多少? 解: 以脈沖星為系，，固有周期.地球?yàn)橄担瑒t有運(yùn)動(dòng)時(shí)，這里不是地球上某點(diǎn)觀測(cè)到的周期，而是以地球?yàn)閰⒖枷档膬僧惖冂娮x數(shù)之差．還要考慮因飛行遠(yuǎn)離信號(hào)的傳遞時(shí)間， ∴ ′ 則 3-12 6000m 的高空大氣層中產(chǎn)生了一個(gè)介子以速度=0.998c飛向地球．假定該介子在其自身靜止系中的壽命等于其平均壽命2

7、10-6s．試分別從下面兩個(gè)角度，即地球上的觀測(cè)者和介子靜止系中觀測(cè)者來(lái)判斷介子能否到達(dá)地球． 解: 介子在其自身靜止系中的壽命是固有(本征)時(shí)間，對(duì)地球觀測(cè)者，由于時(shí)間膨脹效應(yīng)，其壽命延長(zhǎng)了．衰變前經(jīng)歷的時(shí)間為 這段時(shí)間飛行距離為 因，故該介子能到達(dá)地球． 或在介子靜止系中，介子是靜止的．地球則以速度接近介子，在時(shí)間內(nèi)，地球接近的距離為 經(jīng)洛侖茲收縮后的值為： ，故介子能到達(dá)地球． 3-13 設(shè)物體相對(duì)S′系沿軸正向以0.8c運(yùn)動(dòng)，如果S′系相對(duì)S系沿x軸正向的速度也是0.8c，問(wèn)物體相對(duì)S系的速度是多少? 解: 根據(jù)速度合成定理，, ∴ 3-14 飛船以0.8

8、c的速度相對(duì)地球向正東飛行，飛船以0.6c的速度相對(duì)地球向正西方向飛行．當(dāng)兩飛船即將相遇時(shí)飛船在自己的天窗處相隔2s發(fā)射兩顆信號(hào)彈．在飛船的觀測(cè)者測(cè)得兩顆信號(hào)彈相隔的時(shí)間間隔為多少? 解: 取為系，地球?yàn)橄?，自西向東為()軸正向，則對(duì)系的速度，系對(duì)系的速度為，則對(duì)系(船)的速度為 發(fā)射彈是從的同一點(diǎn)發(fā)出，其時(shí)間間隔為固有時(shí)， 題3-14圖 ∴中測(cè)得的時(shí)間間隔為： 3-15 (1)火箭和分別以0.8c和0.6c的速度相對(duì)地球向+和-方向飛行．試求由火箭測(cè)得的速度．(2)若火箭相對(duì)地球以0.8c的速度向+方向運(yùn)動(dòng)，火箭的速度不變，求相對(duì)的速度． 解: (1)如圖，取地球

9、為系，為系，則相對(duì)的速度，火箭相對(duì)的速度，則相對(duì)()的速度為： 或者取為系，則，相對(duì)系的速度，于是相對(duì)的速度為： (2)如圖，取地球?yàn)橄?，火箭為系，系相?duì)系沿方向運(yùn)動(dòng)，速度，對(duì)系的速度為,,,由洛侖茲變換式相對(duì)的速度為： ∴相對(duì)的速度大小為 速度與軸的夾角為 題3-15圖 3-16 靜止在S系中的觀測(cè)者測(cè)得一光子沿與軸成角的方向飛行．另一觀測(cè)者靜止于S′系，S′系的軸與軸一致，并以0.6c的速度沿方向運(yùn)動(dòng)．試問(wèn)S′系中的觀測(cè)者觀測(cè)到的光子運(yùn)動(dòng)方向如何? 解: 系中光子運(yùn)動(dòng)速度的分量為 由速度變換公式，光子在系中的速度分量為 光子

10、運(yùn)動(dòng)方向與軸的夾角滿足 在第二象限為 在系中，光子的運(yùn)動(dòng)速度為 正是光速不變． 3-17 (1)如果將電子由靜止加速到速率為0.1c，須對(duì)它作多少功?(2)如果將電子由速率為0.8c加速到0.9c，又須對(duì)它作多少功? 解: (1)對(duì)電子作的功，等于電子動(dòng)能的增量，得 J= (2) ) 3-18 子靜止質(zhì)量是電子靜止質(zhì)量的207倍，靜止時(shí)的平均壽命=210-6s，若它在實(shí)驗(yàn)室參考系中的平均壽命= 710-6s，試問(wèn)其質(zhì)量是電子靜止質(zhì)量的多少倍? 解: 設(shè)子靜止質(zhì)量為，相對(duì)實(shí)驗(yàn)室參考系的速度為，相應(yīng)質(zhì)量為，電子靜止質(zhì)量為，因 由質(zhì)速關(guān)系，在實(shí)驗(yàn)室參考系中

11、質(zhì)量為： 故 3-19 一物體的速度使其質(zhì)量增加了10%，試問(wèn)此物體在運(yùn)動(dòng)方向上縮短了百分之幾? 解: 設(shè)靜止質(zhì)量為，運(yùn)動(dòng)質(zhì)量為， 由題設(shè) 由此二式得 ∴ 在運(yùn)動(dòng)方向上的長(zhǎng)度和靜長(zhǎng)分別為和，則相對(duì)收縮量為： 3-20 一電子在電場(chǎng)中從靜止開(kāi)始加速，試問(wèn)它應(yīng)通過(guò)多大的電勢(shì)差才能使其質(zhì)量增加0.4%?此時(shí)電子速度是多少?已知電子的靜止質(zhì)量為9.110-31kg． 解: 由質(zhì)能關(guān)系 ∴ ＝ 所需電勢(shì)差為伏特 由質(zhì)速公式有： ∴ 故電子速度為 3-21 一正負(fù)電子對(duì)撞機(jī)可以把電子加速到動(dòng)能＝2.8109eV．這種電子速率比光速差多少? 這

12、樣的一個(gè)電子動(dòng)量是多大?(與電子靜止質(zhì)量相應(yīng)的能量為＝0.511106eV) 解: 所以 由上式， 由動(dòng)量能量關(guān)系可得 3-22 氫原子的同位素氘(H)和氚(H)在高溫條件下發(fā)生聚變反應(yīng)，產(chǎn)生氦(He)原子核和一個(gè)中子(n)，并釋放出大量能量，其反應(yīng)方程為H + H→He + n已知氘核的靜止質(zhì)量為2.0135原子質(zhì)量單位(1原子質(zhì)量單位＝1.60010-27kg)，氚核和氦核及中子的質(zhì)量分別為3.0155，4.0015，1.00865原子質(zhì)量單位．求上述聚變反應(yīng)釋放出來(lái)的能量． 解: 反應(yīng)前總質(zhì)量為 反應(yīng)后總質(zhì)量為 質(zhì)量虧損  由質(zhì)能關(guān)系

13、得 3-23 一靜止質(zhì)量為的粒子，裂變成兩個(gè)粒子，速度分別為0.6c和0.8c．求裂變過(guò)程的靜質(zhì)量虧損和釋放出的動(dòng)能． 解: 孤立系統(tǒng)在裂變過(guò)程中釋放出動(dòng)能，引起靜能減少，相應(yīng)的靜止質(zhì)量減少，即靜質(zhì)量虧損． 設(shè)裂變產(chǎn)生兩個(gè)粒子的靜質(zhì)量分別為和，其相應(yīng)的速度, 由于孤立系統(tǒng)中所發(fā)生的任何過(guò)程都同時(shí)遵守動(dòng)量守恒定律和能(質(zhì))量守恒定律，所以有 注意和必沿相反方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)量守恒的矢量方程可以簡(jiǎn)化為一維標(biāo)量方程，再以c,c代入，將上二方程化為： ， 上二式聯(lián)立求解可得： , 故靜質(zhì)量虧損由靜質(zhì)量虧損引起靜能減少，即轉(zhuǎn)化為動(dòng)能，故放出的動(dòng)能為 3-24 有，兩個(gè)靜止

14、質(zhì)量都是的粒子，分別以=,=-的速度相向運(yùn)動(dòng)，在發(fā)生完全非彈性碰撞后合并為一個(gè)粒子．求碰撞后粒子的速度和靜止質(zhì)量． 解: 在實(shí)驗(yàn)室參考系中，設(shè)碰撞前兩粒子的質(zhì)量分別和，碰撞后粒子的質(zhì)量為、速度為，于是，根據(jù)動(dòng)量守恒和質(zhì)量守恒定律可得： ① ② 由于 代入①式得 ，即為碰撞后靜止質(zhì)量． 3-25 試估計(jì)地球、太陽(yáng)的史瓦西半徑． 解: 史瓦西半徑 地球： 則： 太陽(yáng)： 則： 3-26 典型中子星的質(zhì)量與太陽(yáng)質(zhì)量⊙＝21030kg同數(shù)量級(jí)，半徑約為10km．若進(jìn)一步坍縮為黑洞，其史瓦西半徑為多少?一個(gè)質(zhì)子那么大小的微黑洞(10-15cm)，質(zhì)量是什么數(shù)量級(jí)? 解: (1)史瓦西半徑與太陽(yáng)的相同， (2) 由 得 3-27 簡(jiǎn)述廣義相對(duì)論的基本原理和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證． 解: 廣義相對(duì)論的基本原理是等效原理和廣義相對(duì)性原理． 等效原理又分為弱等效原理和強(qiáng)等效原理．弱等效原理是：在局部時(shí)空中，不可能通過(guò)力學(xué)實(shí)驗(yàn)區(qū)分引力和慣性力，引力和慣性力等效．強(qiáng)等效原理是：在局部時(shí)空中，任何物理實(shí)驗(yàn) 都不能區(qū)分引力和慣性力，引力和慣性力等效． 廣義相對(duì)性原理是：所有參考系都是平權(quán)的，物理定律的表述相同． 廣義相對(duì)論的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證有：光線的引力偏轉(zhuǎn)，引力紅移，水星近日點(diǎn)進(jìn)動(dòng)，雷達(dá)回波延遲等．