《《高等數(shù)學(xué)》例題解析-第九講 定積分的概念與微積分基本定理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《高等數(shù)學(xué)》例題解析-第九講 定積分的概念與微積分基本定理（5頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 1第九講：定積分的概念與微積分基本定理 一、單項選擇題單項選擇題（每小題 4 分，共 24 分）1 設(shè)初等函數(shù) f x在區(qū)間,a b有定義，則 f x在,a b上一定 （C）A可導(dǎo) B可微 C可積 D不連續(xù) 解：初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)必連續(xù)，連續(xù)必可積。2若f連續(xù)，下列各式正確的是 （D）A badf x dxf xdx B df x dxf x dxdx C bxdf t dtf xdx D xadf t dtf xdx 解：xaddf t dtF xf xdxdx 選 D 3下列關(guān)系式中正確的是 （B）A B 21100 xxe dxe dx21100 xxe dxe dxC D以上都不對

2、 21100 xxe dxe dx解：（1）在0,1區(qū)間內(nèi)：22xxxxee（2）由比較定理：21100 xxe dxe dx 選 B 4下列各式中，正確的是 （B）A B21001xe dx2101xe dxe C D以上都不對 2120 xee dxe解：（1）令 2xf xe，22xfxex 0 xf0,1x （2）01,0Mfe mfe12101xe dxe由估值定理：5下列函數(shù)在區(qū)間1,1上可用牛頓萊布尼茲公式的是 （A）A21xx B1x C31x D21xx 解：2112 11221111122211d xxdxxxx0，選 A 6 設(shè)在,a b上，0,0,0f xfxfxdx

3、記，110Sf x 2Sf bba f a32baSf b，則有 （B）A12SSS3 B 213SSSC31SSS2 D 23SSS1解：選 B 二、填空題（每小題 4 分，共 24 分）7020sinln 1 4limtan1 21xxtt dxxt 解：原式=002sinln 1 4lim122xxttxx 2dt 3044lim3xxxx 8設(shè) f x 連續(xù)，且，則 xexF xf t dtFx 解：xxFxf eef x xxef ef x 9設(shè) fx連續(xù)，則102xfdx 解：11100022222xxxxfdxfdf =202xff 10設(shè) 120121f xfxx dx則 10

4、f x dx 解：令 10f x dxA，1112000121f x dxdxAdxx 10arctan2Ax A ，12A 11 設(shè) f x 8連續(xù)，且則 21301,(1xf t dtxx 解：22231 23,12f xxxf xx，令218,3xx，故 982f 12設(shè)，則y的極小值為01xytdt 解：（1）1yx0駐點1x，（2）10.1yx 為極小值點，（）極小值 101111122yxdx 三、計算題（每小題 8 分，共 64 分）13 方 程00cos0yxte dttdt，確 定 yy x，求0 xdydx 解：（1）cos0ye yx（2）當(dāng)0 x 時，00yte dt，

5、00tey（3）000cos00,1e yy0，故有01xdydx 14 設(shè) f x在0,1 10連 續(xù)，且 滿 足 3243f xx xx dfx，求 f x 解：（1）f x在0,1連續(xù)，令 10f x dxA（2）1113200043f x dxx dxAx dx 4 13 100,1AxAxAA 故有)f 121,2AA（3）32342f xxx 15討論方程4013101xxdt 3t在區(qū)間內(nèi)實根的個數(shù) 0,1解：（1）令 401311xf xxdt t 41301fxf xx 故至多有一實根 0f x（2）f x在0,1連續(xù)，且 01f0 140113 12 1101fdtt 由零

6、點定理，至少有一實根（3）綜上所述：0f x 在0,1有且僅有一個實根 16設(shè) f x在,a b連續(xù)，且在,a b單調(diào)減少，討論 t dt1xafxaF x 在區(qū)間的單調(diào)性,a b解：2xaf xx af t dtF xx a，由積分中值定理 xaf t dtfxa ax 2f xfxaFxxa f x在,a b，ff x，故 0Fx 在,a b17求2220020limxtxxte dttedt 解：原式=2222002limxtxxxxe dt exee =22202lim2xxxxeexex202lim212xx 18 設(shè) 2xaxF xf t dtxa其中f為連續(xù)函數(shù)，求 limxaF

7、 x 解：22limlimxxaaxaxaf t dtxf t dtaxaxa 22limxafaf xa f連續(xù)a 19 設(shè) 01122xf t dtf x，且 f x可導(dǎo)，0f x，求 f x 解：（1）12f xfx且 01f（2）2f xf x，1ln2f xx c，2xf xce 由 01f得1c，故有 2xf xe 20 若 f x為連續(xù)的奇函數(shù)，判別 0 xf t dt的奇偶性 解：令 0,xF xf t dt x 單調(diào)減少 00 xxtuFxf t dtfudu 4 00 xxff u duf t dtF x為奇函數(shù) 故 0 xf t dt為偶函數(shù) 同理：若 f x為連續(xù)偶函數(shù)

8、，則 0 xf t dt為奇函數(shù) 四、綜合題（每小題 10 分，共 20 分）21設(shè) 2021cos01012 1 cos0 xt dtxxF xxxxx 討論 F x在處的連續(xù)性和可導(dǎo)性 0 x解：（1）2220022 1 cos2limlim1xxxxxx 22000coslimlimcos1xxxt dtxx且 01F 故 F x在處連續(xù) 0 x（2）223002 1 cos12 2cos0limlimxxxx xxFxx 2002 sin2 cos1limlim33xxxx2xxx 2022lim03xxx 220200coscos10limlim2xxxt dtxxFxx00 00F

9、F，故 F x在0 x 處可導(dǎo) 22利用拉格郎日中值定理的推論，計算 22sincos00arcsinarccosxxtdttdt之值，其中02x 解：（1）令 22sincos00arcsinarccosxxF xtdttdt 22arcsin sinsin arccos coscosFxxxxx sin2sin20 xxxx 由拉格郎日中值定理的推論知：F xC 0,2x（2）確定常數(shù) C，0,42x 112200arcsinarccostdttdtC 120arcsinarccosCtt dt 120arcsinarccos22xxdt 12024t 故有22sincos00arcsin

10、arccos4xxtdttdt 五、證明題（每小題 9 分，共 18 分）23證明21224022xxeedxe 證：（1）令 2,0,2xxf xex 221xxfxex（2）。令 50 fx，駐點12x 選作題：若 f x為連續(xù) 偶函數(shù)，判 別 xaf t dt的奇偶性，（a 為常數(shù)）（3），0(0)1fe4 22(2)fee 解：（1）當(dāng)0a 時，0 xf t dtF x 1 114 2412fee 00 xxtuFxf t dtfudu （4）比較上述函數(shù)值大小：124,meMe，由估值定理知：0 xff u duF x 為偶函數(shù) 21224022xxeedxe 證畢 F x為奇函數(shù) 24若 f x在,a b連續(xù)，且，又 0f x 1xxabdt（2）0a 時，00()()xxaaf t dtf t dtf t dt F xtdtff t,a b，證明在有且只有一實根 F x0=偶函數(shù)+奇函數(shù)=非奇非偶函數(shù) 證：（1）10Fxf xf x xF在單調(diào)增，故,a b 0F x 在至多有一實根,a b（2）F x在,a b連續(xù)，且 10abF adtf t，10abF bdtf t 由零點定理知：0F x 在至少有一實根,a b（3）綜上所述：0F x 在,a b有且只有一實根 證畢