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1、 遂寧市高中2020級第二學期期末教學水平監(jiān)測 數 學 試 題 本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分?？偡?50分?？荚嚂r間120分鐘。 第Ⅰ卷（選擇題，滿分60分） 注意事項： 1．答題前，考生務必將自己的姓名、班級、考號用0.5毫米的黑色墨水簽字筆填寫在答題卡上。并檢查條形碼粘貼是否正確。 2．選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡對應題目標號的位置上，非選擇題用0.5毫米黑色墨水簽字筆書寫在答題卡對應框內，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。 3．考試結束后，將答題卡收回。 一、選擇題（本大題共12小題，每題5分，共60分。在每小題給出的

2、四個選項中，只有一項是符合題目要求） 1. 的值是 A． B． C． D． 2. 已知，則下列不等式正確的是 A． B． C． D． 3. 已知等比數列中，，，則 A．4 B．－4 C． D．16 4. 若向量，，，則等于 A. B. C. D． 5. 在中，＝60°，，，則等于 A．45°或135°

3、 B．135° C．45° D．30° 6. 在中，已知，那么一定是 A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D．正三角形 7. 不等式對任何實數恒成立，則的取值范圍是 A. (﹣3，0 ) B. (﹣3，0] C. [﹣3，0 ) D. [﹣3，0] 8. 《萊茵德紙草書》(Rhind Papyrus)是世界上最古老

4、的數學著作之一，書中有一道這樣的題目：把100磅面包分給5個人，使每人所得成等差數列，且使較大的兩份之和的是較小的三份之和，則最小的1份為 A. 磅 B. 磅 C. 磅 D. 磅 9. 如圖，為測得河對岸塔的高，先在河岸上選一點，使在塔底的正東方向上，此時測得點的仰角為再由點沿北偏東方向走到位置，測得，則塔的高是 A. 10 B. 10 C. 10 D. 10 10. 已知兩個等差數列和的前項和分別為和，且，則使得為質數的正整數的個數是 A．2 B．3 C．4

5、 D．5 11. 如圖，菱形的邊長為為中點，若為菱形內任意一點（含邊界），則的最大值為 A. B. C. D. 12．對于數列，定義為數列的“誠信”值，已知某數列的“誠信”值,記數列的前項和為，若對任意的恒成立，則實數的取值范圍為 A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非選擇題，滿分90分） 注意事項： 1．請用藍黑鋼筆或圓珠筆在第Ⅱ卷答題卡上作答，不能答在此試卷

6、上。 2．試卷中橫線及框內注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答題卡上作答。 二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分） 13. 不等式的解集為 ▲ . 14. 化簡 ▲ . 15. 已知，并且，，成等差數列，則的最小值為 ▲ . 16. 已知函數的定義域為,若對于、、分別為某個三角形的邊長，則稱為“三角形函數”。給出下列四個函數： ①； ②； ③；④. 其中為“三角形函數”的數是 ▲ . 三、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。） 17．（本題滿分10分） 已知,是互相垂直的兩個單位向量，，. （

7、Ⅰ）求的值； （Ⅱ）當為何值時，與共線. ▲ 18．（本題滿分12分） 已知是等比數列，，且，，成等差數列. （Ⅰ）求數列的通項公式； （Ⅱ）設，求數列的前n項和. ▲ 19．（本題滿分12分） 已知函數. （Ⅰ）求的單調遞增區(qū)間； （Ⅱ）若，，求的值. ▲ 20．（本題滿分12分） 建設生態(tài)文明是關系人民福祉、關乎民族未來的大計，是實現(xiàn)中國夢的重要內容.習近平指出：“綠水青山就是金山銀山”。某鄉(xiāng)鎮(zhèn)決定開墾荒地打造生態(tài)水果園區(qū)，其調研小組研究發(fā)現(xiàn)：一棵水果樹的產量（單位：千克）與肥料費用（單位：元）滿足如下關系：。此外，還需要投入其它成本（如施肥的人工費

8、等）元.已知這種水果的市場售價為16元/千克，且市場需求始終供不應求。記該棵水果樹獲得的利潤為（單位：元）。 （Ⅰ）求的函數關系式； （Ⅱ）當投入的肥料費用為多少時，該水果樹獲得的利潤最大？最大利潤是多少？ ▲ 21．（本題滿分12分） 如圖：在中，，點在線段上，且. （Ⅰ）若，．求的長； （Ⅱ）若，求△DBC的面積最大值． ▲ 22．（本題滿分12分） 已知數列的前項和為且 . （Ⅰ）求證為等比數列，并求出數列的通項公式； （Ⅱ）設數列的前項和為，是否存在正整數，對任意，不等式恒成立？若存在，求出的最小值，若不存在，請說明理由. ▲ 遂寧市高中2020

9、級第二學期期末教學水平監(jiān)測 數學試題參考答案及評分意見 一、選擇題（5′×12=60′） 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B A D C A B D B A D C 二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分） 13. 14.1 15.9 16.①④ 三、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.） 17．（10分） 解：（1）因為,是互相垂直的單位向量，所以 , ;

10、 …………2分 ∴ …5分 （2） ∵與共線， ∴，又不共線； …………8分 ∴ …………10分 【解法二】 解：設與的夾角為，則由， 是互相垂直的單位向量，不妨設,分別為平面直角坐標系中軸、軸方向上的單位向量，則 …………1分 （1） ∴ …………5分 （2），

11、 ∵與共線，∴ …………8分 ∴ …………10分 18．（12分） （1）設等比數列的公比為，由，，成等差數列 ∴， …………2分 即 ∴ ∴. …………6分 （2）由 …………8分

12、 兩式作差： …………10分 ∴ …………12分 19．（12分） 解:（1） ……………3分 令， ……………5分 所以，的單調遞增區(qū)間為， . ……………6分 （2） ， ∵∴∴ ……………9分 ∴ ……………10分 . ……………12分

13、20．（12分） （1） ……………6分 （2）當 ……………8分 當 當且僅當時，即時等號成立 ……………11分 答：當投入的肥料費用為30元時，種植該果樹獲得的最大利潤是430元. …12分 21．（12分） ∵ ……………1分 (1)法一、在中,設,由余弦定理可得： ① ……………2分 在和中，由余弦定理可得： 又因為 ∴得 ② ……………4分 由①②得 ∴.

14、……………6分 法二、向量法：得 ……………3分 得 ……5分 ∴ ……………6分 （2） ……………7分 由 ∴ （當且僅當取等號） ……………10分 由，可得 ∴的面積最大值為. ……………12分 22．（12分） 解析：（1)證明：當時， ……………1分 當時， ……………2分 兩式作差： 得 ，

15、 ……………4分 以1為首項，公比為2的等比數列; ……………5分 （2）代入得 ……………6分 由 ∴為遞增數列， ……………7分 ∴ ………9分 當時， ； 當時，； 當時， ； ∵ ……………11分 ∴存在正整數對任意，不等式恒成立， 正整數的最小值為1 ……………12分