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1、第2章 隨機(jī)信號(hào),2.1 隨機(jī)變量 2.1.1 概率與隨機(jī)變量 為了用數(shù)學(xué)方法研究概率問題，定義隨機(jī)變量X，有若干個(gè)可能的取值樣本x1,x2,x3…，每一個(gè)可能的取值xi稱為隨即變量x的一個(gè)樣本。樣本x1發(fā)生的概率為P(x1)，且所有樣本的概率之和為1 隨機(jī)變量可分為離散隨機(jī)變量和連續(xù)隨機(jī)變量。 2.1.2 概率分布函數(shù)和概率密度函數(shù) 1. 概率分布函數(shù)的表達(dá)式為 概率密度函數(shù)的表達(dá)式為 聯(lián)合概率分布函數(shù)和概率密度函數(shù)的表達(dá)式為 FXY(x,y)=P(X x,Y y);fXY(x,y)=,,2.1.3 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,1. 統(tǒng)計(jì)均值 隨機(jī)變量在統(tǒng)計(jì)上的平均值 其中，對(duì)X是離散變量的情況，還

2、有 2. 方差 或 3. 標(biāo)準(zhǔn)差 4. 二維隨機(jī)變量XY的協(xié)方差,2.2 隨機(jī)信號(hào)簡(jiǎn)介,2.2.1 隨機(jī)信號(hào)的定義 隨機(jī)信號(hào)為各時(shí)間點(diǎn)取值均具有隨機(jī)性的信號(hào)，也可描述為一組有序隨機(jī)變量的集合。 隨機(jī)信號(hào)X(t)的各點(diǎn)均為隨機(jī)變量。如圖所示為隨機(jī)噪聲的樣本示意圖。 2.2.2 隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特征 隨機(jī)信號(hào)X(t)的數(shù)學(xué)期望為 方差表達(dá)式為 自協(xié)方差函數(shù)表達(dá)式為 自相關(guān)函數(shù)表達(dá)式為,2.2.3 平穩(wěn)隨機(jī)過程與各態(tài)歷經(jīng)性,1. 平穩(wěn)隨機(jī)過程（平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)） 平穩(wěn)隨機(jī)過程的不同時(shí)間點(diǎn)的隨機(jī)變量從概率分布上完全相同。 2. 各態(tài)歷經(jīng)性 各態(tài)歷經(jīng)性指所有樣本的數(shù)學(xué)期望（統(tǒng)計(jì)平均）和任一個(gè)樣本從時(shí)間上取平

3、均是相等的。 通常將信號(hào)和噪聲都近似理解為平穩(wěn)各態(tài)歷經(jīng)的隨機(jī)過程。 各態(tài)歷經(jīng)平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)各種統(tǒng)計(jì)特征的物理意義： （1）統(tǒng)計(jì)均值 ，這是隨機(jī)信號(hào)的直流分量； （2）函數(shù)平方的均值 ，是隨機(jī)信號(hào)消耗在1歐姆電阻上的總功率； （3）函數(shù)均值的平方 2，是隨機(jī)信號(hào)的直流分量消耗在1歐姆電阻上的功率，簡(jiǎn)稱直流功率。 （4）均方差 2，是交流分量消耗在1歐姆電阻上的功率，簡(jiǎn)稱交流功率。,2.3 高斯隨機(jī)過程與通信中的噪聲,2.3.1 高斯（正態(tài)）分布與高斯隨機(jī)過程 一維高斯分布，其概率密度函數(shù)為 一維

4、高斯分布的概率密度函數(shù)如 圖所示。 相關(guān)計(jì)算工具：Q函數(shù)表。 由右圖可知，Q函數(shù)的性質(zhì)如下： (1)非負(fù)性； (2)Q（∞）＝0 ，Q（－∞）＝1； (3)Q(0)=0.5 ； (4)對(duì)x>0，有Q(-x)=1-Q(x)。,2.3.2 高斯白噪聲,服從高斯分布，其功率譜又在頻域上均勻分布的噪聲，稱為高斯白噪聲。 定義雙邊功率譜密度為 現(xiàn)實(shí)中的噪聲，只要在很大一段頻率域內(nèi)具有均勻功率譜，即可近似為白噪聲。 2.3.3 香農(nóng)公式 香農(nóng)公式研究的是在信道中存在著噪聲干擾的情況下計(jì)算信道公式的容量，其公式為 由香農(nóng)公式可知：信噪比越大，信道容量越大；噪聲為零，則信

5、道容量為無窮大；增大信道帶寬，可以提升信道容量。,,,2.4 通信中的平穩(wěn)隨機(jī)過程,2.4.1 平穩(wěn)隨機(jī)過程與LTI系統(tǒng) 設(shè)系統(tǒng)的輸入信號(hào)X(t)，輸出信號(hào)Y(t)，系統(tǒng)函數(shù)h(t)。則輸出信號(hào)之?dāng)?shù)學(xué)期望為 輸出信號(hào)之功率譜密度為,2.4.2 窄帶隨機(jī)過程,窄帶隨機(jī)過程（信號(hào)）：是指有效帶寬比載波頻率小得多的隨機(jī)信號(hào)。 s(t)=A(t)cos[ωct+φ(t)+θ] 同相分量和正交分量： 如圖所示為s(t)的同相分量和異相分量的提取模型。,本章小結(jié),隨機(jī)變量是指取值按照某種概率，具有不確定性的變量。隨機(jī)變量的重要統(tǒng)計(jì)特征有均值、方差、協(xié)方差、相關(guān)函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。 如果一個(gè)信號(hào)在各個(gè)時(shí)刻取值不是確定值而是服從某種概率分配，則該信號(hào)稱為隨機(jī)信號(hào)（隨機(jī)過程）。隨機(jī)過程可以看做一些列隨機(jī)變量的有機(jī)組合。 隨機(jī)過程的均值、方差是關(guān)于時(shí)間的確定函數(shù)。隨機(jī)過程的自協(xié)方差和自相關(guān)函數(shù)是關(guān)于兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)的函數(shù)。,一維高斯分布（正態(tài)分布）是常見的一種重要的概率分布。在各個(gè)時(shí)刻對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量均符合一維高斯分布的隨機(jī)過程稱為高斯隨機(jī)過程。通信電路中的多是噪聲滿足此條件。若改噪聲在系統(tǒng)的作用頻域內(nèi)保持均勻的功率譜密度，則可近似看做白噪聲，稱為高斯白噪聲。,