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1、第五章《基本圖形》（一）自我測試 ［時間:9０分鐘　分值:1０0分] 一、選擇題(每小題3分，共３０分） 1．（2010·郴州）如圖,直線ｌ1與l２相交于點O，OM⊥ｌ１，若∠α＝44°,則∠β等于（ ) A。 56° 　　　　 Ｂ. ４6° Ｃ. 45°　　 　 　 　　 D. 4４° 答案與解析：　B。 ∵ＯM⊥l１，∴∠α＋∠β=9０°，∠β=9０°-∠α=4６°。 ２.(2010·義烏）下列長度的三條線段能組成三角形的是（ 　) A。 １、2、3.５ 　　 　?。隆?4、5、9 Ｃ?！?0、１5、8 　 　　D。 5、１5、8 答

2、案與解析： C. 能組成三角形的三條線段長要求較小的兩條線段的和大于最長的一條． 3．（2010·通化)用反證法證明命題“三角形中必有一個內(nèi)角小于或等于60°"時，首先應(yīng)假設(shè)這個三角形中(　 ） A。 有一個內(nèi)角大于６0° B. 有一個內(nèi)角小于60° C. 每一個內(nèi)角都大于60° D。 每一個內(nèi)角都小于6０° 答案與解析： C．“有一個內(nèi)角小于或等于60°‘的反面是’每一個內(nèi)角都大于60°". 4。（２0１０·常德）四邊形的內(nèi)角和為( ） Ａ。 ９0°　 　 　 　 　　 B. 180° Ｃ. ３６0° 　　　 　 D． 7２0° 答案與解析：　C．

3、四邊形的內(nèi)角和等于360°。 5．（2０10·蘇州)如圖，在△ABC中，Ｄ、E兩點分別在ＢC、AC邊上。若ＢD=ＣD，∠B＝∠ＣDＥ，DE＝２,則ＡB的長度是（　 ) Ａ?！。? 　　 　　B． 5 C． 6　 　　 　 　　 Ｄ. 7 答案與解析: Ａ。 ∵∠Ｂ=∠ＣDE，∴DＥ∥AB．∵BD=ＣD，∴AＥ＝CE，∴DE是△ABＣ的中位線,DE＝AＢ,故ＡＢ=2ＤE=4。 6。（201０·銅仁）如圖,△ABC≌△DＥF,BE=4，AE＝1，則ＤE的長是（　 ) Ａ。 ５ 　 　 　 B．　4 C.　3　　 　 　 D.

4、2 答案與解析： A.　 ∵△ABC≌△DEF?！郃B=DE，又ＡB＝BE＋ＡE＝5，∴DE＝5． 7.（２010·黃石)如圖,直角梯形ABCD中,ＡD∥BＣ，∠ADC=∠BAC=９0°,AB=2，ＣＤ=，則AD的長為（ 　） Ａ. B。 2 C.　3 Ｄ． 2 答案與解析： C． 過A作ＡE⊥BC于E，則ＡDCＥ為矩形,可得AE＝ＣＤ=,在Rt△ABE中，cos∠BAE=＝，∴∠ＢAE＝30°，∴∠ＣＡE＝60°,∠CAD＝30°，又tan∠CAＤ=,∴AD＝＝=3． 8.（2０10·濰坊）如圖,已知矩形ＡBＣD，一條直線將該矩形

5、分割成兩個多邊形（含三角形），若這兩個多邊形的內(nèi)角和分別為M和Ｎ,則M＋N不可能是（　　) A. ３60°　 　 Ｂ。 540° C.?。?0° 　 　 　D. 630° 答案與解析： D。 直線可以將矩形ABCD分成兩個三角形，或一個三角形、一個四邊形，或一個三角形、一個五邊形,因此M＋N可能是３６0°，或５40°，或7２0°。 9.(2010·銅仁)如圖，順次連結(jié)四邊形ABＣＤ各中點得四邊形EFGH，要使四邊形EFGH為矩形，應(yīng)添加的條件是（　 ) A。 AB∥ＤC 　　　B?！B=DC C. AC⊥BＤ　　　　　Ｄ.　AC=ＢD 答案與解

6、析: C. 連結(jié)AC、BＤ可得中點四邊形首先是平行四邊形．∵EＦ∥AC，EＨ∥BD，∴當(dāng)ＡC⊥BD時，∴ＥF⊥EH，∴平行四邊形ＥFＧH是矩形. １0．(2010·嘉興)如圖，已知C是線段AＢ上的任意一點（端點除外）,分別以AC、ＢC為斜邊并且在ＡB的同一側(cè)作等腰直角△ACD和△ＢCＥ，連結(jié)AE交CＤ于點M,連結(jié)BD交ＣE于點N，連結(jié)MN，給出以下三個結(jié)論：①MN∥AＢ;②＝+;③MN≤AＢ,其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ) A. 0　　 ?。隆！。? 　　C。 2 　　 Ｄ。 ３ 答案與解析: Ｄ． 由Rｔ△AＤＣ與Rｔ△CＢＥ為等腰直角三角形，設(shè)BE＝ＣE＝a，則BＣ=a，設(shè)AD

7、＝ＣD＝b，則ＡＣ＝b，由△CＢＮ∽△ＡＢD，可得=，即=，∴CN=．同理,可得CM＝，∴CＭ=CＮ?！唷鰿MN為等腰直角三角形?！唷螩MＮ＝∠ＡCD=45°，∴MN∥AB,①成立；由MＮ=,==+＝+，∴②成立；MN＝，AB＝(a+ｂ)，由(a＋b)２≥4ab>０，可知③成立。 二、填空題（每小題3分,共３0分） １１.（２０10·常德)如圖,已知直線AB∥CD，直線EF與直線ＡB、CＤ分別交于點E、F，且有∠１=７0°，則∠2=________。 （第１1題） 答案與解析： 11０°. ∵AB∥ＣD，∴∠CFＥ=∠1＝70°，則∠2＝1８0°—∠ＣFE=110°。 １2。

8、（201０·銅仁)一副三角板，如圖疊放在一起，∠１的度數(shù)是__＿＿____。 (第1２題） 答案與解析： 75°。 ∠1所在三角形的另外兩個角分別是６０°,4５°,∴∠1=75°。 13．(201０·郴州）如圖，一個直角三角形紙片，剪去直角后，得到一個四邊形，則∠１＋∠2＝_＿__＿___度． (第13題) 答案與解析: ２７0°. 　∠1、∠2的兩個補角之和為90°,故∠1＋∠2＝１80°+1８0°-90°=27０°. １4。（2010·海南)如圖，在?ABCD中，ＡB=6cm，∠BCD的平分線交ＡD于點E,則DE=________cm. （第１4題) 答案與

9、解析： 6. 在?ＡBCD中，AD∥BC.∴∠DEC=∠ECB，又CE平分∠BCD，∠ECD=∠ECB,∴∠ＤEＣ＝∠ECＤ，DE＝CＤ=AB=6ｃｍ。 １5．(2０1０·濰坊)如圖,在△ＡBＣ中，AB＝BＣ，AB＝１2cｍ，Ｆ是AB邊上一點，過點F作ＦE∥ＢC交AC于點E,過點E作ED∥AB交BC于點D.則四邊形BＤＥF的周長是________cｍ. 答案與解析：　24． 　 由已知易證△AＦE與△ＥＤC也是等腰三角形，∴平行四邊形ＢDEＦ的周長＝2（BD＋DE）＝２BC=2×12=２４. 16.（２010·淮安)已知周長為8的等腰三角形，有一個腰長為３,則最短的一條中位線長為

10、＿＿＿_____。 答案與解析： 1。 　三角形三邊長為3，3，2,則最短的一條中位線長＝=１。 1７。(2０10·嘉興)如圖,已知菱形ABCＤ的一個內(nèi)角∠BＡD=８0°，對角線AＣ、ＢＤ相交于點O,點E在AB上且BE=BO，則∠AＯＥ＝__＿____＿。 答案與解析： ２5°. 　　 本題考查菱形的性質(zhì),由題意，可知∠ＢAO＝40°，∠ＡOB=９0°，再由直角三角形的銳角互余，可知∠ＡBO=50°，再由等腰三角形性質(zhì)可知∠BOＥ＝65°，∴∠AOＥ=9０°－６5°=25°。 18．(２010·溫州）勾股定理有著悠久的歷史，它曾引起很多人的興趣。19５5年希臘發(fā)行了一枚以勾股圖為

11、背景的郵票．所謂勾股圖是指以直角三角形的三邊為邊向外作正方形構(gòu)成,它可以驗證勾股定理．在下圖的勾股圖中,已知∠AＣB＝90°，∠ＢAC＝30°，AB=4．作△PQＲ使得∠R＝90°,點Ｈ在邊QR上，點D、E在邊PR上,點Ｇ、F在邊PQ上，那么△PQR的周長等于______＿＿。 　 答案與解析： 27＋１3　?！? 本題考查勾股定理，解直角三角形和正方形的性質(zhì),如圖，延長BA交QR于點M,根據(jù)題意，可得AM⊥QR，四邊形ADRM是矩形，△QＧH是等邊三角形，∴QH＝HG=AＨ=AＣ=2 ，HM＝siｎ∠HAM·ＨＡ＝×2 ＝3，MＲ＝ＡＤ=AB＝4，∴QＲ=7＋2 ，PＱ=2（7+2　）＝

12、１４+4 ，ＰR＝（７+2 ）＝6＋7 ，因此，△ＰQR的周長等于QＲ+PQ+PＲ=27＋13　。 1９.（２010·青島）一張矩形紙片（矩形ABCD）按如圖方式折疊,使頂點B和Ｄ重合，折痕為EＦ,若AB=3cm,BC＝5cm，則重疊部分△ＤＥＦ的面積是_____＿＿＿cm2． 答案與解析: 5．１． 　本題考查矩形的性質(zhì)及圖形的變換，設(shè)BＦ=DF＝x，則FC＝5－x，在Rt△ＤCＦ中，有DF2＝CＤ2+CF2,即x2＝(5－ｘ）2＋32，解得x＝３.4?！摺螦′ＤE＋∠EDF=90°,∠CDF＋∠EDＦ=90°,∴∠A′DE＝∠ＣＤＦ,∵Ａ′Ｄ=CD，∴∠A′=∠C，∴△A′D

13、E≌△CDF，∴DE=DF?！啵印鱀EF＝DＥ·AB=×3.４×3＝５．1。 20．(2010·沈陽)若等腰梯形ABCＤ的上、下底之和為2，并且兩條對角線所成的銳角為６０°，則等腰梯形ABCD的面積為____＿＿__． 答案與解析： 或. 　 本題考查等腰梯形的相關(guān)性質(zhì)及計算,可平移其中一條對角線，根據(jù)等腰梯的對角線相等及一個角為60°，可得一個等邊三角形或一個頂角為１２０°的等腰三角形，分兩種情況計算:(1)當(dāng)是等邊三角形時,此時上、下底之和恰好等于等邊三角形的邊長,梯形的高等于等邊三角形的高,作等邊三角形的一條高，利用直角三角形可求得梯形的高為,∴梯形ABCD的面積為×２×＝；（２)當(dāng)

14、是一個頂角為12０°的等腰三角形，底邊上的高等于梯形的高,同樣,可得梯形的高為，梯形AＢCＤ的面積為×2×＝. 三、解答題（２1題6分，2２~24題各８分,25題10分，共4０分） 21．（2０10·武漢）如圖．點B，F(xiàn)，Ｃ，Ｅ在同一條直線上，點A,Ｄ在直線BE的兩側(cè)，AB∥DE，ＡＣ∥DF，BF=ＣＥ.求證：AC=DF. 證明：∵ＢＦ=CE， ∴ＢＦ＋ＦC=ＣE＋FC,即ＢC=FE． ∵AB∥ＤE，ＡC∥DF, ∴∠Ｂ=∠E，∠ACB＝∠ＤＦE， ∴△ABＣ≌△DEＦ（AＳA)， ∴AC＝DＦ。 22．（2010·泰州）如圖，四邊形ABCD是矩形，∠ＥＤC=∠ＣAＢ,∠

15、DＥＣ＝90°。 (１)求證：ＡC∥ＤE； (2）過點B作BF⊥ＡC于點Ｆ，連結(jié)EF，試判別四邊形BCEF的形狀,并說明理由． 解：（1)證明：在矩形ＡBCＤ中,ＡB綊CD， ∴∠CAB＝∠ＡＣD． ∵∠EDC＝∠CAB, ∴∠ＡＣD=∠ＥDＣ, ∴AC∥DE． （２)四邊形BＣEF為平行四邊形，理由如下： ∵BF⊥AC, ∴∠ＢＦＡ＝∠ＤＥC=９0°， 又∵∠EＤC＝∠ＣAB, DＣ＝AB， ∴△ＥDＣ≌△FAB（ＡＡS）， ∴EＣ＝BF。 ∵AＣ∥ＤE, ∴∠ACE＋∠DEC=1８0°， ∴∠ＡCE=９0°,EC⊥AC。 又ＢF⊥ＡC, ∴EC∥B

16、Ｆ． ∴四邊形ＢCEF是平行四邊形. 23.(2010·聊城）如圖,AＤ∥ＦE，點B、C在AD上,∠１=∠2,ＢF＝BC. （１)求證:四邊形ＢCEF是菱形； (2）若AB＝BＣ＝ＣD，求證：△ACF≌△ＢDＥ． 證明:（1)設(shè)BE交CF于點Ｏ， ∵BF=BC，∠１=∠２， ∴BO⊥FC，ＦO＝ＣＯ． 又AD∥ＦE, ∴∠FEO＝∠２，∠EFO=∠BCＯ, ∴△ＢCＯ≌△EFO， ∴ＢO＝ＥO． 又ＦO=CO， ∴四邊形BCＥF是平行四邊形. 又ＢE⊥FC，∴?BCEF是菱形． (２）在菱形BCＥＦ中， BC=BF,BE⊥CＦ． ∵ＡB＝BC=CD， ∴

17、BＦ＝AB＝ＢＣ=AＣ, ∴△AFC是直角三角形,∠AFC＝90°． 同理△ＢＤE是直角三角形，∠BED＝９０°. ∴AF∥BＥ，∠Ａ＝∠2, ∴四邊形AFEB為平行四邊形,∴ＡＦ＝BE。 又∵又AC＝2BＣ＝BD, ∴△AＣF≌△BDE（SAＳ）. ２4．(２０1０·衡陽)如圖,在正方形ABCD中，點Ｅ、F分別在ＢC、ＣD上移動,但A到ＥＦ的距離AH始終保持與AB長相等,問在E、Ｆ移動過程中： （１）∠ＥAF的大小是否有變化?請說明理由． （2)△ECF的周長是否有變化？請說明理由。 解：（１)保持不變,為45°，理由如下:在正方形AＢＣD中, AB=AD,∠BAD

18、=90°. ∵AH⊥ＥF，∴∠ＡHE=∠B=90°. 又∵AE=AE,ＡH＝AＢ， ∴△ABE≌△ＡHE（HL）， ∠HＡＥ＝∠BAE. 同理：△ＡDF≌△AHF, ∴∠HAF=∠DＡＦ。 ∴∠ＥAF＝∠HAＥ＋∠HＡＦ＝∠BＡＤ＝45°，∴保持不變． （2）保持不變，理由如下： ∵△AＢE≌△AHＥ, ∴EH=EB． 同理：FH＝FD. ∴△EＣF的周長=ＥC＋FC＋EF=ＥC+EH＋FC＋FH=ＥC＋EB＋FC+FDCB＋CＤ＝2ＣＤ， ∴保持不變． 25．（2０10·蘇州）如圖，在△ＡＢＣ中，∠C＝90°，AC=8，BC=６。P是AB邊上的一個動點(異于A、B

19、兩點）,過點Ｐ分別作AＣ、BＣ邊的垂線，垂足為M、N.設(shè)AP＝x。 （1）在△ＡBＣ中，AＢ＝＿＿＿＿_＿__； （2）當(dāng)x＝_＿__＿__＿時,矩形PMＣN的周長是14； （3）是否存在x的值，使得△ＰAM的面積、△PBN的面積與矩形PMCN的面積同時相等?請說出你的判斷，并加以說明． 解：（1）10　(2）5 （３）不存在，理由如下：解法一:∵ＰM⊥AＣ,PN⊥ＢC, ∴∠AMＰ＝∠ＰNB＝９0°． ∵AC∥ＰN, ∴∠A＝∠ＮＰB， ∴△AＭP∽△PＮB， ∴當(dāng)P為AB中點，即AP＝PB時，△ＡMＰ≌△PNＢ。 ∴此時Ｓ△AMP=Ｓ△PＮB＝AM·MP=×4×3

20、=6, 而矩形PMCＮ面積＝ＰＭ·MC＝3×４=１2， ∴不存在能使得△ＰＡM的面積、△ＰBN的面積與矩形ＰMＣN的面積同時相等的ｘ的值 解法二：∵PM⊥AＣ,PN⊥ＢC， ∴∠AＭＰ＝∠PNB＝9０° ∵在Rt△ＡBC中，sinA=，ｃosA=, ∴AＭ=AＰ·cosA=x，即MP＝AP·sinA＝ｘ, ∴MC=AC—AM=8－x, NB=ＢＣ－CN=6－x， ∴S△ＡMＰ=ＡM·ＭＰ=ｘ2， S△PＮＢ＝PN·NB＝(10－x)２。 若S△AMP＝S△PNB,則x＝５。 此時S△AMP=S△ＰNB=6． 而矩形ＰMCN面積＝PM·MC=３×4＝１2。 ∴不存在能使得△PAM的面積、△PBN的面積和矩形ＰＭCN面積同時相等的x的值． 不足之處，敬請諒解 9 / 9