《2019九年級數(shù)學上冊 第二十四章 圓 小專題13 證明切線的兩種常用方法習題 新人教版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2019九年級數(shù)學上冊 第二十四章 圓 小專題13 證明切線的兩種常用方法習題 新人教版（7頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 小專題?13 證明切線的兩種常用方法 類型?1 直線與圓有交點 直線過圓上某一點，證明直線是圓的切線時，只需“連半徑，證垂直，得切線”．“證垂 直”時通常利用圓中的關系得到?90°的角，如直徑所對的圓周角等于?90°等． 【例?1】 (山西中考改編)如圖，AB?為⊙O?的直徑，點?C?在⊙O?上，點?P?是直徑?AB?上的一點(不 與?A，B?重合)，過點?P?作?AB?的垂線交?BC?的延長線于點?Q.在線段?PQ?上取一點?D，使?DQ＝DC，連 接?DC，試判斷?CD?與⊙O?的位置關系，并說明理由．

2、 解：CD?是⊙O?的切線． 理由：連接?OC，∵OC＝OB，∴∠B＝∠OCB. 又∵DC＝DQ，∴∠Q＝∠DCQ. ∵PQ⊥AB，∴∠QPB＝90°. ∴∠B＋∠Q＝90°. ∴∠OCB＋∠DCQ＝90°. ∴∠DCO＝∠180°－(∠OCB＋∠DCQ)＝90°. ∴OC⊥DC. ∵OC?是⊙O?的半徑，∴CD?是⊙O?的切線． 1．(山西中考改編)如圖，四邊形?ABCD?是平行四邊形，以?AB?為直徑的⊙O?經(jīng)過點?D，E?是⊙O?上 一點，且∠AED＝45°.

3、試判斷?CD?與⊙O?的位置關系，并說明理由． 解：CD?與⊙O?相切． 1 理由：連接?OD， 則∠AOD＝2∠AED＝2×45°＝90°， ∵四邊形?ABCD?是平行四邊形， ∴AB∥DC. ∴∠CDO＝∠AOD＝90°. ∴OD⊥CD. ∵OD?是⊙O?的半徑， ∴CD?與⊙O?相切． 2．(常德中考)如圖，已知⊙O?是△ABC?的外接圓，AD?是⊙O?的直徑，且?BD＝BC，延長?AD?到點?E， 且有∠EBD＝∠CAB

4、.求證：BE?是⊙O?的切線． 證明：連接?OB，∵BD＝BC， ∴∠CAB＝∠BAD. ∵∠EBD＝∠CAB， ∴∠BAD＝∠EBD. ∵OA＝BO， ∴∠BAD＝∠ABO. ∴∠EBD＝∠ABO. ∵AD?是⊙O?的直徑， ∴∠ABD＝90°. ∴∠OBE＝∠EBD＋∠OBD＝∠ABO＋∠OBD＝∠ABD＝90°. ∵點?B?在⊙O?上，且?OB?為⊙O?的半徑， ∴BE?是⊙O?的切線． ．如圖， ABC?中，AB＝AC，以?AB?為直徑的⊙O?交?BC?于?

5、E，D?為?AC?延長線上一點，且∠DBC＝ 2 1 2  ∠CAB，求證：BD?是⊙O?的切線． 2 2 證明：連接?AE，∵AB?為⊙O?的直徑，∴∠AEB＝90°. 又∵AB＝AC， ∴AE?平分∠CAB. 1 ∴∠BAE＝?∠BAC， 1 ∵∠DBC＝?∠CAB， ∴∠DBC＝∠BAE. ∵∠BAE＋∠ABE＝90°， ∴∠DBC＋∠ABE＝90°，即∠ABD＝90°. ∴BD⊥OB.又?OB?為⊙O?

6、的半徑， ∴BD?是⊙O?的切線． 4．(永州中考改編如圖， ABC?是⊙O?的內(nèi)接三角形，AB?為直徑，過點?B?的切線與?AC?的延長線 交于點?D，E?是?BD?中點，連接?CE.求證：CE?是⊙O?的切線． 2 證明：連接?CO，OE， ∵AB?為⊙O?的直徑， ∴∠ACB＝90°.∴∠BCD＝90°. ∵E?是?BD?中點， 1 ∴CE＝BE＝?BD. 又∵OC＝OB，OE＝OE， 3 ∴ COE≌ BOE.∴∠

7、OC＝∠OBE. ∵BD?為⊙O?的切線，∴∠OBE＝90°. ∴∠OCE＝90°.∴CE?是⊙O?的切線． 5．(麗水中考)如圖，AB?是以?BC?為直徑的半圓?O?的切線，D?為半圓上一點，AD＝AB，AD，BC?的 延長線相交于點?E. (1)求證：AD?是半圓?O?的切線； (2)連接?CD，求證：∠A＝2∠CDE. 證明：(1)連接?OD，BD， ∵AB?是⊙O?的切線， ∴AB⊥BC，即∠ABO＝90°. ∵AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB. ∵OB＝OD，

8、 ∴∠DBO＝∠BDO. ∴∠ABD＋∠DBO＝∠ADB＋∠BDO. ∴∠ADO＝∠ABO＝90°. 又?OD?為⊙O?的半徑，∴AD?是半圓?O?的切線． (2)由(1)知，∠ADO＝∠ABO＝90°， ∴∠A＝360°－∠ADO－∠ABO－∠BOD ＝180°－∠BOD＝∠DOC. ∵AD?是半圓?O?的切線，∴∠ODE＝90°. ∴∠ODC＋∠CDE＝90°. ∵BC?是⊙O?的直徑，∴∠ODC＋∠BDO＝90°. ∴∠BDO＝∠CDE. ∵∠BDO＝∠OBD，∴∠DOC＝2∠BDO. 4

9、 ∴∠DOC＝2∠CDE. ∴∠A＝2∠CDE. 類型?2 不確定直線與圓是否有交點 直線與圓沒有已知的公共點時，通?！白鞔怪?，證半徑，得切線”．證明垂線段的長等于半徑 常用的方法是利用三角形全等或者利用角平分線上的點到角的兩邊的距離相等． 【例?2】 (貴港中考改編如圖，在 ABC?中，AB＝AC，O?為?BC?的中點，AC?與半圓?O?相切于點 D. (1)求證：AB?是半圓?O?所在圓的切線； (2)若∠ABC＝60°，AB＝12，求半圓?O?所在圓的半徑．

10、 2 解：(1)證明：連接?OD，OA，作?OE⊥AB?于點?E， ∵AB＝AC，O?為?BC?的中點， ∴∠CAO＝∠BAO. ∵OD⊥AC?于點?D，OE⊥AB?于點?E， ∴OD＝OE. ∵AB?經(jīng)過圓?O?半徑的外端， ∴AB?是半圓?O?所在圓的切線． (2)∵AB＝AC，∠ABC＝60°， ∴△ABC?是等邊三角形． ∴BC＝AB＝12. ∵點?O?為?BC?的中點，∴BO＝6. 由(1)可知∠BOE＝30°. 1 在?Rt△OBE?中，BE＝?BO＝3， OE＝?OB2－BE2＝3?3

11、. ∴半圓?O?所在圓的半徑為?3?3. 5 6．如圖，O?為正方形?ABCD?對角線?AC?上一點，以?O?為圓心，OA?長為半徑的⊙O?與?BC?相切于點?M， 與?AB，AD?分別相交于點?E，F(xiàn).求證：CD?與⊙O?相切． 證明：連接?OM，過點?O?作?ON⊥CD?于點?N， ∵⊙O?與?BC?相切于點?M， ∴OM⊥BC. ∵正方形?ABCD?中，AC?平分∠BCD， 又∵ON⊥CD，OM⊥BC， ∴OM＝ON.又?ON

12、?為⊙O?的半徑， ∴CD?與⊙O?相切． 7．如圖，在?Rt△ABC?中，∠B＝90°，∠BAC?的平分線交?BC?于點?D，E?為?AB?上的一點，DE＝DC， 以?D?為圓心，DB?長為半徑作⊙D，AB＝5，EB＝3. (1)求證：AC?是⊙D?的切線； (2)求線段?AC?的長． 解：(1)證明：過點?D?作?DF⊥AC?于點?F. ∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC. ∵AD?平分∠BAC，DF⊥AC， ∴BD＝DF. ∴點?F?在⊙D?上． ∴AC?是⊙D?的

13、切線． (2)在?Rt△BDE?和?Rt△FDC?中， 6 ∵BD＝FD，DE＝DC， ∴Rt△BDE≌Rt△FDC(HL)． ∴EB＝CF. 在?Rt△ABD?和?Rt△AFD?中， ∵BD＝FD，AD＝AD， ∴Rt△ABD≌Rt△AFD(HL)． ∴AB＝AF. ∴AB＋EB＝AF＋CF，即?AB＋EB＝AC. ∴AC＝5＋3＝8. 7