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1、《博弈論：原理、模型與教程》 第一部分 完全信息靜態(tài)博弈 第2章 Nash 均衡 第2.1節(jié) 占優(yōu)行為 第2.2節(jié) 反復剔除劣戰(zhàn)略行為 第2.3節(jié) Nash均衡 2.2 反復剔除劣戰(zhàn)略行為 （已精細訂正?。? 1、定義2-3 【例2-3】 【例2-4】 【例2-5】 2、定義2-4 在“囚徒困境”中，“坦白”是小偷的占優(yōu)戰(zhàn)略，也就是說，相對于戰(zhàn)略“抵賴”，“坦白”在任何狀況下都是小偷的最優(yōu)選擇。因此，小偷只會選擇戰(zhàn)略“坦白”。 反過來也可以這樣理解：相對于戰(zhàn)略“坦白”，

2、小偷選擇“抵賴”所得到的支付都要不不小于選擇“坦白”所的得到的。既然選擇“抵賴”的所得總是不不小于選擇“坦白”的所得，小偷固然就不會選擇“抵賴”，這也就相稱于小偷將戰(zhàn)略“抵賴”從自己的選擇中剔除掉了。 考察更一般的人博弈情形。在人博弈中，如果存在參與人的占優(yōu)戰(zhàn)略，那么她在博弈中的戰(zhàn)略選擇問題就很簡樸：選擇占優(yōu)戰(zhàn)略。 但在大多數(shù)博弈問題中，參與人的占優(yōu)戰(zhàn)略并不存在。雖然不存在占優(yōu)戰(zhàn)略，但在某些博弈問題中，參與人在對自己的戰(zhàn)略進行比較時，也許會發(fā)現(xiàn)這樣的情形：存在兩個戰(zhàn)略和（，），雖然不是占優(yōu)戰(zhàn)略，但與相比，自己在任何狀況下選擇的所得都要不小于選擇的所得。在這種狀況下，理性參與

3、人的選擇又有什么樣的特點呢？雖然不能擬定參與人最后會選擇什么樣的戰(zhàn)略，但可以肯定的是，理性參與人絕對不會選擇戰(zhàn)略。由于參與人選擇戰(zhàn)略，還不如直接選擇戰(zhàn)略（由于參與人在任何狀況下選擇的所得都要不小于選擇的所得）。 定義2-3 在人博弈中，如對于參與人，存在戰(zhàn)略，，對，有 則稱戰(zhàn)略為參與人的劣戰(zhàn)略，或者說戰(zhàn)略相對于戰(zhàn)略占優(yōu)。 在博弈中，如果戰(zhàn)略是參與人劣戰(zhàn)略，那么參與人肯定不會選擇戰(zhàn)略。這也是相稱于參與人將戰(zhàn)略從自己的戰(zhàn)略集剔除掉，直接從戰(zhàn)略集中選擇自己的戰(zhàn)略。參與人的這種選擇行為稱之為剔除劣戰(zhàn)略行為。剔除劣行為也是理性參與人選擇行為的基本特性之一。

4、 考察戰(zhàn)略式博弈。如果戰(zhàn)略是參與人的劣戰(zhàn)略 ，那么參與人將只會從戰(zhàn)略集中選擇自己的戰(zhàn)略。令，構造一種新的戰(zhàn)略式博弈。此時，對戰(zhàn)略式博弈的求解問題就可以轉換為對的求解。 【例2-3】 考察圖2-4中的戰(zhàn)略式博弈，其中參與人1有兩個戰(zhàn)略——和，參與人2有三個戰(zhàn)略，和。 1，0 參與人1 3，2 1，1 2，2 2，0 0，1 圖2-4 戰(zhàn)略式博弈 參與人2 從圖2-4中可以看出：戰(zhàn)略相對于戰(zhàn)略占優(yōu)，也就是說是參與人2的劣戰(zhàn)略。因此，對圖2-4中博弈問題的求解就可以轉換

5、為對圖2-5中博弈的求解。 1，0 參與人1 3，2 2，2 0，1 圖2-5 戰(zhàn)略式博弈 參與人2 遵循上面的求解思路，如果在新構造出來的戰(zhàn)略式博弈中，存在參與人的某個劣戰(zhàn)略，那么又可以構造出一種新的戰(zhàn)略式博弈，其中參與人的戰(zhàn)略集為。此時，對戰(zhàn)略式博弈的求解問題就可以轉換為對的求解。而參與人的這種不斷剔除劣戰(zhàn)略的行為稱為反復剔除劣戰(zhàn)略行為。 【例2-4】 考察圖2-6中的戰(zhàn)略式博弈，其中參與人1有三個博弈——，和，參與人2有三個戰(zhàn)略，和。

6、 1，0 參與人1 3，2 1，1 3，2 2，0 2，1 圖2-6 戰(zhàn)略式博弈 參與人2 2，1 1，3 3，2 從圖2-6中可以看出：戰(zhàn)略是參與人2的劣戰(zhàn)略。因此，對圖2-6中博弈問題的求解就可以轉換為對圖2-7中博弈的求解。 1，0 參與人1 3，3 3，2 2，1 圖2-7 戰(zhàn)略式博弈 參與人2 2，1 1，3 從圖2-7中又可以看出：戰(zhàn)略是參與人1的劣戰(zhàn)略。因此，對圖2

7、-7中博弈問題的求解就可以轉換為對圖2-8中博弈的求解。也就是對圖2-6中原博弈問題的求解就可以轉換為對圖2-8中博弈的求解。 1，0 參與人1 3，2 3，2 2，1 圖2-8 戰(zhàn)略式博弈 參與人2 如果以上反復剔除劣戰(zhàn)略的過程可以不斷進行下去，直到新構造出來的博弈中每個參與人都只有一種戰(zhàn)略，那么由所有的參與人剩余的唯一戰(zhàn)略所構成的戰(zhàn)略組合就是原博弈問題的解，稱之為“反復剔除的占優(yōu)均衡”。此時，也稱原博弈問題是“反復剔除劣戰(zhàn)略可解的”。 【例2-5】 考察圖2-9中的戰(zhàn)略

8、式博弈，其中參與人1有三個戰(zhàn)略——、和，參與人2有三個戰(zhàn)略，和。 1，0 參與人1 3，1 1，1 3，3 2，0 2，2 圖2-9 戰(zhàn)略式博弈 參與人2 2，4 1，3 3，2 從圖2-9中可以看出：戰(zhàn)略是參與人2的劣戰(zhàn)略。因此，對圖2-9中博弈問題的求解就可以轉換為對圖2-10中博弈的求解。 從圖2-10中又可以看出：戰(zhàn)略是參與人1的劣戰(zhàn)略。因此，對圖2-10中博弈問題的求解就可以轉換為對圖2-11中博弈的求解。

9、 1，0 參與人1 3，1 3，3 2，2 圖2-10 戰(zhàn)略式博弈 參與人2 2，4 1，3 1，0 參與人1 3，1 3，3 2，2 圖2-11 戰(zhàn)略式博弈 參與人2 從圖2-11中又可以看出：戰(zhàn)略是參與人2的劣戰(zhàn)略。因此，對圖2-11中博弈問題的求解就可以轉換為對圖2-12中博弈的求解。 3，3 參與人1 2，2 圖2-12 戰(zhàn)略式博弈 參與人2

10、 在圖2-12中，參與人2只有一種戰(zhàn)略，參與人1選擇戰(zhàn)略，因此原博弈問題的解為戰(zhàn)略組合。而就是所謂的反復剔除的占優(yōu)均衡。 在某些博弈問題中，參與人在對自己的戰(zhàn)略進行比較時，還也許會發(fā)現(xiàn)這樣的情形：存在兩個戰(zhàn)略和（，），與相比，雖然選擇的所得并不一定總是不小于選擇的所得，但自己在任何狀況下選擇的所得都不會比選擇的所得小，并且在某些狀況下選擇的所得嚴格不小于選擇的所得。顯然，在這種狀況下，理性的參與人將戰(zhàn)略從自己的選擇中剔除掉也是有道理的。與定義2-3中所定義的劣戰(zhàn)略相仿，稱戰(zhàn)略、為參與人的弱劣戰(zhàn)略。 定義2-4 在人博弈中，如果對于參與人，存在戰(zhàn)略

11、，對，有 且，使得 則稱戰(zhàn)略為參與人的弱劣戰(zhàn)略，或者說戰(zhàn)略相對于戰(zhàn)略弱占優(yōu)。 有時為了表述以便，也將定義2-3所定義的劣戰(zhàn)略稱為嚴格劣戰(zhàn)略，而將弱劣戰(zhàn)略和嚴格劣戰(zhàn)略統(tǒng)稱為劣戰(zhàn)略。 與反復剔除嚴格劣戰(zhàn)略的思路同樣，也可以采用反復剔除弱劣戰(zhàn)略的措施來求解博弈問題。 但需要注意的是，在反復剔除的過程中，如果每次可以剔除的劣戰(zhàn)略（涉及嚴格劣戰(zhàn)略和弱劣戰(zhàn)略）不只一種，那么各個劣戰(zhàn)略剔除的順序不同，得到的博弈成果就有也許不同。除非每次剔除的都是嚴格列戰(zhàn)略。 下面通過一種例子來闡明這個問題。（重點?。? 考察圖2-13中的戰(zhàn)略式博弈。在圖2-13中，和是參與人2的

12、劣戰(zhàn)略。 參與人1 3，3 3，1 1，2 1，1 2，0 2，0 圖2-13 戰(zhàn)略式博弈 參與人2 3，4 1，3 3，2 如果一方面剔除劣戰(zhàn)略，那么在新博弈中，戰(zhàn)略成為弱劣戰(zhàn)略，如果再剔除，則博弈的成果為戰(zhàn)略組合；如果一方面剔除劣戰(zhàn)略，那么在新博弈中，戰(zhàn)略成為弱劣戰(zhàn)略，如果再剔除，則博弈的成果為戰(zhàn)略組合。 導致博弈成果不同的因素在于：在原博弈中，和原本互不占優(yōu)，但是如果先剔除，則相對于弱占優(yōu)，就也許因此被剔除掉；如果先剔除掉，則相對于弱占優(yōu)，就也許因此被剔除掉。因此，當和的剔除順序不同步，參與人1保存下來的戰(zhàn)

13、略就也許不同。但是，如果只容許剔除嚴格劣戰(zhàn)略，那么無論是先剔除還是，得到的博弈成果都是戰(zhàn)略組合和。 為了進一步闡明問題，考察圖2-14中戰(zhàn)略式博弈，圖2-14 中博弈與圖2-13中博弈的不同之處僅在于戰(zhàn)略組合下參與人1的支付不同。 參與人1 4，3 3，1 1，2 1，1 2，0 2，0 圖2-14 戰(zhàn)略式博弈 參與人2 3，4 1，3 3，2 在圖2-14中，和也是互不占優(yōu)。但是，在剔除劣戰(zhàn)略和的過程中，無論是先剔除還是，只會浮現(xiàn)相對于占優(yōu)的情形，而不會浮現(xiàn)相對于占優(yōu)或弱占優(yōu)的情形。因此，無論剔除劣戰(zhàn)

14、略的順序如何，博弈的成果都是戰(zhàn)略組合。 前面多次提到博弈分析是在假設博弈問題的構造和參與人完全理性為共同知識的前提下進行的，目前分析如果沒有這樣的假設，所得到的博弈問題的解——占優(yōu)戰(zhàn)略均衡和反復剔除的占優(yōu)均衡與否存在。 當參與人理性時，如果參與人的占優(yōu)戰(zhàn)略，那么無論其她參與人與否理性或者與否懂得她是理性的，她都會選擇占優(yōu)戰(zhàn)略。因此，如果博弈中存在占優(yōu)戰(zhàn)略均衡且所有的參與人都理性，那么博弈的成果就是占優(yōu)戰(zhàn)略均衡。也就是說，不需要完全理性為共同知識就可保證占優(yōu)戰(zhàn)略均衡為博弈的成果。但是，必須清晰：存在占優(yōu)戰(zhàn)略均衡的博弈絕對只是博弈問題中的很少數(shù)，在大多數(shù)狀況下占優(yōu)戰(zhàn)

15、略均衡是不存在的。 更重要的是，如果僅僅假設參與人是理性的，就會發(fā)現(xiàn)及時博弈問題是“反復剔除劣戰(zhàn)略可解的”，也無法保證博弈的成果就是反復剔除的占優(yōu)均衡，這是由于：在反復剔除過程的每一步中，如果只假設參與人理性，那么只能保證參與人將其劣戰(zhàn)略剔除掉；而如果其她參與人不懂得她是理性的，就不能保證其她參與人懂得她已將劣戰(zhàn)略剔除掉。在這種狀況下，就不能講原博弈問題轉換為新的博弈問題，也就是說，雖然剔除劣戰(zhàn)略行為是理性參與人選擇行為的基本特性，但如果僅僅假設參與人理性是不能保證反復剔除的。 在例2-3中，如果參與人1不懂得參與人2的理性的，她就不懂得自己面臨的博弈問題已由圖2-4中的戰(zhàn)略式博弈

16、轉換為圖2-5中的博弈。同樣，如果參與人2不懂得參與人1懂得自己是理性的，圖2-4中的戰(zhàn)略式博弈也不能轉換為圖2-5中的博弈。 在例2-4中，要保證圖2-6的中博弈轉換為圖2-8中的博弈，就必須規(guī)定每個參與人都懂得博弈問題轉換的每一步（即每一次剔除劣戰(zhàn)略），并且還要懂得其她參與人懂得博弈問題轉換的每一步。 具體講就是： （1）參與人2是理性； （2）參與人1懂得到參與人2理性，參與人2懂得參與人1懂得到參與人2理性； （3）參與人1是理性，參與人2懂得到參與人1理性，參與人1懂得參與人2懂得到參與人1理性。 而在例2-5中，對參與人理性假設的規(guī)定就更為復雜，除了例2-4中所規(guī)定的以上3點外，對理性尚有進一步的規(guī)定。 因此，隨著博弈中參與人人數(shù)的增長及參與人戰(zhàn)略空間的增大，反復剔除的過程就會越來越復雜，對理性假設的規(guī)定也就越來越高。 因此，為了保證博弈分析的順利進行，一般都假設參與人完全理性為共同知識。 基于同樣的理由，也假設博弈問題的構造（涉及參與人的支付）為共同知識。