《（浙江專用）2019高考數學二輪復習 專題三 數列與不等式 第3講 數列的綜合問題課件.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（浙江專用）2019高考數學二輪復習 專題三 數列與不等式 第3講 數列的綜合問題課件.ppt（52頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、第3講 數列的綜合問題,專題三 數列與不等式,板塊三 專題突破核心考點,,[考情考向分析],1.數列的綜合問題，往往將數列與函數、不等式結合，探求數列中的最值或證明不等式. 2.以等差數列、等比數列為背景，利用函數觀點探求參數的值或范圍. 3.與數列有關的不等式的證明問題是高考考查的一個熱點，也是一個難點，主要涉及到的方法有作差法、放縮法、數學歸納法等．,,,熱點分類突破,真題押題精練,內容索引,熱點分類突破,,熱點一 利用Sn，an的關系式求an,1.數列{an}中，an與Sn的關系,2.求數列通項的常用方法 (1)公式法：利用等差(比)數列求通項公式. (2)在已知數列{an}中，滿足an

2、＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，則可用累加法求數列的通項an.,(4)將遞推關系進行變換，轉化為常見數列(等差、等比數列).,例1 (2018浙江)已知等比數列{an}的公比q>1，且a3＋a4＋a5＝28，a4＋2是a3，a5的等差中項.數列{bn}滿足b1＝1，數列{(bn＋1－bn)an}的前n項和為2n2＋n. (1)求q的值；,解答,解 由a4＋2是a3，a5的等差中項， 得a3＋a5＝2a4＋4， 所以a3＋a4＋a5＝3a4＋4＝28，解得a4＝8.,因為q>1，所以q＝2.,(2)求數列{bn}的通項公式.,解答,解 設cn＝(bn＋1－bn)an

3、，數列{cn}的前n項和為Sn.,由(1)可得an＝2n－1，,當n＝1時，b1＝1也滿足上式，,給出Sn與an的遞推關系，求an，常用思路：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉化為an的遞推關系，再求其通項公式；二是轉化為Sn的遞推關系，先求出Sn與n之間的關系，再求an.,,跟蹤演練1 已知數列{an}的前n項和Sn滿足：a1an＝S1＋Sn. (1)求數列{an}的通項公式；,解答,解 由已知a1an＝S1＋Sn， ①,當n≥2時，由已知可得a1an－1＝S1＋Sn－1， ②,若a1＝0，則an＝0，此時數列{an}的通項公式為an＝0.,即此時數列{an}是以2為首項，2為公

4、比的等比數列， 故an＝2n(n∈N*). 綜上所述，數列{an}的通項公式為an＝0或an＝2n(n∈N*).,解答,解 因為an>0，故an＝2n.,由n－5≥0，解得n≥5，所以當n＝4或n＝5時，Tn最小，,數列與函數的綜合問題一般是利用函數作為背景，給出數列所滿足的條件，解決這類問題的關鍵在于利用數列與函數的對應關系，將條件進行準確的轉化.,,熱點二 數列與函數、不等式的綜合問題,(1)若x≥0時，f(x)≤0，求λ的最小值；,解答,解 由已知可得f(0)＝0，,①若λ≤0，則當x>0時，f′(x)>0，f(x)單調遞增， ∴f(x)≥f(0)＝0，不合題意；,則當x>0時，f′(x

5、)<0，f(x)單調遞減， 當x≥0時，f(x)≤f(0)＝0，符合題意.,證明,以上各式兩邊分別相加可得,解決數列與函數、不等式的綜合問題要注意以下幾點 (1)數列是一類特殊的函數，函數定義域是正整數，在求數列最值或不等關系時要特別重視. (2)解題時準確構造函數，利用函數性質時注意限制條件. (3)不等關系證明中進行適當的放縮.,,跟蹤演練2 設fn(x)＝x＋x2＋…＋xn－1，x≥0，n∈N，n≥2. (1)求fn′(2)；,解答,解 由題設fn′(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1， 所以fn′(2)＝1＋22＋…＋(n－1)2n－2＋n2n－1， ① 則2fn′(2)＝2＋222＋…＋

6、(n－1)2n－1＋n2n， ② 由①－②得，－fn′(2)＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n2n,所以fn′(2)＝(n－1)2n＋1.,證明,證明 因為fn(0)＝－10，,,熱點三 數列的實際應用,數列與不等式的綜合問題把數列知識與不等式的內容整合在一起，形成了關于證明不等式、求不等式中的參數取值范圍、求數列中的最大(小)項、比較數列中項的大小等問題，求解方法既要用到不等式知識，又要用到數列的基礎知識，經常涉及到放縮法和數學歸納法的使用.,例3 (2018浙江省名校協作體聯考)已知數列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋(－1)n(n∈N*).,證明,證明 ∵an＋1＝2an＋(－1

7、)n，,證明,證明,數列中的不等式問題主要有證明數列不等式、比較大小或恒成立問題，解決方法如下： (1)利用數列(或函數)的單調性. (2)放縮法：①先求和后放縮；②先放縮后求和，包括放縮后成等差(或等比)數列再求和，或者放縮后用裂項相消法求和. (3)數學歸納法.,,跟蹤演練3 (2018杭州質檢)已知數列{an}滿足a1＝1，an＋1＝an＋ (c>0，n∈N*). (1)證明：an＋1>an≥1；,證明,證明 因為c>0，a1＝1，,下面用數學歸納法證明an≥1. ①當n＝1時，a1＝1≥1； ②假設當n＝k時，ak≥1，,所以當n∈N*時，an≥1. 所以an＋1>an≥1.,證明,證

8、明 由(1)知當n≥m時，an≥am≥1，,證明,真題押題精練,真題體驗,1.(2018全國Ⅰ)記Sn為數列{an}的前n項和.若Sn＝2an＋1，則S6＝________.,解析,答案,－63,解析 ∵Sn＝2an＋1，當n≥2時，Sn－1＝2an－1＋1， ∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)， 即an＝2an－1(n≥2). 當n＝1時，a1＝S1＝2a1＋1，得a1＝－1. ∴數列{an}是首項a1＝－1，公比q＝2的等比數列，,∴S6＝1－26＝－63.,2.(2017浙江)已知數列{xn}滿足：x1＝1，xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)(n∈N*). 證明：當n

9、∈N*時， (1)00. 假設當n＝k(k∈N*)時，xk>0， 那么當n＝k＋1時，若xk＋1≤0， 則00， 因此xn>0(n∈N*). 所以xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)>xn＋1， 因此0