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1、8,一般周期函數(shù)的傅里葉級數(shù),一、,周期為,的周期函數(shù)的傅里葉級數(shù),定理,設(shè),是周期為,的周期函數(shù)，,且滿足收斂定理的條件，,則它的傅里葉級數(shù),在,上收斂,且,(1),(2),當(dāng),為連續(xù)點時，,級數(shù)收斂于,為間斷點時，,級數(shù)收斂于,當(dāng),其中,(1),(2),證,,,,作換元,，則在此變換下,區(qū)間,變?yōu)?區(qū)間,是周期為,的周期函數(shù),可以驗證：,的傅氏級數(shù),在,上收斂，且,其中,(*),由,與,復(fù)合而成,是,的連續(xù)點,是,的連續(xù)點,由,與,復(fù)合而成,是,的連續(xù)點,是,的連續(xù)點,即：,是,的連續(xù)點,是,的連續(xù)點,,,將,代入,(*)式，,得,的連續(xù)點,,,,,是,的間斷點,是,其中,即(1)(2)式

2、。,證畢。,說明,(1),當(dāng),上是奇函數(shù)時，,奇函數(shù)的傅氏級數(shù)是正弦級數(shù),在,(3),其中，,按(3)式計算。,當(dāng),上是偶函數(shù)時，,偶函數(shù)的傅氏級數(shù)是余弦級數(shù),在,(4),其中，,按(4)式計算。,(2),若,只在,上有定義，,且滿足收斂,定理的條件，,也可將它展開為傅氏級數(shù)。,方法：,首先，,將,進行周期延拓，,將它,拓廣為周期為,的周期函數(shù),；,然后,將,展開成傅氏級數(shù)；,最后，,再將,限制在,上，,就得到,的傅氏級數(shù),展開式。,即：,按(1)、(2)式求出,從而得到,的,傅氏級數(shù),在點,，,是,的連續(xù)點時，,級數(shù)收斂于,；,是,的間斷點時，,級數(shù)收斂于,在端點,，,級數(shù)收斂于,(3),若

3、,只在,上有定義，,且滿足收斂,定理的條件，,可將它展開成正弦級數(shù)和余弦,首先，,將,進行奇延拓，,將它拓廣,為,上的奇函數(shù),；,然后，,將,展開成傅氏級數(shù)(正弦級數(shù))；,最后，,再將,限制在,上，,就得到,的正弦級數(shù),即：,級數(shù)。,展開成正弦級數(shù)的方法：,展開式。,按(3)式求出,從而得到,的正弦級數(shù),在點,，,是,的連續(xù)點時，,級數(shù)收斂于,；,是,的間斷點時，,級數(shù)收斂于,在端點,，,級數(shù)收斂于,首先，,將,進行偶延拓，,將它拓廣,為,上的偶函數(shù),；,然后，,將,展開成傅氏級數(shù)(余弦級數(shù))；,最后，,再將,限制在,上，,就得到,的余弦級數(shù),即：,展開成余弦級數(shù)的方法：,展開式。,按(4)式

4、求出,從而得到,的余弦級數(shù),在點,，,是,的連續(xù)點時，,級數(shù)收斂于,是,的間斷點時，,級數(shù)收斂于,在端點,，,級數(shù)收斂于,，,級數(shù)收斂于,例1,設(shè),是周期為,的周期函數(shù)，,它在,上的表達(dá)式為,將,展開成傅氏級數(shù)。,解,滿足收斂定理的條件，,它在點,處間斷，,在其它點處連續(xù)。,由收斂定理，得,當(dāng),時，,傅氏級數(shù)收斂于,當(dāng),時，,傅氏級數(shù)收斂于,計算傅氏系數(shù)：,的傅氏級數(shù)為：,例2,將函數(shù),展開成余弦級數(shù).,解,將,偶延拓.,在,上連續(xù),當(dāng),時，,余弦級數(shù)收斂于,在端點,，,余弦級數(shù)收斂于,令,在端點,，,余弦級數(shù)收斂于,，,求,按公式(4)得：,余弦級數(shù)為,例3,將函數(shù),展開成,以,為周期的傅氏級數(shù)。,解,令,，則在此變換下，,變?yōu)閰^(qū)間,區(qū)間,這樣，,記,下面將,展開成傅氏級數(shù)。,在,上連續(xù),的傅氏級數(shù)收斂于,在點,，,在端點,的傅氏級數(shù)收斂于,，,,奇函數(shù),,偶函數(shù),的傅氏級數(shù)為,將,換回，得,即,補充題：,將函數(shù),展開成傅氏級數(shù)。,作業(yè),補充題答案：,