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1、11.1分類加法計數(shù)原理 與分步乘法計數(shù)原理,知識梳理,考點自診,1.兩個計數(shù)原理,n類不同的方案,n個步驟,知識梳理,考點自診,2.兩個計數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系,知識梳理,考點自診,1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“”,錯誤的畫“”. (1)在分類加法計數(shù)原理中,某兩類不同方案中的方法可以相同. () (2)在分類加法計數(shù)原理中,每類方案中的方法都能直接完成這件事.() (3)在分步乘法計數(shù)原理中,只有各步驟都完成后,這件事情才算完成.() (4)在分步乘法計數(shù)原理中,每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的.() (5)如果完成一件事情有n個不同步驟,在每一步中都有若干種不同的方法mi(i

2、=1,2,3,,n),那么完成這件事共有m1m2m3mn種不同的方法.(),,,,,,知識梳理,考點自診,2.(2018黑龍江牡丹江模擬)十字路口來往的車輛,如果不允許回頭,則行車路線共有() A.24種B.16種 C.12種D.10種,C,解析:根據(jù)題意,車的行駛路線起點有4種,行駛方向有3種,所以行車路線共有43=12種,故選C.,知識梳理,考點自診,3.如圖,小明從街道的E處出發(fā),先到F處與小紅會合,再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動,則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為() A.24B.18C.12D.9,B,解析:由題意知,小明從街道的E處出發(fā)到F處的最短路徑有6條,再從

3、F處到G處的最短路徑有3條,則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為63=18,故選B.,知識梳理,考點自診,4.(2018北京昌平區(qū)模擬)四個足球隊進行單循環(huán)比賽(每兩隊比賽一場),每場比賽勝者得3分,負者得0分,平局雙方各得1分.比賽結(jié)束后發(fā)現(xiàn)沒有足球隊全勝,且四隊得分各不相同,則所有比賽中可能出現(xiàn)的最少平局場數(shù)是 () A.0B.1 C.2D.3,B,解析:四個隊得分總和最多為36=18,若沒有平局,又沒有全勝的隊,則四個隊的得分只可能有6,3,0三種選擇,必有兩隊得分相同,與四隊得分各不相同矛盾,所以最少平局場數(shù)是1,此時四隊分數(shù)為7,6,3,1,故選B.,知識梳理,考點自診,5.(2

4、018山東煙臺模擬)上合組織峰會于2018年6月在青島召開,組委會預備在會議期間將A,B,C,D,E這五名工作人員分配到兩個不同的地點參與接待工作.若要求A,B必須在同一組,且每組至少2人,則不同分配方法的種數(shù)為.,8,解析:將AB捆綁在一起,分兩類,一類是A、B兩人在一組,另三人在一組,一類是A、B再加另一人在一組,另一組只有2人,所以不同的分配方法為(1+ )2=8.,考點1,考點2,考點3,例1(1) 滿足a,b-1,0,1,2,且關(guān)于x的方程ax2+2x+b=0有實數(shù)解的有序數(shù)對(a,b)的個數(shù)為() A.14B.13C.12D.9 (2)已知橢圓 的焦點在y軸上,且m1,2

5、,3,4,5, n1,2,3,4,5,6,7,則這樣的橢圓的個數(shù)為.,分類加法計數(shù)原理,B,20,考點1,考點2,考點3,解析: (1)當a=0時,x=- ,b=-1,0,1,2,有4種可能; 當a0時,則=4-4ab0,ab1. 當a=-1時,b=-1,0,1,2,有4種可能; 當a=1時,b=-1,0,1,有3種可能; 當a=2時,b=-1,0,有2種可能. 所以滿足條件的有序數(shù)對(a,b)共有4+4+3+2=13(個). (2)焦點在y軸上的橢圓滿足mm的n有6種選擇;第二類:當m=2時,使nm的n有5種選擇;第三類:當m=3時,使nm的n有4種選擇;第四類:當m=4時,使nm的n有3種

6、選擇;第五類:當m=5時,使nm的n有2種選擇.由分類加法計數(shù)原理知,符合條件的橢圓共有20個.,考點1,考點2,考點3,思考使用分類加法計數(shù)原理應遵循的原則是什么? 解題心得使用分類加法計數(shù)原理應遵循的原則:分類的標準可能有多個,但不論是以哪一個為標準,都應遵循“標準要明確,不重不漏”的原則,且完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類.,考點1,考點2,考點3,對點訓練1(2018湖南十四校聯(lián)考)甲、乙、丙、丁、戊五位同學相約去學校圖書室借A、B、C、D四類課外書(每類課外書均有若干本),已知每人均只借閱一本,每類課外書均有人借閱,且甲只借閱A類課外書,則不同的借閱方案種類為() A.48B

7、.54C.60D.72,C,考點1,考點2,考點3,分步乘法計數(shù)原理 例2(1)(2018湖北黃岡三模)對33 000分解質(zhì)因數(shù)得33 000=2335311,則33 000的正偶數(shù)因數(shù)的個數(shù)是 () A.48B.72C.64D.96 (2)如圖,用6種不同的顏色把圖中A,B,C,D 4塊區(qū)域分開,若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色,則涂色方法共有種.(用數(shù)字作答),A,480,考點1,考點2,考點3,解析: (1)33 000的因數(shù)中有若干個2(共有23,22,21,20四種情況),若干個3(共有3,30兩種情況),若干個5(共有53,52,51,50四種情況),若干個11(共有111,110兩種情

8、況), 由分步乘法計數(shù)原理可得33 000的因數(shù)共有4242=64個,不含2的共有242=16個, 正偶數(shù)因數(shù)有64-16=48(個),即33 000的正偶數(shù)因數(shù)的個數(shù)是48,故選A. (2)從A開始涂色,A有6種涂色方法,B有5種涂色方法,C有4種涂色方法,D有4種涂色方法.由分步乘法計數(shù)原理可知,共有6544=480種涂色方法.,考點1,考點2,考點3,思考應用分步乘法計數(shù)原理解決問題時,如何分步?對分步有何要求? 解題心得利用分步乘法計數(shù)原理解決問題時,要按事件發(fā)生的過程合理分步,并且分步必須滿足兩個條件:一是完成一件事的各個步驟是相互依存的,二是只有各個步驟都完成了,才算完成這件事.,

9、考點1,考點2,考點3,對點訓練2(2018安徽合肥三模)如圖,給7條線段的5個端點涂色,要求同一條線段的兩個端點不能同色,現(xiàn)有4種不同的顏色可供選擇,則不同的涂色方法種數(shù)有() A.24 B.48 C.96 D.120,C,解析:若A,D顏色相同,先涂E有4種涂法,再涂A,D有3種涂法,再涂B有2種涂法,C只有一種涂法,共有432=24種;若A,D顏色不同,先涂E有4種涂法,再涂A有3種涂法,再涂D有3種涂法,當B和D相同時,C有一種涂法,當B和D不同時, C只有一種涂法,共有433(1+1)=72種,根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得,共有24+72=96(種),故選C.,考點1,考點2,考點3,兩

10、個計數(shù)原理的綜合應用 例3(1) (2018山東濰坊二模)中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”.“禮”,主要指德育;“樂”,主要指美育;“射”和“御”,就是體育和勞動;“書”,指各種歷史文化知識;“數(shù)”,數(shù)學.某校國學社團開展“六藝”課程講座活動,每藝安排一節(jié),連排六節(jié),一天課程講座排課有如下要求:“數(shù)”必須排在前三節(jié),且“射”和“御”兩門課程相鄰排課,則“六藝”課程講座不同排課順序共有() A.120種B.156種C.188種D.240種,A,考點1,考點2,考點3,(2)如圖,用4種不同的顏色對圖中5個區(qū)域涂色(4種顏色全部使用),要求每個區(qū)域涂一種顏色,相鄰的區(qū)域不能涂相同

11、的顏色,則不同的涂色種數(shù)有.(用數(shù)字作答),96,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,思考應用兩個計數(shù)原理解決計數(shù)問題時的一般思路是怎樣的? 解題心得在綜合應用兩個計數(shù)原理解決問題時,一般是先分類再分步.分類后分別對每一類進行計數(shù),在計算每一類時可能要分步,在分步時可能又要用到分類加法計數(shù)原理.,考點1,考點2,考點3,對點訓練3(1)從1,2,3,4,7,9六個數(shù)中,任取兩個數(shù)作對數(shù)的底數(shù)和真數(shù),則所有不同對數(shù)值的個數(shù)為. (2)(2018河北武邑調(diào)研)3個單位從4名大學畢業(yè)生中選聘工作人員,若每個單位至少選聘1人(4名大學畢業(yè)生不一定都能選聘上),則不同的選聘方法種數(shù)為() A

12、.60B.36C.24D.42 (3)(2018百校聯(lián)盟TOP20三月聯(lián)考)某山區(qū)希望小學為豐富學生的伙食,教師們在校園附近開辟了如圖所示的四塊菜地,分別種植西紅柿、黃瓜、茄子三種產(chǎn)量大的蔬菜,若這三種蔬菜種植齊全,同一塊地只能種植一種蔬菜,且相鄰的兩塊地不能種植相同的蔬菜,則不同的種植方式共有 () A.9種B.18種 C.12種D.36種,17,A,B,考點1,考點2,考點3,解析:(1)分兩類:當取1時,1只能為真數(shù),此時對數(shù)值為0; 不取1時,分兩步:取底數(shù),有5種不同的取法;取真數(shù),有4種不同的取法. 其中l(wèi)og23=log49,log32=log94,log24=log39,log

13、42=log93, 所以不同的對數(shù)值的個數(shù)為1+54-4=17. (3)若兩塊地種植西紅柿,則它們在13,14或24位,其他兩位是黃瓜和茄子,所以共有32=6種種植方式;若兩塊地種植黃瓜或茄子也有3種種植方式,所以一共有63=18種.故選B.,考點1,考點2,考點3,1.利用分步乘法計數(shù)原理解決問題要按事件發(fā)生的過程合理分步,即分步是有先后順序的,并且分步必須滿足:完成一件事的各個步驟是相互依存的,只有各個步驟都完成了,才算完成這件事. 2.分步必須滿足兩個條件:一是步驟互相獨立,互不干擾;二是步與步確保連續(xù),逐步完成. 分類標準是運用分類加法計數(shù)原理的難點所在,重點在于抓住題目中的關(guān)鍵詞或關(guān)鍵元素、關(guān)鍵位置.首先根據(jù)題目特點恰當選擇一個分類標準;其次分類時應注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類. 3.利用兩個計數(shù)原理解決應用問題的一般思路:(1)弄清完成一件事是做什么.(2)確定是先分類后分步,還是先分步后分類.(3)弄清分步、分類的標準是什么.(4)利用兩個計數(shù)原理求解.,考點1,考點2,考點3,1.切實理解“完成一件事”的含義,以確定需要分類還是需要分步. 2.分類的關(guān)鍵在于要做到“不重不漏”,分步的關(guān)鍵在于要正確設計分步的程序,即合理分類,準確分步. 3.確定題目中是否有特殊條件限制.,