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1、第七章 直線和圓的方程 教材分析及教學建議 丁 建 偉,,如果代數(shù)與幾何各自分開發(fā)展，那么它的進步將十分緩慢，而且應(yīng)用范圍也很有限。但若兩者互相結(jié)合而共同發(fā)展，則就會相互加強，并以快速的步伐向著完美化的方向猛進。 拉格朗日,,本章內(nèi)容總述 本章是在學習了平面向量的基礎(chǔ)上，以向量為主要工具之一，利用坐標法來研究直線和圓有關(guān)的幾何問題。通過坐標系，把點和坐標、曲線和方程等聯(lián)系起來，達到了形和數(shù)的結(jié)合，蘊含了對應(yīng)思想、數(shù)形結(jié)合思想。本章在一定程度上綜合地運用了一些三角知識、平面幾何知識、平面向量知識等。直線和圓的方程是最基本的曲線方程，是后繼學習圓錐曲線及其它曲

2、線方程的基礎(chǔ)，也是學習導數(shù)、微分、積分等知識的基礎(chǔ)。直線方程的簡單運用簡單線性規(guī)劃，通過學習，使學生能了解實際問題中線性規(guī)劃的應(yīng)用，能培養(yǎng)學生解決實際問題的能力。,一、地位與作用 1給出了一種嶄新的研究幾何問題的方法 坐標法. 2體現(xiàn)了一種重要的數(shù)學思想 數(shù)形結(jié)合，以形助數(shù)，以數(shù)識形. 3培養(yǎng)用聯(lián)系、發(fā)展的觀點看待問題的意識,強化“一分為二”看問題的哲學思想.,,,二、 教學要求與課時分配 本章的教學要求如下： 1理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線的斜率公式，掌握由一點和斜率導出直線方程的方法，掌握直線方程的點斜式、兩點式和直線方程的一般式，并能根據(jù)條件熟練地求出直線方程。 2掌

3、握兩條直線平行與垂直的條件，兩條直線的夾角和點到直線的距離公式；能夠根據(jù)直線方程判斷兩條直線的位置關(guān)系。,3會用二元一次不等式表示平面區(qū)域。 4了解簡單的線性規(guī)劃問題，了解線性規(guī)劃的意義，并會簡單的應(yīng)用。 5通過線性規(guī)劃的研究性課題與實習作業(yè)，培養(yǎng)解決實際問題的能力。,6了解解析幾何的基本思想，了解用坐標法研究幾何問題的方法。 7掌握圓的標準方程和一般方程，了解參數(shù)方程的概念，理解圓的參數(shù)方程。 8結(jié)合教學內(nèi)容，進行對立統(tǒng)一觀點的教育。,本章的最主要內(nèi)容是直線方程、圓的方程以及線性規(guī)劃的初步知識。本章共需25課時，課時具體分配如下： 7.1直線的傾斜角和斜率 約2課時 7.2直線的方程 約3課

4、時 7.3兩條直線的位置關(guān)系 約5課時 7.4簡單的線性規(guī)劃 約3課時 7.5研究性課題和實習作業(yè)：線性規(guī)劃的實際應(yīng)用 約4課時 7.6曲線和方程 約3課時 7.7圓的方程 約3課時 小結(jié)與復習 約2課時,三、 新、舊教材的內(nèi)容及其處理上的變化 3.1 內(nèi)容安排的變化 新大綱的第七章將原大綱直線部分的有向線段、兩點間距離公式、線段定比分點等內(nèi)容移至第五章“平面向量”，將原大綱參數(shù)方程的部分內(nèi)容及圓的參數(shù)方程由原來的選學內(nèi)容移到本章改為必學內(nèi)容，增加了二元一次不等式表示區(qū)域，簡單線性規(guī)劃問題及研究性課題、實習作業(yè)等新內(nèi)容。,,3.2內(nèi)容處理的變化 （1） 斜率公式的推導不再采用單純利用三角知識的

5、推導，而是利用平面向量的坐標知識與三角知識相結(jié)合來推導； （2） 兩直線平行的充要條件的表述有差別； （3） 兩直線垂直的充要條件的導出利用了向量數(shù)量積； （4） 點到直線的距離公式采用直角三角形中的等積來推導，不再采用解直角三角形的知識來推導。,四、 內(nèi)容分析: 7.1直線的傾斜角和斜率 重點：直線傾斜角和斜率概念。 難點：斜率概念的學習和過兩點直線的斜率公式的建立。直線方程和方程的直線的概念；,,,,,直線斜率的幾點說明： a.傾斜角是個幾何概念，用它來刻畫直線方向不符合解析思想。定義了斜率以后就可以從代數(shù)角度刻畫直線相對于X軸正向的傾斜程度，斜率的絕對值越大，直線的傾斜程度就越大； b.

6、注意傾斜角范圍與斜率范圍的關(guān)系； c.用斜率解題時要注意斜率不存在的情況。,7.2直線的方程 重點：直線方程的點斜式、兩點式和一般式，由已知條件求直線方程。 難點：點斜式方程和一般式方程的推導。,,,7.3兩條直線的位置關(guān)系 重點：兩條直線相交（斜交和垂直相交）、平行、重合的條件，兩直線夾角，點到直線距離。 難點：夾角公式、點到直線距離公式的推導、記憶和含有參數(shù)的二元一次方程表示的兩條直線的位置關(guān)系和討論都是難點。,a. 直線平行的條件 斜截式方程給出的直線平行的充要條件，可類比平面幾何中兩直線平行的條件，但不同于平幾。這里的已知條件是直線方程，即研究怎樣通過直線的方程來判斷直線是否平行，運用

7、的是解析的思想方法。 b. 直線垂直的兩種情況 兩條直線斜率都存在且不等于零； 兩直線中，一條斜率不存在，同時另一條斜率等于零； 這樣兩直線垂直有結(jié)論：兩條直線斜率都存在且斜率之積為-1 或一條斜率不存在同時另一條斜率為零； c.L1到L2的角，L1 與L2的夾角； d. 兩條直線的交點； e. 點到直線的距離。,7.4簡單的線性規(guī)劃 重點：理解二元一次不等式表示平面區(qū)域。 難點：如何把實際問題轉(zhuǎn)化到線性規(guī)劃問題，并給出解答。 線性規(guī)劃問題就是求目標函數(shù)在線性約束條件下的最值。所謂目標函數(shù)就是表示所求問題的解析式，滿足線性約束條件的解(x,y)叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域。解決

8、實際線性規(guī)劃問題，需從題意中建立起目標函數(shù)和相應(yīng)的約束條件，即建立數(shù)學模型。,7.5研究性課題與實習作業(yè)：線性規(guī)劃的實際應(yīng)用 重點：培養(yǎng)學生解決實際問題的能力。 難點：是實際問題抽象轉(zhuǎn)化成線性規(guī)劃問題，建立相應(yīng)的數(shù)學模型。 7.6曲線和方程 重點、難點：曲線的方程、方程的曲線和求曲線方程的一般步驟是本小節(jié)的重點也是難點，理解概念是關(guān)鍵。 a. 教學中有必要通過一些反面例子讓學生體驗到某條曲線C與某個二元方程f(x,y)=0之間不一定同時具備純粹性及完備性，以便于學生真正理解曲線方程的概念； b. 解析幾何的實質(zhì)及其基本問題； c. 兩曲線的交點問題。,7.7圓的方程 重點：圓的標準方程和一般方

9、程，圓的參數(shù)方程。 難點：圓的一般式方程的理解以及圓的方程知識的應(yīng)用。 a. 圓的方程的求解常用待定系數(shù)法； b. 圓的參數(shù)方程及普通方程。,五、 教學建議 （1） 解析幾何是用代數(shù)方程研究幾何性質(zhì)的數(shù)學分支，它以坐標系為工具，坐標法為方法，所以教學中要始終貫徹解析思想，將幾何問題代數(shù)化。 （2） 解析幾何開創(chuàng)了形與數(shù)的對應(yīng)結(jié)合的研究方法，要在教學中滲透數(shù)形結(jié)合思想，要讓學生重視數(shù)形互助，培養(yǎng)代數(shù)結(jié)果與幾何意義互相轉(zhuǎn)化的能力，讓學生體會如何借助于坐標系用代數(shù)方法研究幾何問題以及如何從幾何的角度觀察代數(shù)問題，體會這種方法所體現(xiàn)的數(shù)形結(jié)合思想。,,,（3） 重視分類思想在教學中的滲透。例如：直線傾

10、斜角的定義、直線斜率的定義、如何用直線的點斜式和斜截式設(shè)直線方程、過圓外一點求圓的切線方程時要注意什么、設(shè)直線的截距式方程時又要注意什么等。 問題四：已知直線過點（2，3）且在兩坐標上的截距相等，求直線的方程. 問題五：過圓（x-1）2+y2=1外一點（2，4）作圓的切線，求所作切線的方程.,,（4）在進行線性規(guī)劃內(nèi)容的教學時，要注意數(shù)形結(jié)合思想方法的滲透，通過對目標函數(shù)的幾何意義的提煉，找到合理、簡捷的解題方法。,,（5）在講解“曲線和方程”的概念時，要讓學生深刻認識和理解定義： 曲線上的點的坐標都是這個方程的解： 以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點. 關(guān)系保證了曲線上所有的點的坐標都

11、滿足方程而毫無例外（軌跡的純粹性）；關(guān)系則保證了適合方程的所有點都在曲線上而毫無遺留（軌跡的完備性）.,（6）求軌跡方程是解析幾何中的基本問題和重要問題，在講解求軌跡方程問題時，要注意以下幾點： 1. 注意建立適當?shù)淖鴺讼担?2. 注意平面幾何的結(jié)論在建立等量關(guān)系中的運用； 3. 注意排除不合條件的點； 4. 注意等式變形的一致性； 5. 注意對參數(shù)的分類討論.,（7）直線與圓這一章是解析幾何的基礎(chǔ)，在強調(diào)代數(shù)方法研究時，還要注意與平面幾何、平面向量及三角等知識的聯(lián)系，比如：直線的斜率公式、兩直線垂直條件、圓的參數(shù)方程的推導，都用到了向量的有關(guān)知識。點到直線距離公式在教參上給出一種用直線的法向

12、量（閱讀材料）結(jié)合數(shù)量積來推導的方法。重視這些方面知識的聯(lián)系有利于學生著眼知識網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建，提高綜合運用知識的能力。,,（8） 直線對稱問題是解析幾何中的一類重要問題，一般包括點關(guān)于點、直線關(guān)于點、點關(guān)于直線、直線關(guān)于直線的對稱等.除掌握普通解法外，還要記憶一些常用結(jié)論，這對提高解題的正確性和速度是有好處的. （1）點P(x1,y1)關(guān)于點M(x0,y0)對稱的點的坐標為(2x0-x1,2y0-y1). （2）點P(x1,y1)關(guān)于X軸對稱的點P1的坐標為(x1,-y1)； 點P(x1,y1)關(guān)于Y軸對稱的點P2的坐標為(-x1,y1)； 點P(x1,y1)關(guān)于直線y=x+b的對稱點P3的坐

13、標為(y1-b,x1+b)； 點P(x1,y1)關(guān)于直線y=-x+b的對稱點P4的坐標為(-y1+b,-x1+b).,,(9)根據(jù)學生具體情況也可對直線系方程作些介紹，以拓展學生視野，提高解題效率。常見直線系方程有 1.過定點直線系 過定點（x0,y0)的直線系方程為,,（10） 歷年高考中，本部分內(nèi)容也是常考的熱點問題之一，多以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，但求軌跡問題或與圓錐曲線或代數(shù)有關(guān)知識結(jié)合在一起命題為解答題時，則往往是試卷中的中等題或難題，故要切實教好、教透、教活！,2005年全國各省、市高考數(shù)學試題集粹 1.（北京）從原點向圓 x2y212y27=0作兩條切線，則該圓夾在兩條切線間的劣弧長為 （ ） （A） （B）2 （C）4 （D）6 2.（湖北）某實驗室需購某種化工原料106千克，現(xiàn)在市場上該原料有兩種包裝，一種是每袋35千克，價格為140元；另一種是每袋24千克，價格為120元. 在滿足需要的條件下，最少要花費 元. 3. (湖南）已知點P（x，y）在不等式組 表示的平面區(qū)域上運動，則zxy的取值范圍是 （） A2，1B2，1 C1，2 D1，2,4. (湖南）,湖南,,,,