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1、8-5 傅里葉級(jí)數(shù)展開,研究周期（函數(shù)）現(xiàn)象產(chǎn)生； 三角函數(shù)是最簡單的周期函數(shù)； 任何周期函數(shù)都可以用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)構(gòu)成的級(jí)數(shù)表示；,傅里葉(Fourier)，也譯作傅立葉，法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。 1768年3月21日生于歐塞爾，1830年5月16日卒于巴黎。 9歲父母雙亡， 被當(dāng)?shù)亟烫檬震B(yǎng)。 12歲由一主教送入地方軍事學(xué)校讀書。 17歲（1785）回鄉(xiāng)教數(shù)學(xué)。 1794到巴 黎，成為高等師范學(xué)校的首批學(xué)員，次年到巴黎綜合工科學(xué)校執(zhí)教。 1798年隨拿破侖遠(yuǎn)征埃及時(shí)任軍中文書和埃及研究院秘書，1801年回國后任伊澤爾省地方長官。 1817年當(dāng)選為科學(xué)院院士，1822年任該院終身秘書。 數(shù)學(xué)

2、方面 主要貢獻(xiàn)是在研究熱的傳播時(shí)創(chuàng)立了一套數(shù)學(xué)理論。1807年向巴黎科學(xué)院呈交熱的傳播論文，推導(dǎo)出著名的熱傳導(dǎo)方程 ，并在求解該方程時(shí)發(fā)現(xiàn)解函數(shù)可以由三角函數(shù)構(gòu)成的級(jí)數(shù)形式表示，從而提出任一函數(shù)都可以展成三角函數(shù)的無窮級(jí)數(shù)。傅立葉級(jí)數(shù)（即三角級(jí)數(shù)）、傅立葉分析等理論均由此創(chuàng)始。 物理方面 他是傅立葉定律的創(chuàng)始人，1822 年在代表作熱的分析理論中解決了熱在非均勻加熱的固體中分布傳播問題，成為分析學(xué)在物理中應(yīng)用的最早例證之一，對19 世紀(jì)的理論物理學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生深遠(yuǎn)影響。,本節(jié)內(nèi)容,一、三角級(jí)數(shù)及三角函數(shù)系的正交性 二、周期函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù) 三、正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù) 四、一般周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)

3、 五、任意區(qū)間上非周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù) P316，自學(xué),三角函數(shù)公式：,誘導(dǎo)公式：,一、三角級(jí)數(shù)及三角函數(shù)系的正交性,簡單的周期運(yùn)動(dòng):,(諧波函數(shù)),( A為振幅,,復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng):,令,得函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),,,,,,,,,為角頻率,,為初相 ),(諧波迭加),,稱上述形式的級(jí)數(shù)為三角級(jí)數(shù).,2、三角函數(shù)系的正交性,,,基； 單位正交；,,,,,,,,,,,,,4、函數(shù)的周期性延拓（P312）,,,,,,,,,,正弦級(jí)數(shù)為：,練習(xí) 將函數(shù),級(jí)數(shù) .,則,解: 將 f (x)延拓成以,展成傅里葉,2為周期的函數(shù) F(x) ,,利用此展式可求出幾個(gè)特殊的級(jí)數(shù)的和.,當(dāng) x = 0 時(shí), f (0) =

4、0 , 得,,說明:,設(shè),已知,又,作業(yè)：,P317，習(xí)題8-5，1(1) ， 3。,小結(jié)：,1. 周期為 2 的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)及收斂定理,其中,,注意: 若,為間斷點(diǎn),,則級(jí)數(shù)收斂于,2. 周期為 2 的奇、偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù),奇函數(shù),,正弦級(jí)數(shù),偶函數(shù),,余弦級(jí)數(shù),3. 在 0 , 上函數(shù)的傅里葉展開法,作奇周期延拓 ,,展開為正弦級(jí)數(shù),作偶周期延拓 ,,展開為余弦級(jí)數(shù),1. 在 0 , 上的函數(shù)的傅里葉展開唯一嗎 ?,答: 不唯一 , 延拓方式不同級(jí)數(shù)就不同 .,思考：,處收斂于,2.,,則它的傅里葉級(jí)數(shù)在,在,處收斂于 .,提示:,設(shè)周期函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為,,,,3

5、. 設(shè),又設(shè),求當(dāng),的表達(dá)式 .,解: 由題設(shè)可知應(yīng)對,作奇延拓:,,由周期性:,,為周期的正弦級(jí)數(shù)展開式的和函數(shù),,定義域,4. 寫出函數(shù),,傅氏級(jí)數(shù)的和函數(shù) .,,答案:,備用題 1.,,葉級(jí)數(shù)展式為,則其中系,提示:,,,,,利用“偶倍奇零”,,(93 考研),的傅里,2. 設(shè),是以 2 為周期的函數(shù) ,,其傅氏系數(shù)為,則,的傅氏系數(shù),提示:,令,,狄利克雷 (18 05 1859),,德國數(shù)學(xué)家.,對數(shù)論, 數(shù)學(xué)分析和,數(shù)學(xué)物理有突出的貢獻(xiàn),,是解析數(shù)論,他是最早提倡嚴(yán)格化,方法的數(shù)學(xué)家.,函數(shù) f (x) 的傅里葉級(jí)數(shù)收斂的第一個(gè)充分條件;,了改變絕對收斂級(jí)數(shù)中項(xiàng)的順序不影響級(jí)數(shù)的和,,舉例說明條件收斂級(jí)數(shù)不具有這樣的性質(zhì).,他的主要,的創(chuàng)始人之一,,并,論文都收在狄利克雷論文集 (1889一1897)中.,1829年他得到了給定,證明,