《（山西專用）2019中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題七 幾何圖形的探究猜想與證明課件.ppt》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（山西專用）2019中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題七 幾何圖形的探究猜想與證明課件.ppt（69頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、專題七幾何圖形的探究猜想與證明,類型一一般的猜想探究題 題型特點(diǎn) 一般幾何題的猜想與證明近幾年在中考中間斷性出現(xiàn),以學(xué)生探究為主線,置身于數(shù)學(xué)問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)與解決中,一般在22題以綜合與實(shí)踐的形式出現(xiàn),考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.常綜合平行線、等腰三角形(等邊三角形)、直角三角形、平行四邊形、矩形、正方形等知識(shí)為一體,借助邏輯推理一步一步證明,建立方程模型思想,如常見的通過(guò)勾股定理、相似三角形對(duì)應(yīng)邊成,研題型解易,比例、解直角三角形、面積法、平行線分線段成比例定理等得出關(guān)于未知數(shù)的方程,從而求解. 方法規(guī)律 在復(fù)習(xí)一般幾何題的猜想探究題目時(shí),要注意證明推理和方程模型計(jì)算的綜合,要對(duì)條件進(jìn)行合

2、理猜想與推理,結(jié)合自己的解題經(jīng)驗(yàn)及對(duì)題目的把握靈活處理.復(fù)習(xí)時(shí)注意以下幾點(diǎn):1、注意總結(jié)考查知識(shí)的面與點(diǎn),了解此類題目的特點(diǎn);2、針對(duì)此類問(wèn)題的練習(xí)要注意總結(jié)知識(shí)間的聯(lián)系,提升思維的開放性;3、針對(duì)自己在做題中遇到的問(wèn)題進(jìn)行相應(yīng)的總結(jié)與練習(xí),不斷提升分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.,典例1(2018山西)問(wèn)題情境:在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,老師出示了這樣一個(gè)問(wèn)題:如圖1,在矩形ABCD中,AD=2AB,E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且BE=AB,連接DE,交BC于點(diǎn)M,以DE為一邊在DE的左下方作正方形DEFG,連接AM.試判斷線段AM與DE的位置關(guān)系. 探究展示: 勤奮小組發(fā)現(xiàn),AM垂直平分DE,并展示了如下的證明

3、方法:,解題策略,圖1,證明:BE=AB, AE=2AB.,AD=2AB, AD=AE. 四邊形ABCD是矩形, ADBC. =.(依據(jù)1) BE=AB, =1. EM=DM.,即AM是ADE的DE邊上的中線, 又AD=AE, AMDE.(依據(jù)2) AM垂直平分DE. 反思交流: (1)上述證明過(guò)程中的“依據(jù)1”“依據(jù)2”分別是指什么? 試判斷圖1中的點(diǎn)A是否在線段GF的垂直平分線上,請(qǐng)直接回答,不必證明; (2)創(chuàng)新小組受到勤奮小組的啟發(fā),繼續(xù)進(jìn)行探究,如圖2,連接CE,以CE為一邊在CE的左下方作正方形CEFG,發(fā)現(xiàn)點(diǎn)G在線段BC的垂直平分線上,請(qǐng)你給出,證明; 探索發(fā)現(xiàn): (3)如圖3,

4、連接CE,以CE為一邊在CE的右上方作正方形CEFG,可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)C、點(diǎn)B都在線段AE的垂直平分線上,除此之外,請(qǐng)觀察矩形ABCD和正方形CEFG的頂點(diǎn)與邊,你還能發(fā)現(xiàn)哪個(gè)頂點(diǎn)在哪條邊的垂直平分線上?請(qǐng)寫出一個(gè)你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論,并加以證明.,圖2,圖3,思路點(diǎn)撥根據(jù)平行線分線段成比例,三線合一,正方形、矩形性質(zhì),全等等知識(shí)解答. (1)答:依據(jù)1:兩條直線被一組平行線所截,所得的對(duì)應(yīng)線段成比例(或平行線分線段成比例). 依據(jù)2:等腰三角形頂角的平分線,底邊上的中線及底邊上的高互相重合(或等腰三角形的“三線合一”). 答:點(diǎn)A在線段GF的垂直平分線上. (2)證明GHCCBE,得出HCBH.,(3)先

5、證ENFEBC,再證BMMC.,開放解答,解析(1)依據(jù)1:兩條直線被一組平行線所截,所得的對(duì)應(yīng)線段成比例(或平行線分線段成比例). 依據(jù)2:等腰三角形頂角的平分線,底邊上的中線及底邊上的高互相重合(或等腰三角形的“三線合一”). 點(diǎn)A在線段GF的垂直平分線上. (2)過(guò)點(diǎn)G作GHBC于點(diǎn)H,證明:過(guò)點(diǎn)G作GHBC于點(diǎn)H.,四邊形ABCD是矩形,點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上,CBE=ABC=GHC=90. 1+2=90. 四邊形CEFG為正方形,CG=CE,GCE=90.1+3=90,2=3.,GHCCBE.HC=BE.四邊形ABCD是矩形,AD=BC.AD=2AB,BE=AB,BC=2BE=2HC,

6、HC=BH. GH垂直平分BC.點(diǎn)G在BC的垂直平分線上. (3)過(guò)點(diǎn)F作FMBC于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)E作ENFM于點(diǎn)N,點(diǎn)F在BC邊的垂直平分線上(或點(diǎn)F在AD邊的垂直平分線上). 證法一:過(guò)點(diǎn)F作FMBC于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)E作ENFM于點(diǎn)N.,則有BMN=ENM=ENF=90. 四邊形ABCD是矩形,點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上,CBE=ABC=90. 四邊形BENM為矩形.BM=EN,BEN=90.1+2=90.,四邊形CEFG為正方形,EF=EC,CEF=90.2+3=90.1=3. CBE=ENF=90,ENFEBC.NE=BE.BM=BE.四邊形ABCD是矩形,AD=BC.AD=2AB,AB=BE,BC

7、=2BM.BM=MC.FM垂直平分BC,點(diǎn)F在BC邊的垂直平分線上. 證法二:過(guò)F作FNBE交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,連接FB,FC.,四邊形ABCD是矩形,點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上,CBE=ABC=N=90. 1+3=90. 四邊形CEFG為正方形,,EC=EF,CEF=90. 1+2=90,2=3. ENFCBE.NF=BE,NE=BC. 四邊形ABCD是矩形,AD=BC. AD=2AB,BE=AB,設(shè)BE=a,則BC=EN=2a,NF=a. BF===a, CE===a, CF==CE=a. BF=CF.FCB為等腰三角形.點(diǎn)F在BC邊的垂直平分線上.,當(dāng)堂鞏固,1.(1)如圖1,四邊形ABDC

8、是正方形,以A為頂點(diǎn),作等腰直角三角形AEF,EAF=90,線段BE與CF之間的數(shù)量關(guān)系為:(直接寫出結(jié)果,不需要證明); (2)如圖2,四邊形ABDC是菱形,以A為頂點(diǎn),作等腰三角形AEF,AE=AF,BAC=EAF,(1)中結(jié)論還成立嗎?若成立,請(qǐng)證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由; (3)如圖3,四邊形ABDC是矩形,以A為頂點(diǎn),作直角三角形AEF,EAF=90,AB=AC,AE=AF,當(dāng)EAB=60時(shí),延長(zhǎng)BE交CF于點(diǎn)G. 求證:BECF; 當(dāng)AB=12,AE=4時(shí),求線段BG的長(zhǎng).,,解析(1)BE=CF. 理由:如題圖1,四邊形ABDC是正方形, AC=AB,CAB=EAF=90,FAC

9、=EAB, AF=AE,FACEAB,CF=BE. (2)結(jié)論成立. 理由:如題圖2,CAB=FAE,FAC=EAB, AF=AE,AC=AB,FACEAB,CF=BE. (3)如圖,,設(shè)AC交BG于O. FAE=CAB=90,FAC=EAB, AB=AC,AE=AF, =, =,,FACEAB,ACF=ABE, COG=AOB,CGO=OAB=90,BGCF. 延長(zhǎng)AE交BC于M.tanABC=,ABC=30, MAB=60,AMB=90. AB=12,AM=6,BM=6, AE=4,EM=2,BE==4, ABC=30,BAC=90,BC=AB=8. 又cosCBG==,=,BG=.,類型

10、二圖形平移型 題型特點(diǎn) 圖形平移的探究題近幾年在中考中間斷性出現(xiàn),主要以探究為主線,令學(xué)生置身于數(shù)學(xué)問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)與解決中,一般在22題以綜合與實(shí)踐、23題結(jié)合函數(shù)以壓軸題的形式出現(xiàn),考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.常綜合平行線、等腰三角形(等邊三角形)、直角三角形、平行四邊形、矩形、正方形等知識(shí)為一體,借助邏輯推理一步一步證明,建立方程模型思想,如常見的通過(guò)勾股定理、相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例、解直角三角形、面積法、平行線分線段成比例定理等得出關(guān)于未知數(shù)的方程,從而求解.,方法規(guī)律 平移不改變圖形的大小和形狀,對(duì)應(yīng)線段相等,對(duì)應(yīng)角相等.綜合復(fù)習(xí)時(shí)要注意證明推理和方程模型計(jì)算的綜合,要對(duì)條件進(jìn)行合理

11、猜想與推理,結(jié)合自己的解題經(jīng)驗(yàn)及對(duì)題目的把握靈活處理.復(fù)習(xí)時(shí)注意以下幾點(diǎn):1、注意總結(jié)考查知識(shí)的面與點(diǎn),了解此類題目的特點(diǎn);2、針對(duì)此類問(wèn)題的練習(xí)要注意總結(jié)知識(shí)間的聯(lián)系,提升思維的開放性;3、針對(duì)自己在做題中遇到的問(wèn)題進(jìn)行相應(yīng)的總結(jié)與練習(xí),不斷提升分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.,解題策略 典例2(2018貴港)已知:A、B兩點(diǎn)在直線l的同一側(cè),線段AO,BM均是直線l的垂線段,且BM在AO的右邊,AO=2BM,將BM沿直線l向右平移,在平移過(guò)程中,始終保持ABP=90,BP邊與直線l相交于點(diǎn)P. (1)當(dāng)P與O重合時(shí)(如圖2所示),設(shè)點(diǎn)C是AO的中點(diǎn),連接BC.求證:四邊形OCBM是正方形; (2

12、)請(qǐng)利用如圖1所示的情形,求證:=; (3)若AO=2,且MO=2PO,請(qǐng)直接寫出AB和PB的長(zhǎng).,思路點(diǎn)撥(1)先證明四邊形OCBM是平行四邊形,再由BMO=90,得出OCBM是矩形,最后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)即可證明四邊形OCBM是正方形.,(2)連接AP、OB,由于ABP=AOP=90,所以A、B、O、P四點(diǎn)共圓,從而利用圓周角定理可證明APB=OBM,所以APBOBM,利用相似三角形的性質(zhì)即可求出答案. (3)由于點(diǎn)P的位置不確定,故需要分情況進(jìn)行討論,共兩種情況,第一種情況是點(diǎn)P在O的左側(cè)時(shí),第二種情況是點(diǎn)P在O的右側(cè)時(shí),然后利用四點(diǎn)共圓、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理即

13、可求出答案.,開放解答 解析(1)2BM=AO,2CO=AO, BM=CO, AOBM,四邊形OCBM是平行四邊形, BMO=90,OCBM是矩形, ABP=90,C是AO的中點(diǎn), OC=BC, 矩形OCBM是正方形.,(2)如圖,連接AP、OB, ABP=AOP=90,A、B、O、P四點(diǎn)共圓, 由圓周角定理可知APB=AOB, AOBM,AOB=OBM, APB=OBM,,APBOBM, =. (3)當(dāng)點(diǎn)P在O的左側(cè)時(shí),如圖所示, 過(guò)點(diǎn)B作BDAO于點(diǎn)D, 易證PEOBED,,=, 易證四邊形DBMO是矩形,BD=MO,OD=BM, MO=2PO=BD,=, AO=2BM=2,BM=,OE=

14、,DE=, 易證ADBABE,AB2=ADAE, AD=DO=DM=,AE=AD+DE=, AB=,,由勾股定理可知BE=,易證:PEOPBM, ==,PB=. 當(dāng)點(diǎn)P在O的右側(cè)時(shí),如圖所示, 過(guò)點(diǎn)B作BDOA于點(diǎn)D, MO=2PO,點(diǎn)P是OM的中點(diǎn),,設(shè)PM=x,則BD=2x, AOM=ABP=90,A、O、P、B四點(diǎn)共圓, 四邊形AOPB是圓內(nèi)接四邊形, BPM=A,ABDPBM,=, 又易證四邊形ODBM是矩形,AO=2BM,AD=BM=,=, 解得x=,BD=2x=2, 由勾股定理可知,AB=3,PB=3.,當(dāng)堂鞏固 2.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,10),點(diǎn)E的坐標(biāo)為

15、(20,0),直線l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)F和點(diǎn)E,直線l1與直線l2:y=x相交于點(diǎn)P. (1)求直線l1的表達(dá)式和點(diǎn)P的坐標(biāo); (2)矩形ABCD的邊AB在y軸的正半軸上,點(diǎn)A與點(diǎn)F重合,點(diǎn)B在線段OF上,邊AD平行于x軸,且AB=6,AD=9,將矩形ABCD沿射線FE的方向平移,邊AD始終與x軸平行,已知矩形ABCD以每秒個(gè)單位的速度勻速移動(dòng)(點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)E 時(shí)停止移動(dòng)),設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒(t0). 矩形ABCD在移動(dòng)過(guò)程中,B、C、D三點(diǎn)中有且只有一個(gè)頂點(diǎn)落在直線l1或,l2上,請(qǐng)直接寫出此時(shí)t的值; 若矩形ABCD在移動(dòng)的過(guò)程中,直線CD交直線l1于點(diǎn)N,交直線l2于點(diǎn)M,當(dāng)PMN的面積等于18時(shí)

16、,請(qǐng)直接寫出此時(shí)t的值.,解析(1)設(shè)直線l1的表達(dá)式為y=kx+b(k0), 直線l1過(guò)點(diǎn)F(0,10)和點(diǎn)E(20,0), 解得 直線l1的表達(dá)式為y=-x+10, 解方程組得 點(diǎn)P的坐標(biāo)為(8,6).,(2)或.-.,類型三圖形旋轉(zhuǎn)型 題型特點(diǎn) 圖形的旋轉(zhuǎn)型探究題近幾年在中考中間斷性出現(xiàn),主要以探究為主線,令學(xué)生置身于數(shù)學(xué)的問(wèn)題發(fā)現(xiàn)與解決中,一般在22題以綜合與實(shí)踐、23題結(jié)合函數(shù)以壓軸題的形式出現(xiàn),考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.常綜合平行線、等腰三角形(等邊三角形)、直角三角形、平行四邊形、矩形、正方形等知識(shí)為一體,借助邏輯推理一步一步證明,建立方程模型思想,如常見的通過(guò)勾股定理、

17、相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例、解直角三角形、面積法、平行線分線段成比例定理等得出關(guān)于未知數(shù)的方程,從而求解.,方法規(guī)律 旋轉(zhuǎn)不改變圖形的大小和形狀,對(duì)應(yīng)線段相等,對(duì)應(yīng)角相等;對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線與旋轉(zhuǎn)中心的夾角叫旋轉(zhuǎn)角.綜合復(fù)習(xí)時(shí)要注意證明推理和方程模型計(jì)算的綜合,要對(duì)條件進(jìn)行合理猜想與推理,結(jié)合自己的解題經(jīng)驗(yàn)及對(duì)題目的把握靈活處理.,解題策略 典例3(2018煙臺(tái))問(wèn)題解決: (1)一節(jié)數(shù)學(xué)課上,老師提出了這樣一個(gè)問(wèn)題:如圖1,點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn),PA=1,PB=2,PC=3.你能求出APB的度數(shù)嗎? 小明通過(guò)觀察、分析、思考,形成了如下思路: 思路一:將BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90,得到BPA,連

18、接PP,求出APB的度數(shù); 思路二:將APB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90,得到CPB,連接PP,求出APB的度數(shù). 請(qǐng)參考小明的思路,任選一種寫出完整的解答過(guò)程;,類比探究: (2)如圖2,若點(diǎn)P是正方形ABCD外一點(diǎn),PA=3,PB=1,PC=,求APB的度數(shù). 思路點(diǎn)撥(1)思路一:先利用旋轉(zhuǎn)求出PBP=90,BP=BP=2,AP=CP=3,再,利用勾股定理求出PP,進(jìn)而判斷出APP是直角三角形,得出APP=90,即可得出結(jié)論; 思路二:同思路一的方法即可得出結(jié)論; (2)同(1)的思路一的方法即可得出結(jié)論.,開放解答 解析(1)如圖1,,將BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90, 得到BPA,連接PP,,A

19、BPCBP, PBP=90,BP=BP=2,AP=CP=3, 在RtPBP中,BP=BP=2, BPP=45,根據(jù)勾股定理得, PP=BP=2, AP=1,AP2+PP2=1+8=9, AP2=32=9,AP2+PP2=AP2, APP是直角三角形,且APP=90, APB=APP+BPP=90+45=135.,(2)如圖2,,將BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90,得到BPA,連接PP, ABPCBP,,PBP=90,BP=BP=1,AP=CP=, 在RtPBP中,BP=BP=1, BPP=45,根據(jù)勾股定理得, PP=BP=, AP=3,AP2+PP2=9+2=11, AP2=()2=11,AP2+

20、PP2=AP2, APP是直角三角形,且APP=90, APB=APP-BPP=90-45=45.,當(dāng)堂鞏固 3.如圖,已知AOB=60,在AOB的平分線OM上有一點(diǎn)C,將一個(gè)120角的頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合,它的兩條邊分別與直線OA、OB相交于點(diǎn)D、E. (1)當(dāng)DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時(shí)(如圖1),請(qǐng)猜想OE+OD與OC的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由; (2)當(dāng)DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時(shí),到達(dá)圖2的位置,(1)中的結(jié)論是否成立?并說(shuō)明理由; (3)當(dāng)DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA的反向延長(zhǎng)線相交時(shí),上述結(jié)論是否成立?請(qǐng)?jiān)趫D3中畫出圖形,若成立,請(qǐng)給予證明;若不成立,則線段OD、OE與OC之

21、間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)寫出你的猜想,不需要證明.,,解析(1)OM是AOB的平分線, AOC=BOC=AOB=30, CDOA,ODC=90,OCD=60, OCE=DCE-OCD=60, 在RtOCD中,OD=OCcos 30=OC, 同理OE=OC,OD+OE=OC. (2)(1)中結(jié)論仍然成立,理由: 如圖1,過(guò)點(diǎn)C作CFOA于F,CGOB于G,,OFC=OGC=90, AOB=60,FCG=120, 同(1)的方法得,OF=OC,OG=OC, OF+OG=OC, CFOA,CGOB,且點(diǎn)C是AOB的平分線OM上一點(diǎn), CF=CG, DCE=120,FCG=120,DCF=ECG, C

22、FDCGE,DF=EG,,OF=OD+DF=OD+EG,OG=OE-EG, OF+OG=OD+EG+OE-EG=OD+OE, OD+OE=OC. (3)(1)中結(jié)論不成立,結(jié)論為:OE-OD=OC.,理由:如圖2,過(guò)點(diǎn)C作CFOA于F,CGOB于G, OFC=OGC=90, AOB=60,FCG=120, 同(1)的方法得,OF=OC,OG=OC, OF+OG=OC, CFOA,CGOB,且點(diǎn)C是AOB的平分線OM上一點(diǎn), CF=CG,DCE=120,FCG=120, DCF=ECG,CFDCGE,DF=EG,,OF=DF-OD=EG-OD,OG=OE-EG, OF+OG=EG-OD+OE-E

23、G=OE-OD, OE-OD=OC.,類型四圖形折疊型 題型特點(diǎn) 圖形的折疊探究題近幾年在中考中間斷性出現(xiàn),主要以操作探究為主,令學(xué)生置身于數(shù)學(xué)的問(wèn)題發(fā)現(xiàn)與解決中,一般在22題以綜合與實(shí)踐出現(xiàn),考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.常綜合平行線、等腰三角形(等邊三角形)、直角三角形、平行四邊形、矩形、正方形等知識(shí)為一體,借助邏輯推理一步一步證明,建立方程模型思想,如常見的通過(guò)勾股定理、相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例、解直角三角形、面積法、平行線分線段成比例定理等得出關(guān)于未知數(shù)的方程,從而求解.,方法規(guī)律 折疊前后,圖形的大小和形狀不變,對(duì)應(yīng)線段相等,對(duì)應(yīng)角相等.綜合復(fù)習(xí)時(shí)要注意證明推理和方程模型計(jì)算的綜合

24、,要對(duì)條件進(jìn)行合理猜想與推理,結(jié)合自己的解題經(jīng)驗(yàn)及對(duì)題目的把握靈活處理.,解題策略 典例4(2018昆明)如圖1,在矩形ABCD中,P為CD邊上一點(diǎn)(DP

25、B-APM,即ABP=MPB,從而可知PM=MB=AM,又易證四邊形PMBN是平行四邊形,所以四邊形PMBN是菱形.,(3)由于=,可設(shè)DP=a,AD=2a,易證PCFBAF,PCEMAE,從而 可得=,=,從而可求出EF=AF-AE=AC-AC=AC,從而可得 ==.,開放解答 解析(1)證明:在矩形ABCD中,AD=BC,C=D=90,DAP+APD=90, APB=90,CPB+APD=90,DAP=CPB, ADPPCB,=,ADCB=DPPC. AD=BC,AD2=DPPC. (2)四邊形PMBN為菱形,理由如下: 在矩形ABCD中,CDAB, 又BNPM,四邊形PMBN為平行四邊形

26、,,ADP沿AP翻折得到ADP,APD=APM, CDAB,APD=PAM,APM=PAM, APB=90, PAM+PBA=90,APM+BPM=90, 又APM=PAM,PBA=BPM,PM=MB. 平行四邊形PMBN為菱形. (3)解法一:APM=PAM,PM=AM, PM=MB,AM=MB, 四邊形ABCD為矩形,CDAB且CD=AB,,設(shè)DP=a,則AD=2DP=2a,由AD2=DPPC得PC=4a, DC=AB=5a,MA=MB=, CDAB,ABF=CPF,BAF=PCF, BFAPFC,===,=, 同理可得MEAPEC, ===,=, =-=-=,,=,==. 解法二:如圖,

27、過(guò)點(diǎn)F作FGPM,交MB于點(diǎn)G. APM=PAM,PM=AM,PM=MB, AM=MB,四邊形ABCD為矩形,CDAB且CD=AB, 設(shè)DP=a,則AD=2DP=2a,由AD2=DPPC得PC=4a,,DC=AB=5a,MA=MB=. CDAB,CPF=ABF,PCF=BAF, PFCBFA,===, FGPM,==,=, AM=MB,=,FGPM,==.,當(dāng)堂鞏固 4.背景閱讀:早在三千多年前,我國(guó)周朝數(shù)學(xué)家商高就提出:將一根直尺折成一個(gè)直角,如果勾等于三,股等于四,那么弦就等于五,即“勾三,股四,弦五”.它被記載于我國(guó)古代著名數(shù)學(xué)著作周髀算經(jīng)中.為了方便,在本題中,我們把三邊的比為345的

28、三角形稱為(3,4,5)型三角形.例如:三邊長(zhǎng)分別為9,12,15或3,4,5的三角形就是(3,4,5)型三角形.用矩形紙片按下面的操作 方法可以折出這種類型的三角形. 實(shí)踐操作:如圖1,在矩形紙片ABCD中,AD=8 cm,AB=12 cm. 第一步:如圖2,將圖1中的矩形紙片ABCD沿過(guò)點(diǎn)A的直線折疊,使點(diǎn)D落在AB上的點(diǎn)E處,折痕為AF,再沿EF折疊,然后把紙片展平.,第二步:如圖3,將圖2中的矩形紙片再次折疊,使點(diǎn)D與點(diǎn)F重合,折痕為GH,然后展平,隱去AF. 第三步:如圖4,將圖3中的矩形紙片沿AH折疊,得到ADH,再沿AD折疊,折痕為AM,AM與折痕EF交于點(diǎn)N,然后展平.,問(wèn)題解

29、決 (1)請(qǐng)?jiān)趫D2中證明四邊形AEFD是正方形; (2)請(qǐng)?jiān)趫D4中判斷NF與ND的數(shù)量關(guān)系,并加以證明; (3)請(qǐng)?jiān)趫D4中證明AEN是(3,4,5)型三角形; 探索發(fā)現(xiàn) (4)在不添加字母的情況下,圖4中還有哪些三角形是(3,4,5)型三角形?請(qǐng)找出并直接寫出它們的名稱.,解析(1)證明:四邊形ABCD是矩形, D=DAE=90, 由折疊的性質(zhì)得,AE=AD,AEF=D=90, D=DAE=AEF=90,四邊形AEFD是矩形, AE=AD,矩形AEFD是正方形. (2)NF=ND.理由:連接HN,由折疊得ADH=D=90,HF=HD=HD,,四邊形AEFD是正方形,EFD=90, ADH=90

30、,HDN=90, 在RtHNF與RtHND中, RtHNFRtHND,NF=ND. (3)四邊形AEFD是正方形,AE=EF=AD=8 cm, 由折疊得,AD=AD=8 cm,設(shè)NF=x cm,則ND=x cm, 在RtAEN中,AN2=AE2+EN2,(8+x)2=82+(8-x)2, 解得x=2,AN=8+x=10 cm,EN=6 cm,,ENAEAN=345,AEN是(3,4,5)型三角形. (4)圖4中還有MFN,MDH,MDA是(3,4,5)型三角形,CFAE,MFNAEN, ENAEAN=6 8 10=345,FNMFMN=345, MFN是(3,4,5)型三角形. 同理,MDH,MDA是(3,4,5)型三角形.,