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1、第八章 專題拓展 8.3 閱讀理解型,中考數(shù)學(xué) (福建專用),一、選擇題 1.(2014龍巖,10,4分)定義符號(hào)mina,b的含義為:當(dāng)ab時(shí),mina,b=b;當(dāng)a

2、,解析設(shè)等腰三角形的頂角為x度,則一個(gè)底角的度數(shù)為2x度,由x+22x=180 x=36.故頂角為36度.,思路分析設(shè)出頂角度數(shù),根據(jù)“特征值”可知底角度數(shù),再由三角形內(nèi)角和定理即可求得.,3.(2015龍巖,16,3分)我們把平面內(nèi)與四邊形各邊端點(diǎn)構(gòu)成的三角形都是等腰三角形的點(diǎn)叫做這個(gè)四邊形的腰點(diǎn)(如矩形的對(duì)角線交點(diǎn)是矩形的一個(gè)腰點(diǎn)),則正方形的腰點(diǎn)共有個(gè).,答案9,解析如圖,正方形一共有9個(gè)腰點(diǎn),除了正方形的中心外,兩條與邊平行的對(duì)稱軸上各有四個(gè)腰點(diǎn).以B為圓心,BA長(zhǎng)為半徑畫圓,與平行邊的對(duì)稱軸交于4個(gè)點(diǎn),這4個(gè)點(diǎn)均滿足腰點(diǎn)定義,同理確定其他腰點(diǎn).,解題關(guān)鍵解決本題的關(guān)鍵是要關(guān)注圖形的對(duì)

3、稱性以及等腰三角形腰、底的分類討論,同時(shí)用好作圖工具(圓規(guī)、直尺).,三、解答題 4.(2018重慶,25,10分)對(duì)任意一個(gè)四位數(shù)n,如果千位與十位上的數(shù)字之和為9,百位與個(gè)位上的數(shù)字之和也為9,則稱n為“極數(shù)”. (1)請(qǐng)任意寫出三個(gè)“極數(shù)”;并猜想任意一個(gè)“極數(shù)”是不是99的倍數(shù),請(qǐng)說明理由; (2)如果一個(gè)正整數(shù)a是另一個(gè)正整數(shù)b的平方,則稱正整數(shù)a是完全平方數(shù).若四位數(shù)m為“極數(shù)”,記D(m)=.求滿足D(m)是完全平方數(shù)的所有m.,解析(1)4 158,6 237,9 900.(2分) 任意一個(gè)“極數(shù)”是99的倍數(shù).理由:設(shè)任意一個(gè)“極數(shù)”n的千位數(shù)字為x,百位數(shù)字為y(其中1x9

4、,0y9,且x,y為整數(shù)),則十位上的數(shù)字為9-x,個(gè)位上的數(shù)字為9-y.則這個(gè)數(shù)可以表示為 n=1 000 x+100y+10(9-x)+9-y. 化簡(jiǎn),得n=990 x+99y+99=99(10 x+y+1). 1x9,0y9,且x,y為整數(shù),10 x+y+1為整數(shù). 任意一個(gè)“極數(shù)”都是99的倍數(shù).(4分) (2)由(1)可知,設(shè)任意一個(gè)“極數(shù)”m的千位數(shù)字為x,百位數(shù)字為y(其中1x9,0y9,且x,y為整數(shù)),則“極數(shù)”m可表示為m=99(10 x+y+1). D(m)==3(10 x+y+1).(5分) 1x9,0y9, 1110 x+y+1100. 333(10 x+y+1)30

5、0.,D(m)為完全平方數(shù)且D(m)是3的倍數(shù), D(m)=36或81或144或225.(6分) 當(dāng)D(m)=36時(shí),得10 x+y=11,解得x=1,y=1.此時(shí),m=1 188. 當(dāng)D(m)=81時(shí),得10 x+y=26,解得x=2,y=6.此時(shí),m=2 673. 當(dāng)D(m)=144時(shí),得10 x+y=47,解得x=4,y=7.此時(shí),m=4 752. 當(dāng)D(m)=225時(shí),得10 x+y=74,解得x=7,y=4.此時(shí),m=7 425. 綜上,滿足條件的m為1 188,2 673,4 752,7 425.(10分),思路分析(1)設(shè)“極數(shù)”n的千位數(shù)字為x,百位數(shù)字為y,則極數(shù)n=1 00

6、0 x+100y+10(9-x)+9-y,化簡(jiǎn)得n=99(10 x+y+1),顯然是99的倍數(shù);(2)根據(jù)(1)得出的極數(shù)m=99(10 x+y+1),進(jìn)而得出D(m)=3(10 x+y+1),進(jìn)一步得出D(m)的取值范圍,根據(jù)完全平方數(shù)的定義推出D(m)=36或81或144或225,最后得出極數(shù)m的值.,易錯(cuò)警示易忽略x,y的取值范圍及所得關(guān)系式的自身特征而致錯(cuò).,5.(2018北京,23,6分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,函數(shù)y=(x0)的圖象G經(jīng)過點(diǎn)A(4,1),直線l:y=x +b與圖象G交于點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C. (1)求k的值; (2)橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn).記圖象G在點(diǎn)A,

7、B之間的部分與線段OA,OC,BC圍成的區(qū)域(不含邊界)為W. 當(dāng)b=-1時(shí),直接寫出區(qū)域W內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù); 若區(qū)域W內(nèi)恰有4個(gè)整點(diǎn),結(jié)合函數(shù)圖象,求b的取值范圍.,解析(1)由函數(shù)y=(x0)的圖象過點(diǎn)A(4,1),得k=14=4. (2)整點(diǎn)個(gè)數(shù)為3. 如圖,,若b0,當(dāng)直線過點(diǎn)(1,2)時(shí),b=, 當(dāng)直線過點(diǎn)(1,3)時(shí),b=,

8、意區(qū)域是不包含邊界的.,6.(2018北京,28,7分)對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形M,N,給出如下定義:P為圖形M上任意一點(diǎn),Q為圖形N上任意一點(diǎn),如果P,Q兩點(diǎn)間的距離有最小值,那么稱這個(gè)最小值為圖形M,N間的“閉距離”,記作d(M,N). 已知點(diǎn)A(-2,6),B(-2,-2),C(6,-2). (1)求d(點(diǎn)O,ABC); (2)記函數(shù)y=kx(-1x1,k0)的圖象為圖形G.若d(G,ABC)=1,直接寫出k的取值范圍; (3)T的圓心為T(t,0),半徑為1.若d(T,ABC)=1,直接寫出t的取值范圍.,解析(1)如圖1,點(diǎn)O到ABC上的點(diǎn)的距離的最小值為2,即d(點(diǎn)O,AB

9、C)=2. 圖1 (2)k的取值范圍為-1k1且k0. 提示: 如圖1,y=kx(k0)的圖象經(jīng)過原點(diǎn),在-1x1范圍內(nèi),函數(shù)圖象為線段. 當(dāng)y=kx(-1x1,k0)的圖象經(jīng)過(1,-1)時(shí),k=-1, 此時(shí)d(G,ABC)=1; 當(dāng)y=kx(-1x1,k0)的圖象經(jīng)過(-1,-1)時(shí),k=1, 此時(shí)d(G,ABC)=1.,-1k1. k0, -1k1且k0. (3)t的取值范圍為t=4或0t4-2或t=4+2. 提示: T與ABC的位置關(guān)系分三種情況,如圖2. T在ABC的左側(cè)時(shí),d(T,ABC)=1, 此時(shí)t=-4; T在ABC的內(nèi)部時(shí),d(T,ABC)=1, 此時(shí)0t4-2; T在AB

10、C的右側(cè)時(shí),d(T,ABC)=1, 此時(shí)t=4+2. 綜上所述,t=-4或0t4-2或t=4+2.,圖2,解題關(guān)鍵解決本題的關(guān)鍵是要從點(diǎn)到點(diǎn)的距離中發(fā)現(xiàn)點(diǎn)到直線的距離和平行線間的距離.,7.(2018陜西,25,12分)問題提出 (1)如圖,在ABC中,A=120,AB=AC=5,則ABC的外接圓半徑R的值為. 問題探究 (2)如圖,O的半徑為13,弦AB=24,M是AB的中點(diǎn),P是O上一動(dòng)點(diǎn),求PM的最大值. 問題解決 (3)如圖所示,AB、AC、是某新區(qū)的三條規(guī)劃路,其中,AB=6 km,AC=3 km,BAC=60, 所對(duì)的圓心角為60.新區(qū)管委會(huì)想在路邊建物資總站點(diǎn)P,在AB、AC路邊

11、分別建物資分站 點(diǎn)E、F,也就是,分別在、線段AB和AC上選取點(diǎn)P、E、F.由于總站工作人員每天都要將物 資在各物資站點(diǎn)間按PEFP的路徑進(jìn)行運(yùn)輸,因此,要在各物資站點(diǎn)之間規(guī)劃道路PE、EF和FP.為了快捷、環(huán)保和節(jié)約成本,要使得線段PE、EF、FP之和最短,試求PE+EF+FP的最小值.(各物資站點(diǎn)與所在道路之間的距離、路寬均忽略不計(jì)),解析(1)5(2分) 詳解:如圖,設(shè)O是ABC的外接圓的圓心, OA=OB=OC,又AB=AC,AOBAOC, BAO=CAO, BAC=120,BAO=60, ABO是等邊三角形,AB=OA=OB=5. 即ABC的外接圓半徑R的值為5. (2)如圖,連接M

12、O,并延長(zhǎng)與O相交于點(diǎn)P,連接OA,OP. M是弦AB的中點(diǎn),,OMAB,AM=AB=12. 在RtAOM中,OM==5.(4分) PMOM+OP=OM+OP=MP=18, 當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到P時(shí),PM取得最大值,為18.(5分) (3)如圖,設(shè)P為上任意一點(diǎn),分別作點(diǎn)P關(guān)于直線AB、AC的對(duì)稱點(diǎn)P1、P2,連接P1P2,分別 與AB、AC相交于點(diǎn)E、F,連接PE,PF, PEF的周長(zhǎng)=P1E+EF+P2F=P1P2, 對(duì)于點(diǎn)P及分別在AB、AC上的任意點(diǎn)E、F,有PEF的周長(zhǎng)PEF的周長(zhǎng)=P1P2. 即PEF周長(zhǎng)的最小值為P1P2的長(zhǎng).(7分) 連接AP1,AP,AP2,,則AP1=AP=AP2,

13、P1AB=PAB,P2AC=PAC, P1AP2=2BAC=120,P1P2=AP1=AP.(8分) 要使P1P2最短,只要AP最短即可. 設(shè)O為所在圓的圓心,連接OB、OC、OP、OA,且OA與相交于點(diǎn)P, 則AP+POAO. APAP.(9分) 連接BC,易證ACB為直角三角形,且ABC=30,ACB=90, BC=ACtan 60=3 km. BOC=60,OB=OC, BO=BC=3 km,OBC=60,ABO=ABC+OBC=90. 在RtABO中,AO===3 km.(11分) AP=(AO-OP)=(3-3)=(3-9)km. P1P2的最小值為AP=(3-9)km. PE+EF

14、+FP的最小值為(3-9)km.(12分),思路分析(1)設(shè)O是ABC的外接圓的圓心,根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)和圓的半徑相等可證ABO是等邊三角形,所以AB=OA=OB=5;(2)當(dāng)PMAB時(shí),PM有最大值,根據(jù)垂徑定理可得AM=AB=12,再根據(jù)勾股定理求得OM=5,進(jìn)而由PMOM+OP=OM+OP=MP=18得解;(3) 分別以AB、AC所在的直線為對(duì)稱軸,作出P關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)為P1,關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)為P2,易得PEF的周長(zhǎng)為P1P2的長(zhǎng),根據(jù)P1P2=AP,可知要使P1P2最短,只要AP最短,OA與交于 點(diǎn)P,此時(shí)使得線段PE、EF、FP之和最短,然后先判定ABC為直角三角形,求出B

15、C的長(zhǎng),在RtABO中由勾股定理求出AO的長(zhǎng),進(jìn)而求出AP的值,最后求得PE+EF+FP的最小值.,難點(diǎn)分析本題難點(diǎn)在于第(3)問如何確定P點(diǎn)的位置及何時(shí)PE+EF+FP取得最小值.讀懂題目信息也就明確了可以利用軸對(duì)稱確定最短路線問題,同時(shí)結(jié)合圓半徑和線段OA的長(zhǎng)度求出AP的最小值.,8.(2018江西,23,12分)小賢與小杰在探究某類二次函數(shù)問題時(shí),經(jīng)歷了如下過程: 求解體驗(yàn) (1)已知拋物線y=-x2+bx-3經(jīng)過點(diǎn)(-1,0),則b=,頂點(diǎn)坐標(biāo)為,該拋物線關(guān)于點(diǎn)(0,1)成中心對(duì)稱的拋物線表達(dá)式是. 抽象感悟 我們定義:對(duì)于拋物線y=ax2+bx+c(a0),以y軸上的點(diǎn)M(0,m)為

16、中心,作該拋物線關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱的拋物線y,則我們又稱拋物線y為拋物線y的“衍生拋物線”,點(diǎn)M為“衍生中心”. (2)已知拋物線y=-x2-2x+5關(guān)于點(diǎn)(0,m)的衍生拋物線為y,若這兩條拋物線有交點(diǎn),求m的取值范圍. 問題解決 (3)已知拋物線y=ax2+2ax-b(a0). 若拋物線y的衍生拋物線為y=bx2-2bx+a2(b0),兩拋物線有兩個(gè)交點(diǎn),且恰好是它們的頂點(diǎn),求a,b的值及衍生中心的坐標(biāo); 若拋物線y關(guān)于點(diǎn)(0,k+12)的衍生拋物線為y1,其頂點(diǎn)為A1;關(guān)于點(diǎn)(0,k+22)的衍生拋物線為y2,,其頂點(diǎn)為A2;;關(guān)于點(diǎn)(0,k+n2)的衍生拋物線為yn,其頂點(diǎn)為An;(n為正整

17、數(shù)).求AnAn+1的長(zhǎng)(用含n的式子表示). (備用圖),解析(1)-4;(-2,1);y=(x-2)2+1(或y=x2-4x+5). (2)易知拋物線y=-x2-2x+5的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,6), 且點(diǎn)(-1,6)關(guān)于點(diǎn)(0,m)的對(duì)稱點(diǎn)為(1,2m-6), 衍生拋物線的解析式為y=(x-1)2+2m-6. 由y=-(x+1)2+6,y=(x-1)2+2m-6,y=y, 得x2+m-5=0,即x2=5-m. 當(dāng)5-m0,即m5時(shí),方程有解. m的取值范圍為m5. (3)拋物線y=ax2+2ax-b的頂點(diǎn)為(-1,-a-b), 拋物線y=bx2-2bx+a2的頂點(diǎn)為(1,-b+a2), 由兩

18、拋物線的交點(diǎn)恰好是它們的頂點(diǎn),得a2-3a=0,a2+a+4b=0, 解得a1=0,b1=0(舍去),a2=3,b2=-3. 拋物線y的頂點(diǎn)為(-1,0),拋物線y的頂點(diǎn)為(1,12). 兩拋物線的衍生中心坐標(biāo)為(0,6).,y=ax2+2ax-b=a(x+1)2-a-b, y1=-a(x-1)2+2k+2+a+b,頂點(diǎn)A1為(1,2k+2+a+b), y2=-a(x-1)2+2k+8+a+b,頂點(diǎn)A2為(1,2k+8+a+b),, yn=-a(x-1)2+2k+2n2+a+b,頂點(diǎn)An為(1,2k+2n2+a+b), yn+1=-a(x-1)2+2k+2(n+1)2+a+b,頂點(diǎn)An+1為(

19、1,2k+2(n+1)2+a+b), AnAn+1=2k+2(n+1)2+a+b-(2k+2n2+a+b)=2(n+1)2-2n2=4n+2.,9.(2017吉林,26,10分)函數(shù)的圖象與性質(zhì)拓展學(xué)習(xí)片段展示: 【問題】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=a(x-2)2-經(jīng)過原點(diǎn)O,與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為 A,則a=. 【操作】將圖中拋物線在x軸下方的部分沿x軸折疊到x軸上方,將這部分圖象與原拋物線剩余部分的圖象組成的新圖象記為G,如圖.直接寫出圖象G對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式. 【探究】在圖中,過點(diǎn)B(0,1)作直線l平行于x軸,與圖象G的交點(diǎn)從左至右依次為點(diǎn)C,D,E,F,如圖.求圖象G在直線l上方

20、的部分對(duì)應(yīng)的函數(shù)y隨x增大而增大時(shí)x的取值范圍. 【應(yīng)用】P是圖中圖象G上一點(diǎn),其橫坐標(biāo)為m,連接PD,PE.直接寫出PDE的面積不小于1時(shí)m的取值范圍.,【應(yīng)用】PDE的面積不小于1時(shí),m的取值范圍是m=0或m=4或m2-或m2+. (詳解:設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為y,則P(m,y), 2|y-1|=1,解得y=0或y=2. 當(dāng)y=0時(shí),m=0或m=4; 當(dāng)y=2時(shí),(m-2)2-=2,解得m=2. 所以PDE的面積不小于1時(shí),m的取值范圍是m=0或m=4或m2-或m2+)(10分),10.(2017重慶A卷,25,10分)對(duì)任意一個(gè)三位數(shù)n,如果n滿足各數(shù)位上的數(shù)字互不相同,且都不為零,那么稱這個(gè)

21、數(shù)為“相異數(shù)”.將一個(gè)“相異數(shù)”任意兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字對(duì)調(diào)后可以得到三個(gè)不同的新三位數(shù),把這三個(gè)新三位數(shù)的和與111的商記為F(n).例如n=123,對(duì)調(diào)百位與十位上的數(shù)字得到213,對(duì)調(diào)百位與個(gè)位上的數(shù)字得到321,對(duì)調(diào)十位與個(gè)位上的數(shù)字得到132,這三個(gè)新三位數(shù)的和為213+321+132=666,666111=6,所以F(123)=6. (1)計(jì)算:F(243),F(617); (2)若s,t都是“相異數(shù)”,其中s=100 x+32,t=150+y(1x9,1y9,x、y都是正整數(shù)),規(guī)定:k=.當(dāng)F(s)+F(t)=18時(shí),求k的最大值.,解析(1)F(243)=(423+342+234

22、)111=9; F(617)=(167+716+671)111=14.(4分) (2)s,t都是“相異數(shù)”, F(s)=(302+10 x+230+x+100 x+23)111=x+5; F(t)=(510+y+100y+51+105+10y)111=y+6. F(s)+F(t)=18, x+5+y+6=x+y+11=18, x+y=7.(6分) 1x9,1y9,且x,y都是正整數(shù), 或或或或或 s是“相異數(shù)”,x2,且x3; t是“相異數(shù)”,y1,且y5, 滿足條件的有或或,或或 k===,或k===1, 或k===. <1<,k的最大值為.(10分),11.(2016重慶,24,10分)我

23、們知道,任意一個(gè)正整數(shù)n都可以進(jìn)行這樣的分解:n=pq(p,q是正整數(shù),且pq),在n的所有這種分解中,如果p,q兩因數(shù)之差的絕對(duì)值最小,我們就稱pq是n的最佳分解,并規(guī)定:F(n)=.例如12可以分解成112,26或34,因?yàn)?2-16-24-3,所以34是12的最 佳分解,所以F(12)=. (1)如果一個(gè)正整數(shù)a是另外一個(gè)正整數(shù)b的平方,我們稱正整數(shù)a是完全平方數(shù). 求證:對(duì)任意一個(gè)完全平方數(shù)m,總有F(m)=1; (2)如果一個(gè)兩位正整數(shù)t,t=10 x+y(1xy9,x,y為自然數(shù)),交換其個(gè)位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)減去原來的兩位正整數(shù)所得的差為18,那么我們稱這個(gè)數(shù)t為“吉祥

24、數(shù)”.求所有“吉祥數(shù)”中F(t)的最大值.,解析(1)證明:對(duì)任意一個(gè)完全平方數(shù)m,設(shè)m=n2(n為正整數(shù)). |n-n|=0,nn是m的最佳分解. 對(duì)任意一個(gè)完全平方數(shù)m,總有F(m)==1.(3分) (2)設(shè)交換t的個(gè)位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)為t, 則t=10y+x. t為“吉祥數(shù)”,t-t=(10y+x)-(10 x+y)=9(y-x)=18. y=x+2.(6分) 1xy9,x,y為自然數(shù), “吉祥數(shù)”有:13,24,35,46,57,68,79.(7分) 易知F(13)=,F(24)==,F(35)=,F(46)=,F(57)=,F(68)=,F(79)=. , 所有“吉祥數(shù)”

25、中F(t)的最大值是.(10分),12.(2016北京,29,8分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x1,y1),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x2,y2),且x1x2,y1y2,若P,Q為某個(gè)矩形的兩個(gè)頂點(diǎn),且該矩形的邊均與某條坐標(biāo)軸垂直,則稱該矩形為點(diǎn)P,Q的“相關(guān)矩形”.下圖為點(diǎn)P,Q的“相關(guān)矩形”的示意圖. (1)已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0). 若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,1),求點(diǎn)A,B的“相關(guān)矩形”的面積; 點(diǎn)C在直線x=3上.若點(diǎn)A,C的“相關(guān)矩形”為正方形,求直線AC的表達(dá)式; (2)O的半徑為,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,3).若在O上存在一點(diǎn)N,使得點(diǎn)M,N的“相關(guān)矩形”為 正方形,求m的取值范圍.,

26、解析(1)如圖,矩形AEBF為點(diǎn)A(1,0),B(3,1)的“相關(guān)矩形”. 可得AE=2,BE=1. 點(diǎn)A,B的“相關(guān)矩形”的面積為2. 由點(diǎn)A(1,0),點(diǎn)C在直線x=3上,點(diǎn)A,C的“相關(guān)矩形”AECF為正方形,可得AE=2.,當(dāng)點(diǎn)C在x軸上方時(shí),CE=2,可得C(3,2). 直線AC的表達(dá)式為y=x-1. 當(dāng)點(diǎn)C在x軸下方時(shí),CE=2,可得C(3,-2). 直線AC的表達(dá)式為y=-x+1. (2)由點(diǎn)M,N的“相關(guān)矩形”為正方形, 可設(shè)直線MN為y=x+b或y=-x+b. (i)當(dāng)直線MN為y=x+b時(shí),可得m=3-b.,由圖可知,當(dāng)直線MN平移至與O相切,且切點(diǎn)在第四象限時(shí),b取得最小

27、值,此時(shí)直線MN記為M1N1,其中N1為切點(diǎn),T1為直線M1N1與y軸的交點(diǎn). ON1T1為等腰直角三角形,ON1=, OT1=2,b的最小值為-2. m的最大值為5. 當(dāng)直線MN平移至與O相切,且切點(diǎn)在第二象限時(shí),b取得最大值,此時(shí)直線MN記為M2N2,其中N,2為切點(diǎn),T2為直線M2N2與y軸的交點(diǎn).同理可得,b的最大值為2,m的最小值為1. m的取值范圍為1m5. (ii)當(dāng)直線MN為y=-x+b時(shí),同理可得,m的取值范圍為-5m-1. 綜上所述,m的取值范圍為-5m-1或1m5.,13.(2016江西,22,10分)【圖形定義】 如圖,將正n邊形繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60后,發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)前后兩圖

28、形有另一個(gè)交點(diǎn)O,連接AO,我們稱AO為“疊弦”;再將“疊弦”AO所在的直線繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60后,交旋轉(zhuǎn)前的圖形于點(diǎn)P,連接PO,我們稱OAB為“疊弦角”,AOP為“疊弦三角形”. 【探究證明】 (1)請(qǐng)?jiān)趫D1和圖2中選擇其中一個(gè)證明:“疊弦三角形”(即AOP)是等邊三角形; (2)如圖2,求證:OAB=OAE; 【歸納猜想】 (3)圖1、圖2中“疊弦角”的度數(shù)分別為,; (4)圖n中,“疊弦三角形”等邊三角形(填“是”或“不是”); (5)圖n中,“疊弦角”的度數(shù)為(用含n的式子表示).,,解析(1)選擇圖1. 證明:依題意得DAD=60,PAO=60. DAP=DAD-PAD=60-PA

29、D, DAO=PAO-PAD=60-PAD, DAP=DAO. D=D,AD=AD,DAPDAO, AP=AO. PAO=60, AOP是等邊三角形.(2分) 選擇圖2. 證明:依題意得EAE=60,PAO=60. EAP=EAE-PAE=60-PAE, EAO=PAO-PAE=60-PAE, EAP=EAO.,E=E,AE=AE, EAPEAO, AP=AO. PAO=60, AOP是等邊三角形.(2分) (2)證法一:連接AC,AD,CD. AE=AB,E=B=108,ED=BC, AEDABC, AD=AC,ADE=ACB, 由AD=AC,得ADC=ACD, ODC=OCD,OC=OD,

30、,BC-OC=ED-OD,即BO=EO. AB=AE,B=E, ABOAEO, OAB=OAE.(5分) 證法二:連接AC,AD,CD. AE=AB,E=B=108,ED=BC, AEDABC, AD=AC,ADE=ACB,EAD=BAC, 點(diǎn)A在線段CD的垂直平分線上,ADC=ACD, ODC=OCD,OC=OD, 點(diǎn)O在線段CD的垂直平分線上, 直線AO是線段CD的垂直平分線, CAO=DAO, BAC-CAO=EAD-DAO,,即OAB=OAE.(5分) (3)15;24.(7分) (4)是.(8分) (5)60-.(10分),評(píng)析本題主要考查新定義“疊弦三角形”,等邊三角形和全等三角形

31、以及正多邊形的綜合應(yīng)用.解答本題的關(guān)鍵是先讀懂新定義,再利用新定義解決問題.同時(shí)要從特殊到一般歸納出結(jié)論.,14.(2016廈門,28,6分)當(dāng)m,n是正實(shí)數(shù),且滿足m+n=mn時(shí),就稱點(diǎn)P為“完美點(diǎn)”,已知點(diǎn)A (0,5)與點(diǎn)M都在直線y=-x+b上,點(diǎn)B,C是“完美點(diǎn)”,且點(diǎn)B在線段AM上,若MC=,AM=4,求 MBC的面積.,解析m+n=mn,且m,n是正實(shí)數(shù), +1=m,即=m-1,P(m,m-1), 即“完美點(diǎn)”B在直線y=x-1上, 點(diǎn)A(0,5)在直線y=-x+b上,b=5, 直線AM的方程為y=-x+5, “完美點(diǎn)”B在直線AM上, 由解得B(3,2), 一、三象限的角平分線

32、y=x垂直于二、四象限的角平分線y=-x,而直線y=x-1與直線y=x平行,直線y=-x+5與直線y=-x平行, 直線AM與直線y=x-1垂直, 點(diǎn)B是直線y=x-1與直線AM的交點(diǎn),,解析m+n=mn,且m,n是正實(shí)數(shù), +1=m,即=m-1, P(m,m-1), 即“完美點(diǎn)”B在直線y=x-1上, 點(diǎn)A(0,5)在直線y=-x+b上, b=5, 直線AM的方程為y=-x+5, “完美點(diǎn)”B在直線AM上, 由解得 B(3,2), 一、三象限的角平分線y=x垂直于二、四象限的角平分線y=-x,而直線y=x-1與直線y=x平行,直線y=-x+5與直線y=-x平行, 直線AM與直線y=x-1垂直,

33、 點(diǎn)B是直線y=x-1與直線AM的交點(diǎn),,垂足是點(diǎn)B, 點(diǎn)C是“完美點(diǎn)”, 點(diǎn)C在直線y=x-1上, MBC是直角三角形, B(3,2),A(0,5), AB=3, AM=4, BM=, 又CM=, BC=1, SMBC=BMBC=.,,思路分析由m+n=mn變形為=m-1,可知P(m,m-1),所以“完美點(diǎn)”在直線y=x-1上,點(diǎn)A(0,5) 在直線y=-x+b上,求得直線AM:y=-x+5,進(jìn)而求得B(3,2),根據(jù)直線平行的性質(zhì)證得直線AM與直線y=x-1垂直,然后根據(jù)勾股定理求得BC的長(zhǎng),從而求得三角形的面積.,點(diǎn)評(píng)本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì),直角三角形的判定,勾股定理的應(yīng)用以及三角形面

34、積的計(jì)算等,判斷直線垂直,借助正比例函數(shù)是本題的關(guān)鍵.,15.(2015泉州,26,13分)閱讀理解 拋物線y=x2上任意一點(diǎn)到點(diǎn)(0,1)的距離與到直線y=-1的距離相等,你可以利用這一性質(zhì)解決 問題. 問題解決 如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=kx+1與y軸交于C點(diǎn),與函數(shù)y=x2的圖象交于A,B兩點(diǎn),分別 過A,B兩點(diǎn)作直線y=-1的垂線,交于E,F兩點(diǎn). (1)寫出點(diǎn)C的坐標(biāo),并說明ECF=90; (2)在PEF中,M為EF中點(diǎn),P為動(dòng)點(diǎn). 求證:PE2+PF2=2(PM2+EM2); 已知PE=PF=3,以EF為一條對(duì)角線作平行四邊 形CEDF,若1

35、,解析(1)當(dāng)x=0時(shí),y=k0+1=1, 則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,1). 根據(jù)題意可得AC=AE, AEC=ACE. AEEF,COEF, AECO, AEC=OCE, ACE=OCE. 同理可得OCF=BCF. ACE+OCE+OCF+BCF=180, 2OCE+2OCF=180, OCE+OCF=90,即ECF=90. (2)證明:過點(diǎn)P作PHEF于H, (i)若點(diǎn)H在線段EF上,如圖.,圖 M為EF中點(diǎn), EM=FM=EF. 根據(jù)勾股定理可得 PE2+PF2-2PM2=PH2+EH2+PH2+HF2-2PM2 =2PH2+EH2+HF2-2(PH2+MH2) =EH2-MH2+HF2-MH

36、2 =(EH+MH)(EH-MH)+(HF+MH)(HF-MH),=EM(EH+MH)+MF(HF-MH) =EM(EH+MH)+EM(HF-MH) =EM(EH+MH+HF-MH) =EMEF=2EM2, PE2+PF2=2(PM2+EM2). (ii)若點(diǎn)H在線段EF的延長(zhǎng)線(或反向延長(zhǎng)線)上,如圖. 圖 同理可得PE2+PF2=2(PM2+EM2).,綜上所述:當(dāng)點(diǎn)H在直線EF上時(shí),都有PE2+PF2=2(PM2+EM2). 連接CD、PM,如圖. ECF=90, CEDF是矩形, M是EF的中點(diǎn), M是CD的中點(diǎn),且MC=EM. 由中的結(jié)論可得 在PEF中,有PE2+PF2=2(PM2

37、+EM2), 在PCD中,有PC2+PD2=2(PM2+CM2). MC=EM, PC2+PD2=PE2+PF2. PE=PF=3, PC2+PD2=18. 1

38、請(qǐng)你直接寫出3個(gè)四位“和諧數(shù)”;請(qǐng)你猜想任意一個(gè)四位“和諧數(shù)”能否被11整除,并說明理由; (2)已知一個(gè)能被11整除的三位“和諧數(shù)”,設(shè)其個(gè)位上的數(shù)字為x(1x4,x為自然數(shù)),十位上的數(shù)字為y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式.,17.(2015浙江寧波,25,12分)如圖1,點(diǎn)P為MON的平分線上一點(diǎn),以P為頂點(diǎn)的角的兩邊分別與射線OM,ON交于A,B兩點(diǎn),如果APB繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)始終滿足OAOB=OP2,我們就把APB叫做MON的智慧角. (1)如圖2,已知MON=90,點(diǎn)P為MON的平分線上一點(diǎn),以P為頂點(diǎn)的角的兩邊分別與射線OM,ON交于A,B兩點(diǎn),且APB=135.求證:APB是MON的智慧角

39、. (2)如圖1,已知MON=(00)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過C的直線CD分別交x軸和y軸于A,B兩點(diǎn),且滿 足BC=2CA,請(qǐng)求出AOB的智慧角APB的頂點(diǎn)P的坐標(biāo).,解析(1)證明:MON=90,P是MON的平分線上一點(diǎn), AOP=BOP=MON=45. AOP+OAP+APO=180, OAP+APO=135. APB=135,APO+OPB=135, OAP=OPB,AOPPOB,(2分) =,OP2=OAOB, APB是MON的智慧角.(3分) (2)APB是MON的智慧角, OAOB=OP2,=.,P為MON的平分線上一點(diǎn),MON=, AOP=BOP=. AOPPOB,OAP=OPB,

40、 APB=OPB+OPA=OAP+OPA=180-, 即APB=180-.(5分) 過A作AGOB于G, SAOB=OBAG=OBOAsin =OP2sin . OP=2,SAOB=2sin .(7分) (3)設(shè)點(diǎn)C(a,b),則ab=3, 過點(diǎn)C作CHOA,垂足為點(diǎn)H,e2,ACHABO, OB=CH=b,OA=AH=a, OAOB=ab=. APB是AOB的智慧角, OP===, AOB=90,OP平分AOB, 點(diǎn)P的坐標(biāo)為. 綜上,點(diǎn)P的坐標(biāo)為或.(12分),評(píng)析本題是閱讀理解型新定義問題,考查相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)定義、反比例函數(shù)的性質(zhì)、曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系等知識(shí),以及分類討論思想的應(yīng)用.,