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1、邊際問題,邊際：經(jīng)濟變量的變化率。 邊際分析：利用導(dǎo)數(shù)研究經(jīng)濟變量的邊 際變化的方法。,邊際分析方法（marginal analysismarginal adding analysis) 邊際分析法是十九世紀(jì)產(chǎn)生的一種經(jīng)濟分析方法，同時形成了經(jīng)濟學(xué)的邊際效用學(xué)派，代表人物有瓦爾拉(L. Walras)、杰文斯(W.S. Jevons)、戈森(H.H. Gossen)、門格爾(C. Menger)、埃奇沃思(F.Y. Edgeworth)、馬歇爾(A. Marshall)、費希爾(I. Fisher)、克拉克(J.B. Clark)以及龐巴維克(E. von Bohm-Bawerk)

2、等人。,邊際效用學(xué)派對邊際概念作出了解釋和定義，當(dāng)時瓦爾拉斯把邊際效用叫做稀缺性， 杰文斯把它叫做最后效用，但不管叫法如何，說的都是微積分中的“導(dǎo)數(shù)”和“偏導(dǎo)數(shù)”。 在西方經(jīng)濟學(xué)中,邊際分析方法是最基本的分析方法之一,是一個比較科學(xué)的分析方法。西方邊際分析方法的起源可追溯到馬爾薩斯。他在1814年曾指出微分法對經(jīng)濟分析所可能具有的用途。,1824年，湯普遜(W.Thompson)首次將微分法運用于經(jīng)濟分析，研究政府的商品和勞務(wù)采購獲得最大利益的條件。功利主義創(chuàng)始人邊沁(J.Bentham)在其最大快樂和最小痛苦為人生追求目標(biāo)的信條中，首次采用最大和最小術(shù)語，并且提出了邊際效應(yīng)遞減的原理。,在

3、西方經(jīng)濟學(xué)中，我們把研究一種可變因素的數(shù)量變動會對其他可變因素的變動產(chǎn)生多大影響的方法，稱為邊際分析方法。 邊際分析法就是運用導(dǎo)數(shù)和微分方法研究經(jīng)濟運行中微增量的變化，用以分析各經(jīng)濟變量之間的相互關(guān)系及變化過程的一種方法。 邊際即“額外的”、“追加”的意思，指處在邊緣上的“已經(jīng)追加上的最后一個單位”，或“可能追加的下一個單位”，屬于導(dǎo)數(shù)和微分的概念，就是指在函數(shù)關(guān)系中，自變量發(fā)生微量變動時，在邊際上因變量的變化，邊際值表現(xiàn)為兩個微增量的比。,這種分析方法廣泛運用于經(jīng)濟行為和經(jīng)濟變量的分析過程，如對效用、成本、產(chǎn)量、收益、利潤、消費、儲蓄、投資、要素效率等等的分析多有邊際概念。 邊際分析法之所

4、以成為西方經(jīng)濟學(xué)研究中的非常重要的方法，是由西方經(jīng)濟學(xué)的對象決定的。由于西方經(jīng)濟學(xué)研究資源最優(yōu)效率的使用，而最優(yōu)點實際就是函數(shù)的極值點，根據(jù)高等數(shù)學(xué)的知識，很容易理解，數(shù)學(xué)方法求得極值就是對函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，當(dāng)它的一階導(dǎo)數(shù)為0時，即找到極值點。,導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟學(xué)意義---邊際函數(shù),稱為在 x= x0 點的邊際函數(shù)值。,（1） 邊際成本,產(chǎn)量增加一個單位時所增加的總成本。 （例子：盒飯問題）,則邊際成本,即邊際成本是總成本關(guān)于產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù)，其經(jīng)濟意義為,（2）邊際收入,多銷售一個單位產(chǎn)品所增加的銷售總收入。,稱為銷售量為,時該產(chǎn)品的邊際收入。,收入函數(shù)的變化率,（3） 邊際利潤,1、邊際成本：成本函數(shù) C

5、(x) 的導(dǎo)函數(shù),2、邊際收入：收益函數(shù) R (x) 的導(dǎo)函數(shù),2、邊際利潤：利潤函數(shù) L (x) 的導(dǎo)函數(shù),注：邊際成本可以反映在 x 處成本增長的快慢，,利潤函數(shù) L (x) 取最大值的必要條件：,利潤最大的必要條件：邊際收益等于邊際成本,解：（1）,例2.設(shè)某商品售價 元時,每天的需求量為,,解: 收益函數(shù)為,當(dāng)產(chǎn)量為7個單位時，利潤最大，此時售價為 元.,某工廠每天生產(chǎn)商品,單位的成本為,(元).,如果工廠有權(quán)自定價格，問該工廠每天產(chǎn)量為多少時，,利潤函數(shù)為,,令,解. 平均成本函數(shù),,,,,,又,,,故,有極小值，,邊際效用遞減規(guī)律,早在1854年，德國經(jīng)濟學(xué)家戈森就曾提出

6、一個有關(guān)欲望的法則：同一享樂不斷重復(fù)，則其帶來的享受逐漸遞減。由此變出經(jīng)濟學(xué)中著名的戈森第一定律，即邊際效用遞減規(guī)律.,19世紀(jì)末期，英國經(jīng)濟學(xué)家A馬歇爾把這一規(guī)律稱為“人類本性的這種平凡而基本的傾向”，并把這一規(guī)律作為解釋消費者行為與需求原理的基礎(chǔ)。,邊際效用遞減規(guī)律是經(jīng)濟學(xué)上的一個基本規(guī)律,有人說是公理. 邊際效用（Marginal Utility）,有時也稱為邊際貢獻，指消費者在一定時間內(nèi)增加一個單位商品消費所得到的效用量的增量。邊際效用遞減規(guī)律（Law of Diminishing Marginal Utility）說的是：在一定時間內(nèi)，在其它商品的消費數(shù)量保持不變的條件下，消費者從某

7、種商品連續(xù)增加的每一消費單位中所得到的效用增量，即邊際效用，是遞減的（雖然帶來的總效用仍然是增加的）。,通俗地講：當(dāng)你極度口渴的時候十分需要喝水，你喝下的第一杯水是最解燃眉之急、最暢快的，但隨著口渴程度降低，你對下一杯水的渴望值也不斷減少，當(dāng)你喝到完全不渴的時候即是邊際，這時候再喝下去甚至?xí)械讲贿m，再繼續(xù)喝下去會越來越感到不適（負效用）。,心理或生理的解釋,效用是消費者的心理感受，消費某種物品實際上就是提供一種刺激，使人有一種滿足的感受，或心理上有某種反應(yīng)。消費某種物品時，開始的刺激一定大，從而人的滿足程度就高。但不斷消費同一種物品，即同一種刺激不斷反復(fù)時，人在心理上的興奮程度或滿足必然減少

8、?；蛘哒f，隨著消費數(shù)量的增加，效用不斷累積，新增加的消費所帶來的效用增加越來越微不足道。19世紀(jì)的心理學(xué)家韋伯和費克納通過心理實驗驗證了這一現(xiàn)象，并命名為韋伯費克納邊際影響遞減規(guī)律。這一規(guī)律也可以用來解釋邊際效用遞減規(guī)律。,資源配置說,設(shè)想每種物品都有幾種用途，且可按重要性分成等級。消費者隨著獲得該物品數(shù)量的增加，會將其逐次用到不重要的用途上去。這本身就說明邊際效用是遞減的。比如水，按重要程度遞減的順序，分別由飲用、洗浴、洗衣、澆花等多種用途。水很少時，它被用作最重要的用途如飲用。隨著得到的水的量的增加，它會被逐次用到洗浴、洗衣、澆花等相對越來越不重要的用途上。這說明水的邊際效用是遞減的。,凱

9、恩斯的國民收入乘數(shù)原理,凱恩斯在消費傾向的基礎(chǔ)上，建立了一個乘數(shù)原理，乘數(shù)原理的經(jīng)濟含義可以歸結(jié)為，投資變動給國民收入帶來的影響，要比投資變動更大，這種變動往往是投資的變動的倍數(shù)。通過乘數(shù)原理，凱恩斯得到了國民收入（ Y ）與投資量（ I ）之間的確切關(guān)系，將其經(jīng)濟理論導(dǎo)向經(jīng)濟政策，并指導(dǎo)經(jīng)濟實踐。,所謂乘數(shù)，是指在一定的邊際消費傾向條件下，投資的增加（或減少）可導(dǎo)致國民收入和就業(yè)量若干倍的增加（或減少）。收入增量與投資增量之比即為投資乘數(shù)。以公式表示為： K=Y/I

10、 其中，K表示乘數(shù)，Y表示收入增量，I表示投資增量。,同時，由于投資增加而引起的總收入增加中還包括由此而間接引起的消費增量（C）在內(nèi)，即Y=I +C，這使投資乘數(shù)的大小與消費傾向有著密切的關(guān)系，兩者之間的關(guān)系可用數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)如下： K=Y/I=Y/(Y-C)=1/(1-C/Y) 其中， C/Y為邊際消費傾向。由上式可見，邊際消費傾向越高，投資乘數(shù)越大，反之則投資乘數(shù)越小。,假定邊際消費傾向=4/5，增加投資100萬，則增加總收入： 100+100*4/5+100*4/5*4/5+ ---=500,比如說，我花費1000元購買了一套衣服，服裝加工者和布料生產(chǎn)者因此增加了1000元收入。如果他們

11、的邊際消費傾向均為0.75(或者說邊際儲蓄傾向為0.25)他們會支出750元購買他們需要的消費品。這些消費品的生產(chǎn)者也會增加750元的收入，如果他們的邊際消費傾向也是0.75,他們又會支出750*0.75=625.50元。如此繼續(xù)下去，每一輪新支出都是上一輪收入的3/4（即0.75).,這樣，最初的1000元消費就導(dǎo)致了一系列次一輪的再消費支出。盡管這一系列的再支出永無止境，但其數(shù)值卻一次比一次減少。最終的總和是一個有限的量。即：1000*(1+c+c2+c3+......+cn)=1000*(1/s)=1000*(1/0.25)=4000,如果另外一個國家的人民生活很簡樸，將收入的大部分都儲

12、蓄起來，比如邊際儲蓄傾向是s=0.80，亦即邊際消費傾向c=0.2，那么這個國家的經(jīng)濟規(guī)模增長情況如何呢？=1/s=1/0.8=1.125也就是說，每新增加1000單位的收入，只能推動國民經(jīng)濟增長125個單位。與前面相比，差別很大。,政府的財政支出（包括政府消費支出和政府投資支出）是一種與居民投資十分類似的高效能支出。政府在商品與服務(wù)上的一項采購，將會引發(fā)一系列的再支出：比如政府花費1500億RMB修建青藏鐵路，修路工和他的公司就會用其收入的一部分購買消費品；這又會引起出售消費品的人收入的增加，而增加的收入的一部分又會花掉。按前面的例子，當(dāng)=4時，那么政府所增加的1500億人民幣支出，將會增加

13、國民收入6000億RMB！,約翰梅納德凱恩斯（John Maynard Keynes），現(xiàn)代西方經(jīng)濟學(xué)最有影響的經(jīng)濟學(xué)家之一，他創(chuàng)立的宏觀經(jīng)濟學(xué)與弗洛伊德所創(chuàng)的精神分析法和愛因斯坦發(fā)現(xiàn)的相對論一起并稱為二十世紀(jì)人類知識界的三大革命。,二戰(zhàn)以來最杰出的經(jīng)濟學(xué)家之一、英國人約翰梅納德凱恩斯（1883-1946）。凱恩斯畢業(yè)于劍橋大學(xué)，除了在劍橋大學(xué)任教外，還長期擔(dān)任英國政府要職。1929-1933年世界經(jīng)濟總危機爆發(fā)后，他擔(dān)任英國內(nèi)閣財政經(jīng)濟顧問委員會主席。二戰(zhàn)期間任英格蘭銀行董事。1944年他率領(lǐng)英國代表團參加在美國布雷頓森林城召開的國際貨幣 金融 會議，以后又擔(dān)任了國際貨幣基金組織（IMF）和

14、國際復(fù)興開發(fā)銀行（世界銀行前身）的董事。,在繁忙的教書、寫書和處理政務(wù)之外，他還投資經(jīng)營著數(shù)家個人 企業(yè) ，而且規(guī)?？捎^，非常成功！此外，他還有一位年輕、漂亮、溫柔、小他二十歲的前蘇聯(lián)國家芭蕾舞團的著名演員做他的妻子。凱恩斯寫過許多論文和專著。最著名的就是就業(yè)、利息和貨幣通論。在這本書中他把自己的學(xué)說發(fā)展成一個完整的 理論 體系。經(jīng)濟史學(xué)家把通論的出版稱為經(jīng)濟理論中的“凱恩斯革命”。甚至有人把他的貢獻與哥白尼的天文學(xué)、達爾文的進化論相提并論，把通論與亞當(dāng)斯密的國富論、馬克思的資本論并列為經(jīng)濟學(xué)說史上的三大著作。,凱恩斯不是一個社會主義者，然而他的理論卻非常適合計劃經(jīng)濟模式。就象另一位著名的經(jīng)濟

15、學(xué)家瓊羅賓遜夫人評論的那樣，如果那些社會主義的實踐者們能夠真正地把凱恩斯理論 應(yīng)用 于實踐，那么社會主義的經(jīng)濟成就將是十分驚人的！這是因為凱恩斯理論是一種十分有效的宏觀調(diào)控工具，社會主義國家政府的權(quán)力又比較集中，二者的充分結(jié)合與自如運用，將會產(chǎn)生巨大的創(chuàng)造力！它不象在西方市場經(jīng)濟國家，政府的權(quán)力十分有限，人民擔(dān)心政府的權(quán)力太大會侵害公民的人身自由和個人財產(chǎn)安全，因此政府的權(quán)力受到許多限制，使許多宏觀調(diào)控工具不能有效地發(fā)揮作用。在1937年的德文版通論序言中，凱恩斯也說：我的理論最適合集權(quán)國家和極權(quán)國家。,凱恩斯理論后來經(jīng)過許多著名經(jīng)濟學(xué)家如庫茲涅克、漢森、薩繆爾森、克萊因等的改造和發(fā)揚光大，逐

16、漸使凱恩斯理論“政策化”，并為有關(guān)的政策執(zhí)行部門所應(yīng)用，產(chǎn)生了巨大的 影響 ，實現(xiàn)了“充分就業(yè)”和“穩(wěn)定中求發(fā)展”，并逐漸熨平和減少了商業(yè)周期的危害。尤其是他的“收入乘數(shù)原理”對國民經(jīng)濟的計劃調(diào)節(jié)與管理是十分有用的。,第二章 插 值 法,主要知識點,Lagrange插值(含線性插值、拋物插值、n次Lagrange插值公式)； 牛頓（Newton）插值及余項、差商的定義與性質(zhì); 埃爾米特(Hermite)插值公式及余項； 等距節(jié)點的多項式插值、分段低次多項式插值、三次樣條插值。,插值問題描述,設(shè)已知某個函數(shù)關(guān)系 在某些離散點上的函數(shù)值： 插值問題：根據(jù)這些已知數(shù)據(jù)來構(gòu)造函數(shù) 的一種簡單的近似

17、表達式,以便于計算點 的函數(shù)值 ，或計算函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)值。,插值的幾何意義,插值多項式的幾何意義,插值唯一性定理,定理：(唯一性) 滿足 的 n 階插值,多項式是唯一存在的。,存在唯一性定理證明,設(shè)所要構(gòu)造的插值多項式為：,由插值條件,得到如下線性代數(shù)方程組：,存在唯一性定理證明(續(xù)),此方程組的系數(shù)行列式為,范得蒙行列式 ！,D 0，,因此，Pn(x)由a0, a1,, an唯一確定。,插值方法,一、解方程組法： 類似插值唯一性定理證明過程，先設(shè)插值多項式函數(shù)為 ，將 個節(jié)點的函數(shù)值代入多項式里，便得到 個等式，得到一個關(guān)于多項式里系數(shù)

18、的線性方程組，解此線性方程組，便得到所要求的插值多項式。 二、基函數(shù)法：一種既能避免解方程組，又能適合于計算機求解的方法，下面將具體介紹。,拉格朗日插值公式,拉格朗日（Lagrange）插值公式的基本思想是，把pn(x)的構(gòu)造問題轉(zhuǎn)化為n+1個插值基函數(shù)li(x)(i=0,1,,n)的構(gòu)造。,線性插值函數(shù),,,,,,,,x0,x1,(x0 ，y0),(x1，y1),P1(x),,f(x),可見 是過 和 兩點的直線。,拋物插值函數(shù),,,,,,x0,x1,x2,,p2(x) f(x),f(x),,,,因過三點的二次曲線為拋物線，故稱為拋物插值。,N次插值函數(shù),設(shè)連續(xù)函數(shù) 在a, b

19、上對給定n + 1個不同結(jié)點：,分別取函數(shù)值,其中,試構(gòu)造一個次數(shù)不超過n的插值多項式,使之滿足條件,i = 0, 1, 2,, n,一次Lagrange插值多項式(1),已知函數(shù) 在點 上的值為 ，要求多項式 ，使 ， 。其幾何意義，就是通過兩點 的一條直線，如圖所示。,一次Lagrange插值多項式(2),一次插值多項式,一次Lagrange插值多項式(3),由直線兩點式可知，通過A，B的直線方程為 它也可變形為 顯然有：,,一次Lagrange插值多項式(4),記,可以看出,的線性組合得到，其系數(shù)分別為 ，,稱 為節(jié)點 , 的線性插值基函數(shù),一次Lagrange插

20、值多項式(5),線性插值基函數(shù),滿足下述條件,并且他們都是一次函數(shù)。,注意他們的特點對下面的推廣很重要,一次Lagrange插值多項式(6),我們稱 為點 的一次插值基函數(shù)， 為點 的一次插值基函數(shù)。它們在對應(yīng)的插值點上取值為1，而在另外的插值點上取值為0。插值函數(shù) 是這兩個插值基函數(shù)的線性組合，其組合系數(shù)就是對應(yīng)點上的函數(shù)值。這種形式的插值稱作為拉格朗日（Lagrange）插值。,例題分析1,例： 已知特殊角 處的正弦函數(shù)值,分別為,求正弦函數(shù)的一次、二次插值多項式，并用,插值函數(shù)近似計算 ，并估計誤差,解：一次插值函數(shù)為,例題分析2,誤差為,在所求點的函數(shù)值為,誤差為,知,例題分析3,例題分析4,誤差為,右圖中紅色曲線為 圖形,綠色曲線為插插值函數(shù)的圖形。,