《2011年高考數(shù)學 第二章 第六節(jié)反函數(shù)訓練》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2011年高考數(shù)學 第二章 第六節(jié)反函數(shù)訓練（5頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、同步檢測訓練 一、選擇題 1．(2008·全國Ⅰ)若函數(shù)y＝f(x－1)的圖象與函數(shù)y＝ln＋1的圖象關于直線y＝x對稱，則f(x)＝(　　) A．e2x－1　　　　　　　　　 B．e2x C．e2x＋1 D．e2x＋2 答案：B 解析：∵函數(shù)y＝ln＋1的反函數(shù)為y＝e2(x－1)，即f(x－1)＝e2(x－1)，∴f(x)＝e2x，故選B. 2．(2008·北京)“函數(shù)f(x)(x∈R)存在反函數(shù)”是“函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 答案：B 解析：若函數(shù)f(x)在

2、R上為增函數(shù)，則x與y一一對應，故存在反函數(shù)，∴必要性成立；若函數(shù)f(x)存在反函數(shù)，則x與y一一對應，函數(shù)f(x)在R上也可能是減函數(shù)， ∴充分性不成立，故選B. 3．函數(shù)y＝的反函數(shù)是(　　) A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 答案：C 解析：本題考查求分段函數(shù)的反函數(shù)． y＝，當x≥0，x＝，∴y＝. 當x<0，x＝－，∴y＝－. ∴y＝　　故選C. 4．(2009·鄭州一測)定義在R上的函數(shù)f(x)的反函數(shù)為f－1(x)，且對于任意x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝3，則f－1(x－1)＋f－1(4－x)＝(　　) A．0 B．－2 C．2

3、 D．2x－4 答案：A 解析：由f(－x)＋f(x)＝3可知函數(shù)y＝f(x)的圖象關于點(0，)對稱，因此其反函數(shù)y＝f－1(x)的圖象必關于點(，0)對稱，即有f－1(x)＋f－1(3－x)＝0，故f－1(x－1)＋f－1[3－(x－1)]＝0，即f－1(x－1)＋f－1(4－x)＝0，選A. 5．已知函數(shù)f(x)＝的反函數(shù)f－1(x)的圖象的對稱中心是，則函數(shù)h(x)＝loga(x2－2x)的單調遞增區(qū)間是(　　) A．(1，＋∞) B．(－∞，1) C．(－∞，0) D．(2，＋∞) 答案：C 解析：由已知得f(x)＝－1－知，其對稱中心是點(a＋1，－1)，因此

4、，其反函數(shù)f－1(x)的對稱中心是點(－1，a＋1)，結合題意得a＋1＝，a＝.因此函數(shù)h(x)的單調遞增區(qū)間由確定，由此解得x<0，即函數(shù)h(x)的單調遞增區(qū)間是(－∞，0)．故選C. 6．設函數(shù)f(x)＝的反函數(shù)為f－1(x)，且f－1＝a，則f(a＋7)等于(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案：A 解析：當x>4時，f(x)＝－log3(x＋1)<－log35<0；當x≤4時，00,2a－4＝＝2－3，a＝1，f(a＋7)＝f(8)＝－log39＝－2.故選A. 7．已知函數(shù)f(x)＝的反函數(shù)為f－

5、1(x)，若函數(shù)y＝g(x)的圖象與函數(shù)y＝f－1(x＋1)的圖象關于直線y＝x對稱，且g(3)＝，則實數(shù)a的值為(　　) A．2 B．1 C．－1 D. 答案：A 解析：由題意得f－1(x)＝， ∴f－1(x＋1)＝，又∵g(3)＝，∴y＝中的x＝，y＝3，代入解得a＝2，故選A. 8．(2009·湖北八校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝(ex＋ex－2)(x<1)(其中e是自然對數(shù)的底數(shù))的反函數(shù)為f－1(x)，則有(　　) A．f－1()f－1() C．f－1()f－1(2) 答案：A 解析：∵函數(shù)

6、f(x)＝(ex＋ex－2)＝ex是一個單調遞增函數(shù)，∴f－1(x)在(0，＋∞)上也是單調遞增函數(shù)． 又∵x<1，∴f(x)＝ex0，∴>，∴<<2. ∴在x<1時，函數(shù)f(x)＝(ex＋ex－2)的值域為(0，)，其中<<2，故選A. 二、填空題 9．(2009·成都模擬)設函數(shù)f(x)＝e2(x－1)，y＝f－1(x)為y＝f(x)的反函數(shù)，若函數(shù)g(x)＝則g[g(－1)]＝__________. 答案：1

7、解析：依題意得g(－1)＝－1＋2＝1，g[g(－1)]＝g(1)＝f－1(1)．設f－1(1)＝t，則有f(t)＝1，即e2(t－1)＝1，t＝1，所以g[g(－1)]＝1. 10．已知y＝f(x)在定義域(0，＋∞)內存在反函數(shù)，且f(x－1)＝x2－2x＋1，則f－1(7)＝__________. 答案： 解析：設x－1＝t，則x＝1＋t，所以f(t)＝(t＋1)2－2(t＋1)＋1＝t2，即f(x)＝x2(x>0)，設f－1(7)＝a，則f(a)＝a2＝7，故a＝. 11．(2009·湖北五市聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝的反函數(shù)為f－1(x)，則f－1(18)＝________. 答

8、案：4 解析：設f－1(18)＝m，∴f(m)＝18，∴x2＋2＝18，得x＝±4，又x≥0，∴x＝4. 三、解答題 12．求下列函數(shù)的反函數(shù) (1)y＝(x<－1)； (2)y＝－(x≥1)； (3)y＝x|x|＋2x. 解：(1)y＝＝2＋，在x<－1時為減函數(shù)， 存在反函數(shù)，原函數(shù)值域為{y|－

9、∴x＝－1＋(y≥0)． 當x<0時，y＝－x2＋2x，即1－y＝(x－1)2. ∴x＝ ∴所求反函數(shù)為 y＝ 13．已知函數(shù)f(x)＝a＋bx－1(b>0，b≠1)的圖象經過點A(1,3)，函數(shù)y＝f－1(x＋a)的圖象經過點B(4,2)，試求f－1(x)的表達式． 解：由f(x)＝a＋bx－1(b>0，b≠1)得， x－1＝logb(y－a)． ∵bx－1>0，則a＋bx－1>a， ∴y>a，∴f－1(x)＝1＋logb(x－a)(x>a)， ∴f－1(x＋a)＝1＋logbx(x>0)． ∵點A在f(x)的圖象上，點B在f－1(x＋a)的圖象上， ∴解得 ∴f－

10、1(x)的表達式為f－1(x)＝log4(x－2)＋1(x>2)． 14．已知定義在R上的函數(shù)f(x)的反函數(shù)為f－1(x)，且函數(shù)f(x＋1)的反函數(shù)恰為y＝f－1(x＋1)．若f(1)＝3999，求f(2010)的值． 解：∵y＝f－1(x＋1)， ∴f(y)＝f[f－1(x＋1)]． ∴x＝f(y)－1. ∴y＝f－1(x＋1)的反函數(shù)為y＝f(x)－1. ∵f(x＋1)的反函數(shù)為y＝f－1(x＋1)． ∴f(x＋1)＝f(x)－1. ∴{f(n)}是以3999為首項，－1為公差的等差數(shù)列， ∴f(2010)＝3999－(2010－1)＝1990. 15．已知函數(shù)f(

11、x)＝(m∈R，e＝2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù))． (1)求函數(shù)f(x)的極值； (2)當x>0時，設f(x)的反函數(shù)為f－1(x)，對00，f(x)＝ex－1在(0，＋∞)上單調遞增，且f(x)＝ex－1>0； 當x≤0時，f(x)＝x3＋mx2，此時f′(x)＝x2＋2mx＝x(x＋2m)． ①若m＝0，f′(x)＝x2≥0，則f(x)＝x3，在(－∞，0]上單調遞增，且f(x)＝x3≤0. 又f(0)＝0，可知函數(shù)f(x)在R上單調遞增，無極值． ②若m<0，令f′(x

12、)＝x(x＋2m)>0 ?x<0或x>－2m(舍去)． 函數(shù)f(x)＝x3＋mx2在(－∞，0]上單調遞增， 同理，函數(shù)f(x)在R上單調遞增，無極值． ③若m>0，令f′(x)＝x(x＋2m)>0?x>0或x<－2m. 函數(shù)f(x)＝x3＋mx2在(－∞，－2m]上單調遞增，在(－2m,0]上單調遞減． 此時函數(shù)f(x)在x＝－2m處取得極大值：f(－2m)＝m3＋4m3＝m3>0； 又f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，故在x＝0處取得極小值：f(0)＝0. 綜上可知，當m>0時，f(x)的極大值為m3，極小值為0；當m≤0時，f(x)無極值． (2)當x>0時，設y＝f(

13、x)＝ex－1?y＋1＝ex?x＝ln(y＋1)． ∴f－1(x)＝ln(x＋1)(x>0)． (ⅰ)比較f(q－p)與f－1(q－p)的大小． 記g(x)＝f(x)－f－1(x)＝ex－ln(x＋1)－1(x>0)． ∵g′(x)＝ex－在(0，＋∞)上是單調遞增函數(shù)， ∴g′(x)>g′(0)＝e0－＝0恒成立． ∴函數(shù)g(x)在(0，＋∞)上單調遞增． ∴g(x)>g(0)＝e0－ln(0＋1)－1＝0. 當00， ∴g(q－p)＝eq－p－ln(q－p＋1)－1>0. ∴eq－p－1>ln(q－p＋1)，即f(q－p)>f－1(q－p)．① (ⅱ)比較f－1(q－p)與f－1(q)－f－1(p)的大?。? ln(q－p＋1)－[ln(q＋1)－ln(p＋1)] ＝ln(q－p＋1)－ln(q＋1)＋ln(p＋1) ＝ln ＝ln ＝ln ＝ln ＝ln[＋1]． ∵01，故ln[＋1]>0. ∴l(xiāng)n(q－p＋1)>ln(q＋1)－ln(p＋1)， 即f－1(q－p)>f－1(q)－f－1(p)．② ∴由①②可知，當0f－1(q－p)>f－1(q)－f－1(p)． 5