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1、第二章 數(shù)列極限,,“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”,1、割圓術(shù)：,播放,劉徽,一、概念的引入,,正六邊形的面積,正十二邊形的面積,正 形的面積,,2、截丈問題：,“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”,,二、數(shù)列的定義,例如,注意：,1.數(shù)列對應著數(shù)軸上一個點列.可看作一動點在數(shù)軸上依次取,,,,,,,,,,,,,2.數(shù)列是整標函數(shù),播放,三、數(shù)列的極限,問題:,當 無限增大時, 是否無限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?,問題:,“無限接近”意味著什么?如何用數(shù)學語言刻劃它.,通過上面演示實驗的觀察:,如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的.,注意

2、：,,,,,,,,,,幾何解釋:,,,,,,,,,其中,數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.,例1,證,所以,,注意：,例2,證,所以,,說明:常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).,小結(jié):,用定義證數(shù)列極限存在時,關(guān)鍵是任意給定 尋找N,但不必要求最小的N.,例3,證,例4,證,四、數(shù)列極限的性質(zhì),1、有界性,例如,,有界,無界,定理1 收斂的數(shù)列必定有界.,證,由定義,,注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件.,推論 無界數(shù)列必定發(fā)散.,2、唯一性,定理2 每個收斂的數(shù)列只有一個極限.,證,由定義,,故收斂數(shù)列極限唯一.,例5,證,由定義,,區(qū)間長度為1.,不可能同時位于長度為1的區(qū)間內(nèi).,3、子數(shù)列的收

3、斂性,注意：,例如，,,定理3 收斂數(shù)列的任一子數(shù)列也收斂且極限相同,證,證畢,五、小結(jié),數(shù)列:研究其變化規(guī)律;,數(shù)列極限:極限思想、精確定義、幾何意義;,收斂數(shù)列的性質(zhì): 有界性、唯一性、子數(shù)列的收斂性.,思考題,證明,要使,只要使,從而由,得,取,當 時，必有 成立,思考題解答,,（等價）,證明中所采用的,實際上就是不等式,即證明中沒有采用“適當放大” 的值,從而 時，,僅有 成立，,但不是 的充分條件,反而縮小為,練 習 題,1、割圓術(shù)：,“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”,劉徽,一、概念

4、的引入,1、割圓術(shù)：,“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”,劉徽,一、概念的引入,“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”,1、割圓術(shù)：,劉徽,一、概念的引入,“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”,1、割圓術(shù)：,劉徽,一、概念的引入,“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”,1、割圓術(shù)：,劉徽,一、概念的引入,“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”,1、割圓術(shù)：,劉徽,一、概念的引入,“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”,1、割圓術(shù)：,劉徽,一、概念的引入,“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”,1、割圓術(shù)：,劉徽,一、概念的引入,“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”,1、割圓術(shù)：,劉徽,一、概念的引入,三、數(shù)列的極限,三、數(shù)列的極限,三、數(shù)列的極限,三、數(shù)列的極限,三、數(shù)列的極限,三、數(shù)列的極限,三、數(shù)列的極限,三、數(shù)列的極限,三、數(shù)列的極限,三、數(shù)列的極限,三、數(shù)列的極限,三、數(shù)列的極限,三、數(shù)列的極限,