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1、范例8.6 玻爾茲曼分布律,,(1)求證：在重力場(chǎng)中分子數(shù)密度按高度分布的規(guī)律為,解析(1)麥克斯韋的速度分布律和速率分布律的指數(shù)中都包含動(dòng)能因子,這是不考慮分子受外力場(chǎng)影響的情況。,其中z是高度。,氫氣、氖氣、氮?dú)?、氧氣和氟氣的分子量分別為2，20，28，32和38，氫氣、氖氣、氮?dú)狻⒀鯕夂头鷼庠?00K時(shí)分子數(shù)密度按高度分布的曲線有什么異同？氧氣在溫度100K到400K(間隔為50K)時(shí)分子數(shù)密度按高度分布的曲線有什么異同？ (2)用點(diǎn)表示分子，通過點(diǎn)的密集程度表示氖氣，氮?dú)夂脱鯕夥肿影锤叨确植嫉囊?guī)律 (溫度設(shè)為300K)。,如果分子在保守力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，分子的總能量就是動(dòng)能與勢(shì)能之和 = k

2、 + p。,玻爾茲曼認(rèn)為：指數(shù)中的動(dòng)能應(yīng)該用總能量代替。,范例8.6 玻爾茲曼分布律,,(1)求證：在重力場(chǎng)中分子數(shù)密度按高度分布的規(guī)律為,由于勢(shì)能與位置有關(guān)，因此分子在空間的分布是不均勻的。,玻爾茲曼認(rèn)為：氣體在一定的溫度下處于平衡狀態(tài)時(shí)，在速度間隔vxvx + dvx、vyvy + dvy、vzvz + dvz和坐標(biāo)間隔xx + dx 、y y + dy、zz + dz中的分子數(shù)為,其中z是高度。,氫氣、氖氣、氮?dú)?、氧氣和氟氣的分子量分別為2，20，28，32和38，氫氣、氖氣、氮?dú)?、氧氣和氟氣?00K時(shí)分子數(shù)密度按高度分布的曲線有什么異同？氧氣在溫度100K到400K(間隔為50K)時(shí)

3、分子數(shù)密度按高度分布的曲線有什么異同？,其中n0表示p = 0處單位體積內(nèi)各種速度的總分子數(shù)。,,,此式稱為玻爾茲曼分布律，exp(-/kT)稱為概率因子。,在一定的速度和坐標(biāo)范圍內(nèi)，在一定的溫度下的平衡狀態(tài)中，分子的能量越低，分子數(shù)就越多態(tài)。,范例8.6 玻爾茲曼分布律,,在溫度一定時(shí)，分子的平均動(dòng)能是一定的，所以，分子優(yōu)先占據(jù)勢(shì)能較低的位置。,如果對(duì)坐標(biāo)進(jìn)行積分,上式就演化為麥克斯韋速率分布律。,,,由于對(duì)速率的積分是歸一化的,可得玻爾茲曼分布律的常用形式,,,,在重力場(chǎng)中p = mgz，因此在高為z處的單位體積內(nèi)的分子數(shù)為,,在重力場(chǎng)中，氣體分子的密度隨高度的增加按指數(shù)規(guī)律減小。,分子的

4、質(zhì)量越大，分子數(shù)密度隨高度減小得越快，這是因?yàn)橹亓Φ淖饔迷斤@著。,氣體的溫度越高，分子數(shù)隨高度減小得越慢，這是因?yàn)榉肿拥臒o(wú)規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)加劇。,范例8.6 玻爾茲曼分布律,,(1)求證：在重力場(chǎng)中分子數(shù)密度按高度分布的規(guī)律為,解析(2)在重力場(chǎng)中，氣體分子的密度隨高度的分布可用點(diǎn)的密集程度表示。,其中z是高度。,氫氣、氖氣、氮?dú)?、氧氣和氟氣的分子量分別為2，20，28，32和38，氫氣、氖氣、氮?dú)?、氧氣和氟氣?00K時(shí)分子數(shù)密度按高度分布的曲線有什么異同？氧氣在溫度100K到400K(間隔為50K)時(shí)分子數(shù)密度按高度分布的曲線有什么異同？ (2)用點(diǎn)表示分子，通過點(diǎn)的密集程度表示氖氣，氮?dú)夂脱鯕夥肿影锤叨确植嫉囊?guī)律。(溫度設(shè)為300K),,不論什么分子，由于重力的作用，分子數(shù)密度在低空比較大，在高空比較小。,氖氣的分子量比較小，分子數(shù)密度減小得比較慢，在同樣的高度內(nèi)，點(diǎn)數(shù)相對(duì)比較均勻。,氧氣的分子量比較大，分子數(shù)密度減小得比較快，在高空比較稀薄。,