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1、第七章 小學(xué)數(shù)學(xué)中圖形與幾何,,“圖形與幾何”與“空間與圖形”差異,義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）： “圖形與幾何” 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿） （2001版）： “空間與圖形” 問題二者有何區(qū)別？為什么要改？,何為圖形、幾何？,幾何：多少；幾何學(xué)簡稱。 幾何學(xué)：研究空間圖形的形狀、大小和位置的相互關(guān)系的學(xué)科。 幾何圖形：點(diǎn)、線、面、體或它們的組合。簡稱圖形。 空間圖形：幾何圖形。特指立體圖形。 空間：在哲學(xué)上，與“時間”一起構(gòu)成運(yùn)動著的物質(zhì)存在的兩種基本形式?？臻g指物質(zhì)存在的廣延性。,--現(xiàn)代漢語詞典，商務(wù)印書館，1999年 ；,--簡明數(shù)學(xué)辭典，湖北人民出版社,幾何圖形：簡稱“圖形

2、”。點(diǎn)、線、面、體的集合。 平面圖形：若一個圖形上所有的點(diǎn)都在同一個平面上，則這個圖形稱為平面圖形。 空間圖形：空間里點(diǎn)、線、面以及它們所組成的圖形。,何為圖形、幾何？,幾何：幾何學(xué)簡稱。 幾何學(xué)：研究幾何（平面與空間）圖形的形狀、大小和位置的相互關(guān)系的學(xué)科。 是一門數(shù)學(xué)分科。 幾何圖形：簡稱“圖形”。點(diǎn)、線、面、體的集合。 平面圖形：若一個圖形上所有的點(diǎn)都在同一個平面上，則這個圖形稱為平面圖形。 空間圖形：空間里點(diǎn)、線、面以及它們所組成的圖形。,幾何（幾何學(xué)）一詞譯自Geometry，其含義是“測地術(shù)”。,最早是徐光啟譯定的。 由Geo（地）與metry（度量）合成的,Geometry原本包

3、含：是什么？為什么？多少的問題,幾何,幾何:,小學(xué)“圖形與幾何”主要涉及哪些內(nèi)容？P122,,義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）“圖形與幾何”的學(xué)段目標(biāo)：,第一學(xué)段（1-3年級） 經(jīng)歷從實際物體中抽象出簡單幾何體和平面圖形的過程，了解一些簡單幾何體和常見的平面圖形； 感受平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱現(xiàn)象； 認(rèn)識物體的相對位置； 掌握初步的測量、識圖和畫圖的技能。,常見平面圖形與簡單幾何體,運(yùn)動幾何,直觀幾何,度量幾何,坐標(biāo)幾何,義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）“圖形與幾何”的學(xué)段目標(biāo)：,第二學(xué)段（4-6年級） 探索一些圖形的形狀、大小和位置關(guān)系，了解一些幾何體和平面圖形的基本特征； 體驗簡單圖形的運(yùn)動

4、過程，能在方格紙上畫出簡單圖形運(yùn)動后的圖形，了解確定物體位置的一些基本方法； 掌握測量、識圖和畫圖的基本方法。,直觀幾何、演繹幾何,運(yùn)動幾何,度量幾何,坐標(biāo)幾何？,用數(shù)對表示位置,小學(xué)“圖形與幾何”主要涉及哪些內(nèi)容？P122,直觀幾何、演繹幾何、度量幾何、運(yùn)動幾何和坐標(biāo)幾何（解析幾何）五個方面 具體來看分為（2011）： 1）圖形的認(rèn)識（幾何體與平面圖形） 2）測量 3）圖形的運(yùn)動 4）圖形與位置,（2001）： 1）圖形的認(rèn)識 2）測量 3）圖形與變換 4）圖形與位置,幾何學(xué)習(xí)的順序：,從認(rèn)知規(guī)律看，人們學(xué)習(xí)幾何的途徑主要是四步： 直觀感知操作確認(rèn)演繹推理度量計算,6.2 直觀幾何（圖形的認(rèn)

5、識、運(yùn)動和位置）,認(rèn)識各種圖形 P124,6.2 直觀幾何（圖形的認(rèn)識、運(yùn)動和位置）,正方體表面展開圖---六連塊研究 有多少種？ 多少種能？ 有何規(guī)律？,6.2 直觀幾何（圖形的認(rèn)識、運(yùn)動和位置）,三、多連塊 多連塊（方），國際上稱作Polyominos，是由美國數(shù)學(xué)家S.Golmb1于1950年發(fā)展而來的。 在小學(xué)三、四年級，很適合于進(jìn)行幾何圖形組合能力的培養(yǎng)， 多連塊的實際教學(xué)通常分為兩個階段。 第一階段是，學(xué)生排出一至五連塊的各種可能出現(xiàn)的圖形； 第二階段是用正方形組成的多連塊，拼合成新的平面圖形。,6.2 直觀幾何（圖形的認(rèn)識、運(yùn)動和位置）,三、多連塊 P130 多連塊（方），國際上

6、稱作Polyominos，是由美國數(shù)學(xué)家S.Golmb1于1950年發(fā)展而來的。 在小學(xué)三、四年級，很適合于進(jìn)行幾何圖形組合能力的培養(yǎng)， 在圖形形狀、特征、性質(zhì)（對稱性、可拼嵌性、掰開性），關(guān)系（相似關(guān)系等）方面，突出各種組合的可能性， 啟發(fā)學(xué)生積極思考，提高學(xué)生分析問題的綜合能力。,直觀幾何（圖形）的認(rèn)識依賴“經(jīng)驗和操作”,從認(rèn)知規(guī)律看，人們學(xué)習(xí)幾何的途徑主要是四步： 直觀感知操作確認(rèn)演繹推理度量計算,,圖形（概念）觀念,經(jīng) 驗,操 作,,,,,生活經(jīng)驗,垂直,,,,,,,,,,,,,,,,圓柱和圓錐,面積人教版三下年級,操作,,,,,用重疊方法不能比較出面積大小，怎么辦？,引出面積與面

7、積單位,6.4 關(guān)于小學(xué)數(shù)學(xué)中演繹成分,古希臘的幾何學(xué)是演繹幾何學(xué)。 從不加定義的點(diǎn)線面出發(fā)，依照公理體系進(jìn)行演繹推理，得出圖形的性質(zhì)。 學(xué)習(xí)的目的主要是為了培養(yǎng)人們的理性精神，提高邏輯思維能力。 19世紀(jì)末，大數(shù)學(xué)家希爾伯特把幾何原本進(jìn)一步嚴(yán)密化，形成了形式化的、嚴(yán)格的演繹體系幾何基礎(chǔ)。 這種崇尚演繹、否定直觀的數(shù)學(xué)觀，在20世紀(jì)傳入中國。,“直觀幾何與演繹幾何之間，怎樣保持適當(dāng)?shù)钠胶?？”是一個問題,長期以來，我國小學(xué)數(shù)學(xué)教科書對幾何概念的表述要求過高， 過早地采用邏輯方法給直線、射線、線段、圓等概念下定義，然后讓學(xué)生背出來。 。 2001年頒布的全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿），對演繹

8、幾何的內(nèi)容和要求做出了較大調(diào)整， 引起數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育界部分人士的質(zhì)疑。 如何對待小學(xué)數(shù)學(xué)里的演繹幾何的成分？在直觀幾何與演繹幾何之間，怎樣保持適當(dāng)?shù)钠胶猓?。,直觀感知操作確認(rèn)演繹推理度量計算,空間、體、平面、直線、射線、線段等概念如何定義,這些概念在小學(xué)數(shù)學(xué)中都采取不定義的方式， 用類似的實物進(jìn)行描述，讓學(xué)生能夠體會即可。 如“平面”，就用“紙面”、“桌面”、“水面”來說明， 也可以從一座立體的房子出發(fā)， 比如說，“一面墻表示一個平面”。 直線和線段，用比喻，特別是直接畫出來， 大家立刻明白，以后能夠識別，不會混淆，能夠運(yùn)用就行了。,,點(diǎn)、線、面的定義,在嚴(yán)密的希爾伯特幾何體系中，點(diǎn)、線、

9、面等也是不定義的概念 。 中學(xué)教材的定義 ： 一個物體只研究其形狀和大小，而不考慮其他性質(zhì)，稱之為幾何體，簡稱體。 面是體的界限，線是面的界限。 點(diǎn)是線的界限。 一點(diǎn)在空間沿著同一個方向及其相反方向運(yùn)動所成的圖形，稱為直線。 直線上從某一點(diǎn)起，朝向一邊的部分，叫做射線。 直線上任意兩點(diǎn)之間的部分，叫做線段,關(guān)于邏輯分類P137,分類是一種十分重要的科學(xué)思想方法。 數(shù)學(xué)的分類包含兩種基本類型： （1）不重不漏型。 例如，三角形分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形； （2）包含套裝型。 例如，三角形可以分為等邊三角形（即三邊分別相等的三角形），等腰三角形（即兩條邊相等的三角形。而三邊都不相等三角

10、形，可以不特別指出）。,,關(guān)于垂直與平行 P137,小學(xué)數(shù)學(xué)中是否出現(xiàn)垂直與平行的概念，世界各國的處理很不相同。 在西方發(fā)達(dá)國家，垂直與平行的初次出現(xiàn)均在初中， 亞洲某些國家與地區(qū)初次出現(xiàn)在小學(xué)，但只停留在線段學(xué)習(xí)階段。 我國（按2001數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)），小學(xué)、初中階段都進(jìn)行“平行”概念的學(xué)習(xí)， 小學(xué)“平行”的教學(xué)應(yīng)該如何進(jìn)行呢？ 有不同觀點(diǎn),平行線定義 ：在同一平面內(nèi)，兩條不相交的直線叫平行線 這一定義對小學(xué)不大合適。 原因在于，兩條直線不相交，是指“無限延長”不相交， 而無限延長是不能檢驗的，小學(xué)幾何的學(xué)習(xí)僅僅能在有限的平面內(nèi)。 小學(xué)生面對這樣不能檢驗的定義，無法真正把握。,在小學(xué)階段的學(xué)習(xí)平行線定義 ： 只有通過折疊等操作， 以及實際“畫”出來的直觀方式， 感知“平行”、理解“平行”。 平行定義：“兩直線若同時垂直于第三條直線，則這兩條直線互相平行”， 這一定義是可以操作的，可以畫的，可以檢驗的。 小學(xué)生能夠“畫同一條直線的兩條垂線”， 或者“量兩條直線與第三條直線的交角都是直角”。,作業(yè)與思考題,小學(xué)“圖形與幾何”學(xué)習(xí)主要內(nèi)容是什么？ 點(diǎn)、線、面等概念在小學(xué)需要嚴(yán)格定義嗎？為什么？怎樣辦好？ 小學(xué)幾何概念學(xué)習(xí)和概念形成需要哪二個方面（支柱）？,