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1、18:31,1,第4章 控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計,4.1 控制系統(tǒng)的相關(guān)性能 4.1.1 穩(wěn)定性分析 4.1.2 系統(tǒng)的相似變換 4.1.3 能控性與能觀性分析 4.2 控制系統(tǒng)的頻域分析 4.3 控制系統(tǒng)的時域分析 4.4 控制系統(tǒng)的根軌跡分析,18:31,2,4.1.1 系統(tǒng)的穩(wěn)定性 4.1.1.1 系統(tǒng)的穩(wěn)定性描述,從極點或特征根分布角度,18:31,3,對于連續(xù)時間系統(tǒng)，如果閉環(huán)極點全部在S平面左半平面，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 對于離散時間系統(tǒng)，如果系統(tǒng)全部極點都位于Z平面的單位圓內(nèi)，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,18:31,4,系統(tǒng)穩(wěn)定：閉環(huán)系統(tǒng)的極點全部分布在s平面的左半平面； 系統(tǒng)不穩(wěn)定：至少有

2、一個極點分布在s平面的右半平面； 系統(tǒng)臨界穩(wěn)定：在s平面上的右半平面無極點，至少有一個極點在虛軸上。,18:31,5,系統(tǒng)狀態(tài)方程的穩(wěn)定性,連續(xù)線性狀態(tài)方程 解析解形式 穩(wěn)定性：A矩陣的特征根均有負實部,18:31,6,離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性,離散系統(tǒng)狀態(tài)方程 離散系統(tǒng)時域響應解析解 穩(wěn)定性判定：所有特征根均在單位圓內(nèi),18:31,7,,從能否自動恢復平衡角度,穩(wěn)定指控制系統(tǒng)在外作用消失后自動恢復原有平衡狀態(tài)或自動地趨向于一個新的穩(wěn)定平衡狀態(tài)的能力。 如果系統(tǒng)不能恢復穩(wěn)定狀態(tài)，則認為系統(tǒng)不穩(wěn)定。,18:31,8,,單擺系統(tǒng)穩(wěn)定,倒擺系統(tǒng)不穩(wěn)定,各點是否穩(wěn)定？,18:31,9,,基于特征多項式系數(shù)的解

3、析方法,4.1.1.2 系統(tǒng)穩(wěn)定性判別方法,18:31,10,勞斯判據(jù),判斷特征方程的所有系數(shù) 是否均大于0或均小于0,勞斯(Routh)判據(jù)：系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是，勞斯表中第一列各值嚴格為正；如果勞斯表第一列中出現(xiàn)小于零的數(shù)值，系統(tǒng)不穩(wěn)定。,18:31,11,構(gòu)造勞斯陣列,由系統(tǒng)矩陣的特征方程,sn sn-1 sn-2 sn-3, ,其中,18:31,12,18:31,13,Edward John Routh (1831-1907),18:31,14,Routh 判據(jù)的歷史局限性,Routh判據(jù)提出時，沒有求多項式根的方法 現(xiàn)在求解矩陣特征根、求解多項式方程的根輕而易舉，無需間接

4、方法 Routh判據(jù)只能得出是否穩(wěn)定，進一步信息得不出來，如系統(tǒng)是否振蕩 離散系統(tǒng)無法由Routh方法直接判定，得借助于Jury判據(jù)，更復雜 穩(wěn)定性分析方法不統(tǒng)一,18:31,15,考慮特征方程,構(gòu)造霍爾維茨行列式：,霍爾維茨判據(jù),行列式中，對角線上各元為特征方程中自第二項開始的各項系數(shù)。每行以對角線上各元為準，寫對角線左方各元時，系數(shù)ai的腳標遞增；寫對角線右方各元時，系數(shù)ai的腳標遞減。當寫到在特征方程中不存在系數(shù)時，則以零來代替。,18:31,16,霍爾維茨(Hurwitz)判據(jù)：當且僅當由特征方程系數(shù)構(gòu)成的霍爾維茨矩陣為正定矩陣時，系統(tǒng)穩(wěn)定。 即行列式D的各階主子式( Di )均大于零

5、,18:31,17,由Lyapunov穩(wěn)定性定義可知，如果能夠考察系統(tǒng)的全部零極點的分布情況，就可以判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 MATLAB提供了直接求取系統(tǒng)所有零極點的函數(shù)，因此可以直接根據(jù)零極點的分布情況對系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行判斷。,18:31,18,基于 MATLAB 的穩(wěn)定性判定方法,直接判定 狀態(tài)方程模型 由 可以求出所有特征根 離散系統(tǒng)： 圖解判定法 連續(xù)系統(tǒng)： 繪制零極點圖 離散系統(tǒng)： ，同時畫出單位圓,18:31,19,18:31,20,,%檢驗極點的實部；求取極點實部大于零的個數(shù) ii=find(real(p)0) n2=length(ii); %判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定

6、if(n20) disp(the system is unstable) disp(the unstable pole are:) disp(p(ii)) else disp(the system is stable) end %繪制零極點圖 pzmap(p,z),18:31,21,ii=find(條件式) 用來求取滿足條件的向量的下標向量，以列向量表示。,條件式為real(p0)，其含義就是找出極點向量p中滿足實部的值大于0的所有元素下標，并將結(jié)果返回到ii向量中： 1. ii的元素個數(shù) 0，則認為找到了不穩(wěn)定極點，因而給出系統(tǒng)不穩(wěn)定的提示 2. ii向量的元素個數(shù) = 0，則認為沒有找到不

7、穩(wěn)定的極點，因而得出系統(tǒng)穩(wěn)定的結(jié)論。,18:31,22,4.1.2 線性系統(tǒng)的線性相似變換,系統(tǒng)的狀態(tài)方程表示稱為系統(tǒng)實現(xiàn) 不同狀態(tài)選擇下，狀態(tài)方程不唯一 相似變換 非奇異矩陣 狀態(tài)變換 新狀態(tài)方程模型,18:31,23,狀態(tài)變換公式 MATLAB 求解方法,18:31,24,例 已知系統(tǒng)和轉(zhuǎn)換矩陣 MATLAB 求解,18:31,25,變換結(jié)果 可見，相似變換能改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu) 引入相似變換矩陣，可以將已知系統(tǒng)轉(zhuǎn)換成其他的形式,18:31,26,4.1.3 系統(tǒng)的可控性與可觀性,可控性定義 系統(tǒng)的可控性就是指系統(tǒng)內(nèi)部的狀態(tài)是否 可以由外部輸入信號控制的性質(zhì)?。?！,18:31,27,可控

8、性判定,1.可控性判定矩陣 判定依據(jù)：若矩陣Tc滿秩，則系統(tǒng)完全可控。 構(gòu)造可控性判定矩陣 基于 MATLAB 的判定方法,18:31,28,例 離散狀態(tài)方程的可控性 MATLAB 求解,18:31,29,判定矩陣 判定矩陣構(gòu)造方法 這樣的判定方法同樣適合于連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)，也適用于多變量模型。,18:31,30,2.由 Gram 矩陣判定可控性,引入可控 Gram 矩陣 該矩陣滿足 Lyapunov 方程 MATLAB 求解 構(gòu)造Gram矩陣 ，Gc非奇異，則系統(tǒng)可控?。?18:31,31,可觀測性定義 系統(tǒng)的可觀測性就是指系統(tǒng)內(nèi)部的狀態(tài) 是不是可以由系統(tǒng)輸出信號重建起

9、來的 性質(zhì)??！,18:31,32,可觀性判定,判定矩陣 是否滿秩？ To=obsv(A,C) rank(To) Gram 矩陣是否非奇異 Go=gram(G,o) rank(Go),18:31,33,注意： 無論用哪種方法判別可控性與可觀性，必須判斷相應矩陣的秩！,18:31,34,4.2 控制系統(tǒng)的頻域分析,一、頻域分析的一般方法,頻域分析法是應用頻率特性研究控制系統(tǒng)的一種典型方法。 1. 可直觀地表達出系統(tǒng)的頻率特性 2. 分析方法比較簡單 3. 物理概念比較明確 對于諸如防止結(jié)構(gòu)諧振、抑制噪聲、改善系統(tǒng)穩(wěn)定性

10、和暫態(tài)性能等問題，都可以從系統(tǒng)的頻率特性上明確地看出其物理實質(zhì)和解決途徑。,18:31,35,頻率響應或頻率特性: 將正弦信號加在一個線性環(huán)節(jié)(系統(tǒng))時，在穩(wěn)態(tài)下環(huán)節(jié)的輸出量與輸入量之比。此比值給出了不同頻率下，系統(tǒng)傳輸正弦信號的性能。這個比值稱為系統(tǒng)的頻率響應，或頻率特性。通常記為：,18:31,36,,,分析頻率特性方法,,Bode圖：bode(),nyquist圖：nyquist(),18:31,37,對數(shù)頻率特性圖包括了對數(shù)幅頻特性圖和對數(shù)相頻特性圖。 采用對數(shù)頻率特性表示法，使得研究頻率范圍很寬的頻率特性時，縮小了比例尺；大大簡化繪制系統(tǒng)頻率特性的工作，如若干環(huán)節(jié)串聯(lián)時，只需繪出各環(huán)

11、節(jié)的對數(shù)幅頻特性，進行加減后即可得到串聯(lián)后系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性。,對數(shù)頻率特性曲線（Bode圖）,18:31,38,bode(num,den)：可繪制出以連續(xù)時間傳遞函數(shù)表示的系統(tǒng)的Bode圖。,bode(a,b,c,d): 針對連續(xù)狀態(tài)空間系統(tǒng)a,b,c,d的每個輸入的Bode圖。其中頻率范圍由函數(shù)自動選取，而且在響應快速變化的位置會自動采用更多取樣點。,bode(a,b,c,d,iu)：可得到從系統(tǒng)第iu個輸入到所有輸出的Bode圖。,18:31,39,bode(a,b,c,d,iu,w)或bode(num,den,w)：可利用指定的角頻率矢量繪制出系統(tǒng)的波德圖。,當帶輸出變量mag,pha

12、,w或mag,pha引用函數(shù)時，可得到系統(tǒng)波德圖相應的幅值mag、相角pha及角頻率w矢量或只是返回幅值與相角。相角以度為單位，幅值可轉(zhuǎn)換為分貝單位：magdb=20log10(mag),18:31,40,wn=6; w=0:0.1:10; num=wn2; for kosi= 0.1:0.1:10 den=1 2*kosi*wn wn2; mag,pha,w1=bode(num,den,w); % 注意mag的單位不是分貝，若需要分貝表示，可以通過20*log10(mag)進行轉(zhuǎn)換,例：求典型二階系統(tǒng)自然振蕩頻率固定，阻尼比變化時的Bode圖,18:31,41,subplot(121); h

13、old on; plot(w,mag) grid on % 繪制幅值的變化規(guī)律 subplot(122); hold on; plot(w,pha) % 繪制相角的變化規(guī)律 end,18:31,42,18:31,43,例： close all a=-2.5 -1.22 0 0;1.22 0 0 0;1 -1.14 -3.2 -2.56;... 0 0 2.56 0; b=4 1;2 0;2 0;0 0; c=0 1 0 3;0 0 0 1; d=0 -2;-2 0; figure(1) bode(a,b,c,d) figure(2) bode(a,b,c,d,1) % 繪制第一個輸入到所有輸

14、出的Bode圖,18:31,44,18:31,45,18:31,46,將頻率特性函數(shù)G(jw)表示為代數(shù)形式,幅相頻率特性曲線(幅相曲線,極坐標圖),其中P(w)為頻率特性的實部，稱為實頻特性，Q(w)為頻率特性的虛部，稱為虛頻特性。當頻率w由0變到正無窮時，G(jw)的矢量終端將繪出一條曲線，此曲線稱為系統(tǒng)的幅相頻率特性，或稱為奈氏圖。,18:31,47,nyquist(a,b,c,d)：繪制出系統(tǒng)的一組nyquist曲線，每條曲線相應于連續(xù)狀態(tài)空間系統(tǒng)a,b,c,d的輸入/輸出組合對。其中頻率范圍由函數(shù)自動選取，而且在響應快速變化的位置會自動采用更多取樣點。,nyquist(a,b,c,d

15、,iu)：可得到從系統(tǒng)第iu個輸入到所有輸出的極坐標圖。,nyquist(num,den)：可繪制出以連續(xù)時間多項式傳遞函數(shù)表示的系統(tǒng)的極坐標圖。,18:31,48,nyquist(a,b,c,d,iu,w)或nyquist(num,den,w)：可利用指定的角頻率矢量繪制出系統(tǒng)的極坐標圖。,當不帶返回參數(shù)時，直接在屏幕上繪制出系統(tǒng)的極坐標圖（圖上用箭頭表示w的變化方向，負無窮到正無窮）。當帶輸出變量re,im,w引用函數(shù)時，可得到系統(tǒng)頻率特性函數(shù)的實部re和虛部im及角頻率w矢量（為正的部分）。可以用plot(re,im)繪制出對應w從負無窮到零變化的部分。,18:31,49,例： 已知系統(tǒng)

16、的傳遞函數(shù)為：G(s)=K/(s3+52s2+100s)，求當K分別取1300和5200時，系統(tǒng)的極坐標頻率特性圖 k1=1300; k2=5200; w=8:1:80; num1=k1; num2=k2; den=1 52 100 0; figure(1) subplot(211) nyquist(num1,den,w);,18:31,50,subplot(212) pzmap(num1,den); %繪制零極點圖 figure(2) subplot(211) nyquist(num2,den,w); subplot(212) re,im=nyquist(num2,den); plot(

17、re,im) xlabel(real) ylabel(image) title(w from 負無窮 to 零),18:31,51,18:31,52,18:31,53,例：close all a=-2.5 -1.22 0 0;1.22 0 0 0;1 -1.14 -3.2 -2.56;... 0 0 2.56 0; b=4 1;2 0;2 0;0 0; c=0 1 0 3;0 0 0 1; d=0 -2;-2 0; figure(1) nyquist(a,b,c,d) figure(2) nyquist(a,b,c,d,2) % 繪制第二個輸入到所有輸出的波特圖 % 注意在圖中標示依然使用u

18、(1)表示第二個輸入,18:31,54,18:31,55,18:31,56,二、常用頻域分析函數(shù),margin：求幅值裕度和相角裕度及對應的 轉(zhuǎn)折頻率 freqs： 模擬濾波器特性 nichols：求連續(xù)系統(tǒng)尼科爾斯頻率響應曲線 （即對數(shù)幅相曲線） ngrid： 尼科爾斯方格圖,,18:31,57,margin函數(shù)通常用在bode函數(shù)之后，先由bode函數(shù)得到幅值、相角和頻率矢量，然后由margin繪制出幅值裕度和相角裕度的Bode圖。 幅值裕度和相角裕度是針對開環(huán)SISO系統(tǒng)而言，它指示出系統(tǒng)閉環(huán)時的相對穩(wěn)定性。當不帶輸出變量引用時，margin可在當前圖形窗口中繪制出帶有

19、裕量及相應頻率顯示的Bode圖，其中幅值裕度以分貝為單位。,margin：求幅值裕度和相角裕度及對應的 轉(zhuǎn)折頻率,18:31,58,幅值裕度是在相角為-180度處使開環(huán)增益為1的增益量，如在-180度相頻處的開環(huán)增益為g，則幅值裕度為1/g；若用分貝值表示幅值裕度，則等于：-20*log10(g)。類似地，相角裕度是當開環(huán)增益為1.0時，相應的相角與180度角的和。,margin(num,den) ：可計算出連續(xù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)表示的幅值裕度和相角裕度并繪制相應Bode圖。類似，margin(a,b,c,d)可以計算出連續(xù)狀態(tài)空間系統(tǒng)表示的幅值裕度和相角裕度并繪制相應的Bode圖。,18:

20、31,59,Gm,Pm,Wcg,Wcp=margin(mag,phase,w)：由幅值mag（不是以dB為單位） 、相角phase及角頻率w矢量計算出系統(tǒng)幅值裕度和相角裕度及相應的相角交界頻率wcg、截止頻率wcp，而不直接繪出Bode圖曲線。,18:31,60,例： w=logspace(-1,2,39); mag,pha=bode(1,1 2 3); Gm,Pm,Wcg,Wcp=margin(mag,pha,w) % Gm幅值裕度 % Pm相角裕度 % Wcg--幅值裕度對應的角頻率 % Wcp--相角裕度對應的角頻率,18:31,61,freqs用于計算由矢量a和b構(gòu)成的模擬濾波器H(s

21、)=B(s)/A(s)的幅頻響應。 圖形上和Bode 圖基本一致！,freqs：模擬濾波器特性,h=freqs(b,a,w)用于計算模擬濾波器的幅頻響應，其中實矢量w用于指定頻率值，返回值h為一個復數(shù)行向量，要得到幅值必須對它取絕對值，即求模。,18:31,62,h,w=freqs(b,a)自動設(shè)定200個頻率點來計算頻率響應，這200個頻率值記錄在w中。,h,w=freqs(b,a,n)設(shè)定n個頻率點計算頻率響應。 不帶輸出變量的freqs函數(shù)，將在當前圖形窗口中繪制出幅頻和相頻曲線，其中幅相曲線對縱坐標與橫坐標均為對數(shù)分度。,18:31,63,例：有一模擬濾波器，其傳遞函數(shù)為： H(s)

22、=(0.2s2+0.3s+1)/(s2+0.4s+1) 求它的幅頻特性和相頻特性 b=0.2 0.3 1; a=1 0.4 1; w=logspace(-1,1); h=freqs(b,a,w); %計算幅頻響應 mag=abs(h); %對h求模值 semilogx(w,mag) grid on figure(2) freqs(b,a,w) %直接繪制幅頻與相頻曲線,18:31,64,18:31,65,幅相曲線對縱坐標與橫坐標均為對數(shù)分度!,18:31,66,figure(3) bode(b,a,w) grid on 上述命令的作用與freqs(b,a,

23、w) 是否一致？,18:31,67,區(qū)別只在于幅相曲線的縱坐標！,18:31,68,三、頻域分析應用實例,Nyquist曲線是根據(jù)開環(huán)頻率特性在復平面上繪出的幅相軌跡，根據(jù)開環(huán)的Nyquist曲線，可以判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為： 逆時針包圍 (-1，j0)的圈數(shù)R = 開環(huán)傳遞函數(shù)位于s右半平面的極點數(shù)P 閉環(huán)正實部特征根個數(shù)Z=P-R。若剛好過臨界點，則系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。,,18:31,69,要求 （1）繪制系統(tǒng)的奈奎斯特曲線，判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，求出閉環(huán)系統(tǒng)的單位階躍響應。,例：已知某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：,18:31,70,（1）clear k=26; z=; p=-6

24、 1; num,den=zp2tf(z,p,k); figure(1) subplot(211) nyquist(num,den) subplot(212) pzmap(p,z) figure(2) numc,denc=cloop(num,den); step(numc,denc),18:31,71,18:31,72,18:31,73,（2）給系統(tǒng)增加一個開環(huán)極點p=2，求此時的奈奎斯特曲線，判斷此時閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并繪制系統(tǒng)的單位階躍響應曲線。,18:31,74,（2）k=26; z=; p=-6 1 2; num,den=zp2tf(z,p,k); figure(1) subplot(211) nyquist(num,den) subplot(212) pzmap(p,z) figure(2) numc,denc=cloop(num,den); step(numc,denc),18:31,75,18:31,76,