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1、 考點三　復數(shù) 一、選擇題 1．(2019·湖南衡陽三模)已知i是虛數(shù)單位，復數(shù)i·z＝1－2i，則復數(shù)z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　C 解析　∵復數(shù)i·z＝1－2i，∴－i·i·z＝－i(1－2i)，z＝－2－i，則復數(shù)z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點(－2，－1)位于第三象限．故選C. 2．(2019·山東濰坊5月三模)設(shè)復數(shù)z滿足＝i，則|z|＝(　　) A．1 B. C．3 D．5 答案　B 解析　∵＝i，∴z＝＝＋1＝＋1＝1－2i，∴|z|＝＝，故選B. 3．(2019·安徽蕪湖5月模擬

2、)設(shè)復數(shù)z滿足＝i，則下列說法正確的是(　　) A．z為純虛數(shù) B．z的虛部為－i C.＝－i D．|z|＝ 答案　D 解析　∵z＋1＝zi，∴z＝－－i，∴|z|＝，復數(shù)z的虛部為－，＝－＋i，故選D. 4．(2019·全國卷Ⅰ)設(shè)復數(shù)z滿足|z－i|＝1，z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點為(x，y)，則(　　) A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1 C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1 答案　C 解析　由已知條件，可得z＝x＋yi.∵|z－i|＝1， ∴|x＋yi－i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故選C. 5．復數(shù)z＝(i為虛數(shù)

3、單位)的共軛復數(shù)是(　　) A. B. C.＋i D.－i 答案　C 解析　由題意，得z＝＝＝＝－i，∴＝＋i.故選C. 6．已知i為虛數(shù)單位，若復數(shù)z＝＋i(a∈R)的實部與虛部互為相反數(shù)，則a＝(　　) A．－5 B．－1 C．－ D．－ 答案　D 解析　z＝＋i＝＋i＝＋i，∵復數(shù)z＝＋i(a∈R)的實部與虛部互為相反數(shù)， ∴－＝，解得a＝－.故選D. 7．若復數(shù)z1，z2在復平面內(nèi)的對應(yīng)點關(guān)于虛軸對稱，且z1＝2＋i，i為虛數(shù)單位，則z1z2＝(　　) A．－5 B．5 C．－4＋i D．－4－i 答案　A 解析　因為z1＝2＋i在復平面內(nèi)的對

4、應(yīng)點(2,1)關(guān)于虛軸(y軸)的對稱點為(－2,1)，因此z2＝－2＋i，z1z2＝i2－4＝－5.故選A. 8．若復數(shù)z＝(a＋i)2(a∈R)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點在虛軸上，則|z|＝(　　) A．1 B．3 C．2 D．4 答案　C 解析　由z＝(a＋i)2＝a2－1＋2ai在復平面內(nèi)對應(yīng)的點在虛軸上，知a2－1＝0，即a＝±1，所以z＝±2i， 故|z|＝2，故選C. 二、填空題 9．若i為虛數(shù)單位，圖中網(wǎng)格紙的小正方形的邊長是1，復平面內(nèi)點Z表示復數(shù)z，則復數(shù)的共軛復數(shù)是________． 答案?。璱 解析　復數(shù)＝＝＝i，其共軛復數(shù)為－i. 10．(2019

5、·湖北部分重點中學聯(lián)考)＝________. 答案　i 解析　＝＝＝＝＝i. 11．歐拉公式：eix＝cosx＋isinx(i為虛數(shù)單位)，由瑞士數(shù)學家歐拉發(fā)明，它建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，根據(jù)歐拉公式，(e)2＝________. 答案?。? 解析　由eix＝cosx＋isinx得(e)2＝2＝i2＝－1. 12．已知＝－1＋bi，其中a，b是實數(shù)，則復數(shù)a－bi在復平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第________象限． 答案　二 解析　由＝－1＋bi，得a＝(－1＋bi)(1－i)＝(b－1)＋(b＋1)i， ∴即a＝－2，b＝－1，∴復數(shù)a－bi＝－2＋i在復平面內(nèi)對應(yīng)的點的

6、坐標為(－2,1)，位于第二象限． 三、解答題 13．如圖，平行四邊形OABC，頂點O，A，C分別表示0,3＋2i，－2＋4i，試求： (1)表示的復數(shù)，表示的復數(shù)； (2)對角線表示的復數(shù)． 解　(1)∵＝－， ∴表示的復數(shù)為－3－2i， ∵＝，∴表示的復數(shù)為－3－2i. (2)∵＝－， ∴表示的復數(shù)為(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. 14．已知z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ－isinβ，且z1－z2＝＋i，求cos(α＋β)的值． 解　∵z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ－isinβ， ∴z1－z2＝(cosα－cosβ)＋i(sin

7、α＋sinβ)＝＋i. ∴ 由①2＋②2，得2－2cos(α＋β)＝1. ∴cos(α＋β)＝. 一、選擇題 1．(2019·安徽合肥第三次教學質(zhì)量檢測)已知i是虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足z＋z·i＝3＋i，則復數(shù)z的共軛復數(shù)為(　　) A．1＋2i B．1－2i C．2＋i D．2－i 答案　C 解析　z＋z·i＝3＋i可化為z＝，∵z＝＝＝＝2－i.∴z的共軛復數(shù)為＝2＋i，故選C. 2．(2019·四川雙流中學一模)已知點Z1，Z2的坐標分別為(1,0)，(0,1)，若向量對應(yīng)復數(shù)z，則復數(shù)z對應(yīng)的點位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D

8、．第四象限 答案　B 解析　因為點Z1，Z2的坐標分別為(1,0)，(0,1)，所以＝(－1,1)，即復數(shù)z對應(yīng)點位于第二象限，故選B. 3．(2019·山東棲霞高考模擬)已知復數(shù)z＝(a＋i)(1－i)(i為虛數(shù)單位)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點在直線y＝2x上，則實數(shù)a的值為(　　) A．0 B．－1 C．1 D．－ 答案　D 解析　因為z＝(a＋i)(1－i)＝a＋1＋(1－a)i，對應(yīng)的點為(a＋1,1－a)，因為點在直線y＝2x上，所以1－a＝2(a＋1)，解得a＝－.故選D. 4．(2019·河南十所名校測試七)設(shè)復數(shù)z＝a＋i，是其共軛復數(shù)，若＝＋i，則實數(shù)a＝(　　)

9、 A．4 B．3 C．2 D．1 答案　C 解析　∵z＝a＋i，∴＝a－i，又＝＋i， 則a＋i＝＋＋i，∴a＝2. 5．(2019·北京昌平二模)已知復數(shù)z＝－1＋a(1＋i)(i為虛數(shù)單位，a為實數(shù))在復平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，則復數(shù)z的虛部可以是(　　) A．－i B.i C．－ D. 答案　D 解析　因為z＝－1＋a(1＋i)＝(a－1)＋ai， 所以即0

10、R，則∈R. 其中的真命題為(　　) A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4 答案　B 解析　設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)． 對于p1，若∈R，即＝∈R，則b＝0?z＝a＋bi＝a∈R，所以p1為真命題． 對于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，則ab＝0.當a＝0，b≠0時，z＝a＋bi＝bi∈/ R，所以p2為假命題． 對于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，則a1b2＋

11、a2b1＝0.而z1＝2，即a1＋b1i＝a2－b2i?a1＝a2，b1＝－b2.因為a1b2＋a2b1＝0?/ a1＝a2，b1＝－b2，所以p3為假命題． 對于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，則b＝0?＝a－bi＝a∈R，所以p4為真命題，故選B. 7．下面四個命題中， ①復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的實部、虛部分別是a，b； ②復數(shù)z滿足|z＋1|＝|z－2i|，則z對應(yīng)的點構(gòu)成一條直線； ③由向量a的性質(zhì)|a|2＝a2，可類比得到復數(shù)z的性質(zhì)|z|2＝z2； ④i為虛數(shù)單位，則1＋i＋i2＋…＋i2020＝1. 正確命題的個數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2

12、D．3 答案　D 解析?、購蛿?shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的實部為a，虛部為b，故正確；②設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，由|z＋1|＝|z－2i|計算得2a＋4b－3＝0，故正確；③設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，當b≠0時，|z|2＝z2不成立，故錯誤；④1＋i＋i2＋…＋i2020＝1，故正確． 8．已知復平面內(nèi)，定點M與復數(shù)m＝1＋2i(i為虛數(shù)單位)對應(yīng)，動點P與z＝x＋yi對應(yīng)，那么滿足|z－m|＝2的點P的軌跡方程為(　　) A．(x－1)2＋(y－2)2＝2 B．(x－1)2＋(y－2)2＝4 C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋2)2＝4 答

13、案　B 解析　由題意，知在復平面內(nèi)，z－m對應(yīng)的點為(x－1，y－2)．則由|z－m|＝2，得＝2，即(x－1)2＋(y－2)2＝4，故選B. 二、填空題 9．(2019·廣東韶關(guān)4月模擬)已知是z的共軛復數(shù)，且滿足(1＋i)＝4(其中i是虛數(shù)單位)，則|z|＝________. 答案　2 解析　由(1＋i)＝4，得，＝＝＝2－2i，∴|z|＝||＝＝2. 10．(2019·天津北辰模擬)用Re(z)表示復數(shù)z的實部，用Im(z)表示復數(shù)z的虛部，若已知復數(shù)z滿足(1－i)＝7＋3i，其中是復數(shù)z的共軛復數(shù)，則Re(z)＋Im(z)＝________. 答案?。? 解析　由題意

14、得，＝＝＝＝2＋5i，∴z＝2－5i，則Re(z)＋Im(z)＝2－5＝－3. 11．若2－i是關(guān)于x的實系數(shù)方程x2＋bx＋c＝0的一個復數(shù)根，則bc＝________. 答案?。?0 解析　把復數(shù)根2－i代入方程中，得(2－i)2＋b(2－i)＋c＝0，即3＋2b＋c－(4＋b)i＝0， 所以解得故bc＝－20. 12．定義復數(shù)的一種新運算z1@z2＝(等式右邊為普通運算)．若復數(shù)z＝x＋yi，i為虛數(shù)單位，且實數(shù)x，y滿足x＋y＝2，則@z的最小值為________． 答案　2 解析　@z＝＝＝|z|＝. 由于x＋y＝2，所以@z＝ ， 故x＝時，@z取最小值2. 三

15、、解答題 13．設(shè)虛數(shù)z滿足|2z＋15|＝|＋10|. (1)計算|z|的值； (2)是否存在實數(shù)a，使＋∈R？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由． 解　(1)設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，則＝a－bi， ∵|2z＋15|＝|＋10|， ∴|(2a＋15)＋2bi|＝|(a＋10)－bi|， ∴＝ ， ∴a2＋b2＝75，∴|z|＝＝5. (2)假設(shè)存在實數(shù)a，使＋∈R. 設(shè)z＝c＋di(c，d∈R且d≠0)， 則有＋＝＋＝＋i＋ ＝＋＋i∈R， ∴－＝0，∵d≠0，∴a＝±， 由(1)知 ＝5，∴a＝±5. 14．(2019·遼寧省鞍山一中一模)設(shè)

16、z＋1為關(guān)于x的方程x2＋mx＋n＝0，m，n∈R的虛根，i為虛數(shù)單位． (1)當z＝－1＋i時，求m，n的值； (2)若n＝1，在復平面上，設(shè)復數(shù)z所對應(yīng)的點為P，復數(shù)2＋4i所對應(yīng)的點為Q，試求|PQ|的取值范圍． 解　(1)因為z＝－1＋i，所以z＋1＝i， 則i2＋mi＋n＝0，易得 (2)設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)， 則(a＋1＋bi)2＋m(a＋1＋bi)＋1＝0， 于是 因為b不恒為零，所以由②得m＝－2(a＋1)，代入①得，(a＋1)2＋b2＝1，其幾何意義是以(－1,0)為圓心，1為半徑的圓，即P是圓上任意一點．又復數(shù)2＋4i對應(yīng)的點為Q，所以|PQ|的最大值為＋1＝6，|PQ|的最小值為4. 所以|PQ|的取值范圍是[4,6]．