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1、3.1 連續(xù)系統(tǒng)仿真中常用的數(shù)值積分法. 3.2 剛性系統(tǒng)的特點及算法. 3.3 實時仿真法. 3.4 分布參數(shù)系統(tǒng)的數(shù)字仿真. 3.5 面向微分方程的仿真程序設(shè)計. 本章小結(jié).,第三章 數(shù)值積分法在系統(tǒng)仿真中的應(yīng)用,,3.1 連續(xù)系統(tǒng)仿真中常用的數(shù)值積分法,1. 數(shù)值積分法,如果已知某一系統(tǒng)的一階向量微分方程為,對式子(3.1),數(shù)值積分可寫成統(tǒng)一的公式,（3-1）,（3-2）,幾種常用的積分法,歐拉法,歐拉法的幾何意義,改進的歐拉法,亞當斯法(隱式),龍格-庫塔法,亞當斯法(顯式),,,,,,,,,,,,,,,,誤差,t,,歐拉法雖然計算精度較低，實際中很少采用， 但器推倒簡單，能說明舊夠

2、數(shù)值解法一般計算公 式的基本思想。,（3-3）,圖3.1 矩形近似及其誤差,0,歐拉法,,,,,,,,,,,t,圖3.2 歐拉折線,歐拉法的幾何意義 十分清楚。,稱為歐拉折線法。,歐拉法的幾何意義,,,,,,,,,,,,,,,,,圖3.3 梯形近似及其誤差,在推導(dǎo)時用圖中的陰影面積來近似 式(3.3)時，由于梯形公式中隱含有待求 量，通?？捎脷W拉法啟動初值，算出近 似值，然后帶如微分方程，最后利用梯 形公式求出修正。為提高精度，簡化計 算，只迭代一次。這樣可得改進的歐拉 公式：,t,0,（3-8）,第一式稱為預(yù)估公式， 第二式稱為校正公式。,改進的歐拉法,,龍格-庫塔（RK）法的一般形式為,,

3、（3-10）,（3-9）,式中,泰勒級數(shù),龍格-庫塔法,,,（3-11）,而,4階龍格-庫塔法式使用較多的一種方法，其公式如下,,,在解決積分問題時，采用亞當斯-貝喜霍斯顯示多步法，簡稱亞當斯法。,根據(jù)牛頓后插公式,（3-25）,（3-26）,亞當斯法(顯式),,亞當斯多步法的計算公式是,（3-27）,（3-28）,其中,（k=1時可得歐拉公式）,,當k=2時，得到亞當斯多步法的計算公式，(3-28)式各系數(shù)為,（3-29）,,故可得三階亞當斯公式,整理上式得,（3-30）,,牛頓前插公式為,（3-32）,（3-31）,亞當斯法(隱式),,（3-35）,（3-34）,常用的四階亞當斯預(yù)測-校正

4、法的計算公式為,仿照顯式多法的推倒過程，得亞當斯-摩爾頓隱式多步法 的計算公式,（3-33）,,3.2 剛性系統(tǒng)的特點及算法,一個剛性系統(tǒng)可以這樣描述，對于n階微分方程組,作為系統(tǒng)剛性程序的度量。,（3-36）,,當 時，系統(tǒng)為剛性系統(tǒng)，或稱為stiff系統(tǒng)。對與這樣的系統(tǒng)作做 數(shù)字仿真，其最大的困惑是：積分步長由最大的特征值來確定，最小的 特征值決定數(shù)值求解總的時間。,剛性系統(tǒng)在時間中的普遍性和重要性已得到廣泛的重視，這種方程的數(shù) 值解已成為常微分方程的數(shù)值研究的重點。,目前解剛性方程的數(shù)值方法基本分為：,顯式公式,隱式公式,預(yù)測校正,,,顯式公式常用雷納爾法。其中著眼點是，在保證穩(wěn)定的

5、前提下，盡 可能地擴大穩(wěn)定區(qū)域。這一方法的優(yōu)點是，它是顯式的，所以便于程序 設(shè)計。對一般好的方程設(shè)計。對一般條件好的方程，它就還原為四階龍 格-庫塔方法，而對剛性方程它又有增加穩(wěn)定性的好處。,眾所周知，隱式公式都是穩(wěn)定的，故都大于解描述剛性系統(tǒng)的方程 組，如隱式的龍格-庫塔法。但這種方法每計算一步都要進行迭代，故計 算量大。在工程上使用又一定捆年。因此在解剛性方程時，常Rosenbrock 提出的半隱式龍格-庫塔法。,預(yù)測-校正型中常用的解剛性方程的方法式Gear算法。Gear首先應(yīng) 引進剛性穩(wěn)定性的概念，它可以滿足穩(wěn)定型，而減低對h的要求。Gear 方法是一格通用的方法，它不但使用于解剛性方

6、程組，而且也適用于解 非剛性方程組。,,3.3 實時仿真法,假設(shè)仿真的連續(xù)動力學(xué)由非線形常微分方程描述為：,（3-37）,（3-38）,對(3-37)式采用二階龍格-庫塔公式求解，其遞推方程可寫為,F為函數(shù)，外部輸入為u(t) 。,,,,,,,,,,,,,圖3.6 RK-2 的計算流程,,（1）選擇Adams多步法。 （2）合理地選擇龍格-庫塔法計算公式中的系數(shù)，使之適用于 實時仿真。,為了適用于實時仿真計算，一般經(jīng)常采用以下方法：,（3-39）,1,,,,,,,,,,,圖3.6 實時RK-2 的計算流程,其流程圖如圖3-7：,,（3-40）,下面為一個高階的龍格-庫塔法計算公式,,（3

7、）利用已經(jīng)取得的值進行外推。,（3-41）,采用外推算法不僅會帶來附加的誤差，還要增加計算量，所以 比較下來還是選擇實時算法為佳。,,本章小結(jié),(2) 在系統(tǒng)仿真中，常用的微分方程的數(shù)值積分發(fā)有歐拉法、龍格-庫塔法和線性等分法等。數(shù)值積分法的分類方式很多，常見的有：單步法和多步法，顯式和隱式的分法。使用這些解法時，要注意其特點。,(1) 系統(tǒng)的動態(tài)特性通常是用高階微分方程或一階微分方程組來 描述的。一般講只有極少微分方程能用初等方法求得其解析解，多 數(shù)只能用近似數(shù)值求解。利用計算機求解微分方程主要使用數(shù)值積 分法，它是系統(tǒng)仿真的最基本解法。本章重點討論了數(shù)值積分發(fā)在 系統(tǒng)仿真中的應(yīng)用問題。,,(3) 實時仿真解法是半實物仿真所必須滿足的條件，但并非所有的解法都適用于實時解法。應(yīng)用時，必須仔細選擇能滿足實時要求的解法和公式。 (4) 有相應(yīng)一類動力學(xué)系統(tǒng)無法用常微分法來描述，而要用偏微分方程法來描述。例如，熱傳導(dǎo)問題、振動問題等，這類系統(tǒng)被稱為分布參數(shù)系統(tǒng)。這類系統(tǒng)的數(shù)值求解更難，主要的解法有差分解法和線上求解法。,本章小結(jié),