《江蘇省無(wú)錫新領(lǐng)航教育咨詢有限公司2015屆中考數(shù)學(xué) 數(shù)與式中典型例題串講二》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《江蘇省無(wú)錫新領(lǐng)航教育咨詢有限公司2015屆中考數(shù)學(xué) 數(shù)與式中典型例題串講二（18頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、數(shù)與式中典型例題串講二 課前集訓(xùn)鞏固提高 1已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列5個(gè)結(jié)論：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的實(shí)數(shù)）其中正確的結(jié)論有（ ） A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè) 【答案】B． 【解析】 試題分析：①由圖象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，錯(cuò)誤； ②當(dāng)x=-1時(shí)，y=a-b+c＜0，即b＞a+c，錯(cuò)誤； ③由對(duì)稱知，當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)值大于0，即y=4a+2b+c＞0，正確； ④當(dāng)x=3時(shí)

2、函數(shù)值小于0，y=9a+3b+c＜0，且x=-=1， 即a=-，代入得9（-）+3b+c＜0，得2c＜3b，正確； ⑤當(dāng)x=1時(shí)，y的值最大．此時(shí)，y=a+b+c， 而當(dāng)x=m時(shí)，y=am2+bm+c， 所以a+b+c＞am2+bm+c， 故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），正確． ③④⑤正確． 故選B． 考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系． 2．函數(shù)y=與y=﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（ ） 【答案】B 【解析】 試題分析：本題可先由反比例函數(shù)的圖象得到字母系數(shù)的正負(fù)，再與二次函數(shù)的圖象相比較看是否一致 由解析式可

3、得：拋物線對(duì)稱軸x=0； A、由雙曲線的兩支分別位于二、四象限，可得k＜0，則﹣k＞0，拋物線開口方向向上、拋物線與y軸的交點(diǎn)為y軸的負(fù)半軸上；本圖象與k的取值相矛盾，故A錯(cuò)誤； B、由雙曲線的兩支分別位于一、三象限，可得k＞0，則﹣k＜0，拋物線開口方向向下、拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸上，本圖象符合題意，故B正確； C、由雙曲線的兩支分別位于一、三象限，可得k＞0，則﹣k＜0，拋物線開口方向向下、拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸上，本圖象與k的取值相矛盾，故C錯(cuò)誤； D、由雙曲線的兩支分別位于一、三象限，可得k＞0，則﹣k＜0，拋物線開口方向向下、拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半

4、軸上，本圖象與k的取值相矛盾，故D錯(cuò)誤 考點(diǎn)：反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象及性質(zhì) 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)及反比例函數(shù)和圖象，解決此類問題步驟一般為：（1）先根據(jù)圖象的特點(diǎn)判斷k取值是否矛盾；（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象判斷拋物線與y軸的交點(diǎn)是否符合要求 3．若互為相反數(shù)，互為倒數(shù)，則________． 【答案】－1． 【解析】 試題分析：根據(jù)題意得：，，則原式=0﹣1=﹣1．故答案為：﹣1． 考點(diǎn)：1．有理數(shù)的混合運(yùn)算；2．相反數(shù)；3．倒數(shù)． 4．若x2+2（a-3）x+16是完全平方式，則a = ． 【答案】-1或7 【解析】 試題分析：本題考查的是完全

5、平方式，這里首末兩項(xiàng)是x和4的平方，那么中間項(xiàng)為加上或減去x和4的乘積的2倍，故2（a-3）=±8，解得a的值即可． 試題解析：由于（x±4）2=x2±8x+16=x2+2（a-3）x+16， ∴2（a-3）=±8， 解得a=-1或a=7． 考點(diǎn)：完全平方式． 5．定義一種對(duì)正整數(shù)n的“F”運(yùn)算：①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為3n+5；②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為（其中k是使為奇數(shù)的正整數(shù)），并且運(yùn)算重復(fù)進(jìn)行．例如：取n=26，則： 若，則第201次“F”運(yùn)算的結(jié)果是 ． 【答案】． 【解析】 試題分析:根據(jù)題意：,所以, ． 所以運(yùn)算結(jié)果為． 考點(diǎn)：1閱讀新教材;2．

6、規(guī)律． 6． 定義：對(duì)于實(shí)數(shù)a，符號(hào)[a]表示不大于a的最大整數(shù)．例如：[5．7]=5，[5]=5，[-π]=-4． （1）如果[a]=-2，那么a的取值范圍是 ____________． （2）如果 ，滿足條件的所有正整數(shù)x有____________． 【答案】-3≤a≤-2 5,6 【解析】 試題分析：（1）根據(jù)[a]=-2，得出-3＜a≤-2，求出a的解即可；（2）根據(jù)題意得出3≤﹤4,求出 x的取值范圍，從而得出滿足條件的所有正整數(shù)的解． 考點(diǎn)：一元一次不等式組的應(yīng)用 點(diǎn)評(píng)：此題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出不等式組，求出不等式的解． 7

7、．已知三角形的兩邊長(zhǎng)是方程x 2－5x＋6=0的兩個(gè)根，則該三角形的周長(zhǎng)的取值范圍是 ． 【答案】6＜＜10 【解析】 試題分析：∵， ∴（x﹣2）（x﹣3）=0， ∴x=2或x=3，即三角形的兩邊長(zhǎng)是2和3， ∴第三邊a的取值范圍是：1＜a＜5， ∴該三角形的周長(zhǎng)的取值范圍是6＜＜10． 考點(diǎn)：解一元二次方程-因式分解法；三角形三邊關(guān)系 點(diǎn)評(píng)：本題考查了用因式分解法解一元二次方程的方法：把方程左邊分解成兩個(gè)一次式的乘積，右邊為0，從而方程就轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，解一元一次方程即可．也考查了三角形三邊的關(guān)系：三角形任意兩邊之和大于第三邊 8．若滿足不

8、等式的整數(shù)k只有一個(gè)，則正整數(shù)N的最大值 . 【答案】112； 【解析】 試題分析：已知，則8n+8k＜15，解得k＜，且，則7n+7k＞6m，解得k＞ 所以＜k＜通分得。 又因?yàn)閗只有一個(gè)?！嘀挥衝=112時(shí)， 考點(diǎn)：不等式 點(diǎn)評(píng)：本題難度較大，主要考查學(xué)生對(duì)不等式知識(shí)點(diǎn)的掌握。 最值問題突破 1如圖，E是邊長(zhǎng)為l的正方形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且BE=BC，P為CE上任意一點(diǎn)，PQ⊥BC于點(diǎn)Q，PR⊥BE于點(diǎn)R，則PQ+PR的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 試題分析：連接BP，利用

9、面積法求解，PQ+PR的值等于C點(diǎn)到BE的距離，即正方形對(duì)角線的一半 解：連接BP，過C作CM⊥BD， ∴ 即 又∵ ∴ ∴， ∵BE=BC=1且正方形對(duì)角線， 又BC=CD，CM⊥BD， ∴M為BD中點(diǎn)，又△BDC為直角三角形， ∴， 即PQ+PR值是． 考點(diǎn)：正方形的性質(zhì) 點(diǎn)評(píng)：本題的解題關(guān)鍵是作出正確的輔助線，利用全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，來(lái)化簡(jiǎn)題目 2如圖所示，MN是圓O中一條固定的弦，劣弧MN的度數(shù)為1200，點(diǎn)C是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與M、N重合）。連接MC、NC，D、E分別是NC和MC的中點(diǎn)，直線DE交圓O于點(diǎn)A、B。已知圓O的半徑為，那么在點(diǎn)C

10、的運(yùn)動(dòng)過程中AE+BD的最小值為 。 【答案】 【解析】 試題解析：解：如下圖所示， ∵點(diǎn)D、E分別是NC、MC的中點(diǎn)， ∴點(diǎn)C在劣弧MN的中點(diǎn)時(shí)，AB的長(zhǎng)度最小， 此時(shí)DE＝MN，連接OA、OM，連接OC與MN、AB分別交于點(diǎn)F、G， ∵劣弧MN的度數(shù)是120°， ∴∠OMN＝（180°－120°）＝30°， ∵⊙的半徑是， ∴OF＝OM＝，MF＝×＝， ∵D、E分別是NC、MC的中點(diǎn)， ∴FG＝（OC－OF）＝＝， ∴OG＝OF＋FG＝＝， 在Rt△AOG中，AG＝＝＝， ∴AE＋BD＝2AG－DE＝2×－＝.

11、 考點(diǎn)：三角形的中位線定理、勾股定理、圓心角、弧、弦的關(guān)系 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角形的中位線定理、勾股定理、圓心角、弧、弦的關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵是判斷出當(dāng)點(diǎn)C在劣弧MN的中點(diǎn)時(shí)AE＋BD的值最小. 3如圖是一個(gè)圓錐與其側(cè)面展開圖，已知圓錐的底面半徑是2，母線長(zhǎng)是6. （1）求這個(gè)圓錐的高和其側(cè)面展開圖中∠ABC的度數(shù)； （2）如果A是底面圓周上一點(diǎn)，從點(diǎn)A拉一根繩子繞圓錐側(cè)面一圈再回到A點(diǎn)，求這根繩子的最短長(zhǎng)度． 【答案】解：（1）圓錐的高= ， 底面圓的周長(zhǎng)等于：2π×2= ， 解得：n=120°； （2

12、）連結(jié)AC，過B作BD⊥AC于D，則∠ABD=60°． 由AB=6，可求得BD=3， ∴AD=， AC=2AD= ， 即這根繩子的最短長(zhǎng)度是． 【解析】 試題分析：（1）根據(jù)勾股定理直接求出圓錐的高，再利用圓錐側(cè)面展開圖弧長(zhǎng)與其底面周長(zhǎng)的長(zhǎng)度關(guān)系，求出側(cè)面展開圖中∠ABC的度數(shù)即可；（2）首先求出BD的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出AD以及AC的長(zhǎng)即可． 考點(diǎn)：圓錐的計(jì)算；勾股定理；平面展開-最短路徑問題． 點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了

13、圓錐的計(jì)算、勾股定理、平面展開-最短路徑問題．得到圓錐的底面圓的周長(zhǎng)和扇形弧長(zhǎng)相等是解決本題的突破點(diǎn)． 經(jīng)典壓軸題突破 1銳角中，，，兩動(dòng)點(diǎn)分別在邊上滑動(dòng)，且，以為邊向下作正方形，設(shè)其邊長(zhǎng)為，正方形與公共部分的面積為． （1）中邊上高 ； （2）當(dāng)恰好落在邊上（如圖1）；求正方形的邊長(zhǎng) （3）當(dāng)在外部時(shí)（如圖2），求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式（寫出的取值范圍），并求出為何值時(shí)最大，最大值是多少？ 【答案】解：（1）∵S△ABC=12， ∴，又BC=6， ∴AD=4； （2）設(shè)AD與MN相交于點(diǎn)H， ∵M(jìn)N∥BC， ∴△AMN∽△ABC， ∴，

14、 即， 解得，x=， ∴當(dāng)x=時(shí)正方形MPQN的邊P恰好落在BC邊上； （3）設(shè)MP、NQ分別與BC相交于點(diǎn)E、F， 設(shè)HD=a，則AH=4﹣a， 由， 得， 解得，a=， ∵矩形MEFN的面積=MN×HD， ∴（2.4＜x≤6） 當(dāng)x=3時(shí)，y取最大值為6 【解析】 試題分析：（1）利用三角形的面積公式，三角形的面積=×底×高計(jì)算即可； （2）根據(jù)△AMN與△ABC相似，相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比列式計(jì)算； （3）設(shè)正方形在△ABC內(nèi)的邊長(zhǎng)為a，也就是△ABC的高在正方形內(nèi)的長(zhǎng)度，然后利用同（2）的運(yùn)算，計(jì)算出a的長(zhǎng)度，再利用矩形的面積公式進(jìn)行解答 考

15、點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì) 2已知過原點(diǎn)O的兩直線與圓心為M（0，4），半徑為2的圓相切，切點(diǎn)分別為P、Q，PQ交y軸于點(diǎn)K，拋物線經(jīng)過P、Q兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為N（0，6），且與x軸交于A、B兩點(diǎn)． （1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)； （2）求拋物線解析式； （3）在直線y=nx+m中，當(dāng)n=0，m≠0時(shí)，y=m是平行于x軸的直線，設(shè)直線y=m與拋物線相交于點(diǎn)C、D，當(dāng)該直線與⊙M相切時(shí)，求點(diǎn)A、B、C、D圍成的多邊形的面積（結(jié)果保留根號(hào)）． 【答案】（1）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，3） （2） （3）4+2或6 【解析】 試題分析：（1）由切線的性質(zhì)可得∠MPO=90°，根據(jù)勾股定理可求出

16、PO，然后由面積法可求出PK，然后運(yùn)用勾股定理可求出OK，就可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)； （2）可設(shè)頂點(diǎn)為（0，6）的拋物線的解析式為y=ax2+6，然后將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入就可求出拋物線的解析式；（3）直線y=m與⊙M相切有兩種可能，只需對(duì)這兩種情況分別討論就可求出對(duì)應(yīng)多邊形的面積． 試題解析：解：（1）如圖1， ∵⊙M與OP相切于點(diǎn)P， ∴MP⊥OP，即∠MPO=90°． ∵點(diǎn)M（0，4）即OM=4，MP=2， ∴OP=2． ∵⊙M與OP相切于點(diǎn)P，⊙M與OQ相切于點(diǎn)Q， ∴OQ=OP，∠POK=∠QOK． ∴OK⊥PQ，QK=PK． ∴PK===． ∴OK==3． ∴點(diǎn)P的

17、坐標(biāo)為（，3）． （2）如圖2， 設(shè)頂點(diǎn)為（0，6）的拋物線的解析式為y=ax2+6， ∵點(diǎn)P（，3）在拋物線y=ax2+6上， ∴3a+6=3． 解得：a=﹣1． 則該拋物線的解析式為y=﹣x2+6． （3）當(dāng)直線y=m與⊙M相切時(shí)， 則有=2． 解得；m1=2，m2=6． ①m=2時(shí)，如圖3， 則有OH=2． 當(dāng)y=2時(shí)，解方程﹣x2+6=2得：x=±2， 則點(diǎn)C（2，2），D（﹣2，2），CD=4． 同理可得：AB=2． 則S梯形ABCD=（DC+AB）?OH=（4+2）×2=4+2． ②m=6時(shí)，如圖4， 此時(shí)點(diǎn)C、點(diǎn)D與點(diǎn)N重合． S△

18、ABC=AB?OC=×2×6=6． 綜上所述：點(diǎn)A、B、C、D圍成的多邊形的面積為4+2或6 考點(diǎn)：切線的性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，梯形及三角形的面積 3如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，∠BAC=43o，點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)，設(shè) ∠ACP=x，則x的取值范圍是 。 【答案】43°≤x≤90° 【解析】 試題分析：分別從若點(diǎn)P與點(diǎn)O重合與若點(diǎn)P與點(diǎn)B重合去分析求解即可求得答案 解：若點(diǎn)P與點(diǎn)O重合， ∵OA=OC， ∴x=∠ACP=∠BAC=43°； 若點(diǎn)P與點(diǎn)B重合， ∵AB是直徑， ∴x=∠ACB

19、=90°， ∴x的取值范圍是：43°≤x≤90° 考點(diǎn)：圓周角定理 點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角定理與等腰三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用 4如圖①，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（2，0）和點(diǎn)B（－6，0），與y軸交于點(diǎn)C． （1）求拋物線的解析式； （2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)M ，在對(duì)稱軸上存在點(diǎn)P，使△CMP為等腰三角形，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)． （3）設(shè)點(diǎn)Q是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)Q滿足最大時(shí)，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)． （4）如圖②，若點(diǎn)E為第二象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE、CE，求四邊形BOCE面

20、積的最大值，并求此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)． 【答案】（1）y=-x2-2x+6； （2）P（-2，）或P（-2，2）或P（-2，-2）或P（-2，12）； （3）當(dāng)Q在（-2，12）的位置時(shí)，|QB-QC|最大； （4）最大值為；E坐標(biāo)為（-3，）． 【解析】 試題分析：（1）將點(diǎn)A（2，0）和點(diǎn)B（-6，0）分別代入y=ax2+bx+6，得到關(guān)于a、b的二元一次方程組，解方程組求出a、b的值，進(jìn)而得到拋物線的解析式； （2）根據(jù)（1）的函數(shù)解析式得出拋物線的對(duì)稱軸為x=-2，再求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，由于C是拋物線與y軸的交點(diǎn)，因此C的坐標(biāo)為（0，6），根據(jù)M、C的坐標(biāo)求出CM的距離．然后分三種

21、情況進(jìn)行討論：①CP=PM；②CM=MP；③CM=CP； （3）由拋物線的對(duì)稱性可知QB=QA，故當(dāng)Q、C、A三點(diǎn)共線時(shí)，|QB-QC|最大，連結(jié)AC并延長(zhǎng)，交對(duì)稱軸于點(diǎn)Q，利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，再將x=-2代入，求出y的值，進(jìn)而得到Q點(diǎn)的坐標(biāo)； （4）由于四邊形BOCE不是規(guī)則的四邊形，因此可將四邊形BOCE分割成規(guī)則的圖形進(jìn)行計(jì)算，過E作EF⊥x軸于F，四邊形BOCE的面積=三角形BFE的面積+直角梯形FOCE的面積．直角梯形FOCE中，F(xiàn)O為E的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值，EF為E的縱坐標(biāo)，已知C的縱坐標(biāo)，就知道了OC的長(zhǎng)．在三角形BFE中，BF=BO-OF，因此可用E的橫坐標(biāo)表示

22、出BF的長(zhǎng)．如果根據(jù)拋物線設(shè)出E的坐標(biāo)，然后代入上面的線段中，即可得出關(guān)于四邊形BOCE的面積與E的橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求得四邊形BOCE的最大值及對(duì)應(yīng)的E的橫坐標(biāo)的值．即可求出此時(shí)E的坐標(biāo)． 試題解析：（1）由題知： ， 解得：， 故所求拋物線解析式為：y=-x2-2x+6； （2）∵拋物線解析式為：y=-x2-2x+6， ∴對(duì)稱軸為x=， 設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，t）， ∵當(dāng)x=0時(shí)，y=6， ∴C（0，6），M（-2，0）， ∴CM2=（-2-0）2+（0-6）2=40． ①當(dāng)CP=PM時(shí)，（-2）2+（t-6）2=t2，解得t=， ∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：

23、P1（-2，）； ②當(dāng)CM=PM時(shí)，40=t2，解得t=±2， ∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：P2（-2，2）或P3（-2，-2）； ③當(dāng)CM=CP時(shí)，由勾股定理得：40=（-2）2+（t-6）2，解得t=12， ∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：P4（-2，12）． 綜上所述，存在符合條件的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為P（-2，）或P（-2，2）或P（-2，-2）或P（-2，12）； （3）∵點(diǎn)A（2，0）和點(diǎn)B（-6，0）關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸x=-2對(duì)稱， ∴QB=QA， ∴|QB-QC|=|QA-QC|， 要使|QB-QC|最大，則連結(jié)AC并延長(zhǎng)，與直線x=-2相交于點(diǎn)Q，即點(diǎn)Q為直線AC與直線x=-2的交點(diǎn)， 設(shè)直線

24、AC的解析式為y=kx+m， ∵A（2，0），C（0，6）， ∴， 解得， ∴y=-3x+6， 當(dāng)x=-2時(shí)，y=-3×（-2）+6=12， 故當(dāng)Q在（-2，12）的位置時(shí)，|QB-QC|最大； （4）過點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，設(shè)E（n，-n2-2n+6）（-6＜n＜0）， 則EF=-n2-2n+6，BF=n+6，OF=-n， S四邊形BOCE=BF?EF+（OC+EF）?OF =（n+6）?（-n2-2n+6）+（6-n2-2n+6）?（-n） =-n2-9n+18=-（n+3）2+， 所以當(dāng)n=-3時(shí)，S四邊形BOCE最大，且最大值為 此時(shí)，點(diǎn)E坐標(biāo)為（-3，

25、）． 考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題． 5．（9分）（2014?云南）已知如圖平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形ABCO是頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（3，0）、B（3，4）、C（0，4）．點(diǎn)D在y軸上，且點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，﹣5），點(diǎn)P是直線AC上的一動(dòng)點(diǎn)． （1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段AC的中點(diǎn)時(shí)，求直線DP的解析式（關(guān)系式）； （2）當(dāng)點(diǎn)P沿直線AC移動(dòng)時(shí)，過點(diǎn)D、P的直線與x軸交于點(diǎn)M．問在x軸的正半軸上是否存在使△DOM與△ABC相似的點(diǎn)M？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由； （3）當(dāng)點(diǎn)P沿直線AC移動(dòng)時(shí)，以點(diǎn)P為圓心、R（R＞0）為半徑長(zhǎng)畫圓．得到的圓稱為動(dòng)圓P．若設(shè)動(dòng)圓P的半徑

26、長(zhǎng)為，過點(diǎn)D作動(dòng)圓P的兩條切線與動(dòng)圓P分別相切于點(diǎn)E、F．請(qǐng)?zhí)角笤趧?dòng)圓P中是否存在面積最小的四邊形DEPF？若存在，請(qǐng)求出最小面積S的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【答案】（1）y=x﹣5 （2）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0）或（，0） （3）四邊形DEPF面積的最小值為 【解析】 試題分析：（1）只需先求出AC中點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法即可求出直線DP的解析式． （2）由于△DOM與△ABC相似，對(duì)應(yīng)關(guān)系不確定，可分兩種情況進(jìn)行討論，利用三角形相似求出OM的長(zhǎng)，即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)． （3）易證S△PED=S△PFD．從而有S四邊形DEPF=2S△PED=DE．由∠DEP=90°得DE

27、2=DP2﹣PE2=DP2﹣．根據(jù)“點(diǎn)到直線之間，垂線段最短”可得：當(dāng)DP⊥AC時(shí)，DP最短，此時(shí)DE也最短，對(duì)應(yīng)的四邊形DEPF的面積最?。柚谌切蜗嗨?，即可求出DP⊥AC時(shí)DP的值，就可求出四邊形DEPF面積的最小值． 解：（1）過點(diǎn)P作PH∥OA，交OC于點(diǎn)H，如圖1所示． ∵PH∥OA， ∴△CHP∽△COA． ∴==． ∵點(diǎn)P是AC中點(diǎn)， ∴CP=CA． ∴HP=OA，CH=CO． ∵A（3，0）、C（0，4）， ∴OA=3，OC=4． ∴HP=，CH=2． ∴OH=2． ∵PH∥OA，∠COA=90°， ∴∠CHP=∠COA=90°． ∴點(diǎn)P的坐

28、標(biāo)為（，2）． 設(shè)直線DP的解析式為y=kx+b， ∵D（0，﹣5），P（，2）在直線DP上， ∴ ∴ ∴直線DP的解析式為y=x﹣5． （2）①若△DOM∽△ABC，圖2（1）所示， ∵△DOM∽△ABC， ∴=． ∵點(diǎn)B坐標(biāo)為（3，4），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0．﹣5）， ∴BC=3，AB=4，OD=5． ∴=． ∴OM=． ∵點(diǎn)M在x軸的正半軸上， ∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0） ②若△DOM∽△CBA，如圖2（2）所示， ∵△DOM∽△CBA， ∴=． ∵BC=3，AB=4，OD=5， ∴=． ∴OM=． ∵點(diǎn)M在x軸的正半軸上， ∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，

29、0）． 綜上所述：若△DOM與△CBA相似，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0）或（，0）． （3）∵OA=3，OC=4，∠AOC=90°， ∴AC=5． ∴PE=PF=AC=． ∵DE、DF都與⊙P相切， ∴DE=DF，∠DEP=∠DFP=90°． ∴S△PED=S△PFD． ∴S四邊形DEPF=2S△PED =2×PE?DE =PE?DE =DE． ∵∠DEP=90°， ∴DE2=DP2﹣PE2． =DP2﹣． 根據(jù)“點(diǎn)到直線之間，垂線段最短”可得： 當(dāng)DP⊥AC時(shí)，DP最短， 此時(shí)DE取到最小值，四邊形DEPF的面積最?。? ∵DP⊥AC， ∴∠DPC=90°． ∴∠AOC=∠DPC． ∵∠OCA=∠PCD，∠AOC=∠DPC， ∴△AOC∽△DPC． ∴=． ∵AO=3，AC=5，DC=4﹣（﹣5）=9， ∴=． ∴DP=． ∴DE2=DP2﹣ =（）2﹣ =． ∴DE=， ∴S四邊形DEPF=DE =． ∴四邊形DEPF面積的最小值為． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、用待定系數(shù)法求直線的解析式、切線長(zhǎng)定理、勾股定理、垂線段最短等知識(shí)，考查了分類討論的思想．將求DE的最小值轉(zhuǎn)化為求DP的最小值是解決第3小題的關(guān)鍵．另外，要注意“△DOM與△ABC相似”與“△DOM∽△ABC“之間的區(qū)別．