《江蘇省13市2015年中考數(shù)學(xué)試題分類解析匯編 專題10 三角形問(wèn)題》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《江蘇省13市2015年中考數(shù)學(xué)試題分類解析匯編 專題10 三角形問(wèn)題（41頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、專題10：三角形問(wèn)題 1. （2015年江蘇南京2分）如圖，在△ABC中，DE∥BC，，則下列結(jié)論中正確的是【 】 A. B. C. D. 【答案】C. 【考點(diǎn)】比例的計(jì)算；相似三角形的判定和性質(zhì). 【分析】∵，∴. ∵DE∥BC，∴. ∴. 故選C. 2. （2015年江蘇蘇州3分）如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC中點(diǎn)，∠BAD=35°，則∠C的度數(shù)為【 】 A．35° B．45° C．55° D．60° 【答案】C. 【考點(diǎn)】等腰三角形的

2、性質(zhì)；直角三角形兩銳角的關(guān)系. 【分析】∵在△ABC中，AB=AC，D為BC中點(diǎn)， ∴根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，得∠BAD=∠CAD，AD⊥BC. 又∵∠BAD=35°，∴∠CAD=35°. ∴根據(jù)直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，得∠C=55°. 故選C. 3. （2015年江蘇蘇州3分）如圖，在一筆直的海岸線l上有A、B兩個(gè)觀測(cè)站，AB=2km，從A測(cè)得船C在北偏東45°的方向，從B測(cè)得船C在北偏東22.5°的方向，則船C離海岸線l的距離（即CD的長(zhǎng)）為【 】 A．km B．km C．km D．km 【答案】B． 【考點(diǎn)】

3、解直角三角形的應(yīng)用（方向角問(wèn)題）；矩形的判定和性質(zhì)；等腰直角三角形的判定和性質(zhì). 【分析】如答圖，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC交AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥CD交CD于點(diǎn)F， 則根據(jù)題意，四邊形BDEF是矩形，△ABE、△EFC和△ADC都是等腰直角三角形， ∵AB=2，∴DF=BF= AB=2，. ∵∠EBC=∠BCE=22.5°，∴CE=BE=2. ∴. ∴（km）. ∴船C離海岸線l的距離為 km. 故選B． 4. （2015年江蘇泰州3分）如圖，△中，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，AC的垂直平分線分別交 AC、AD、AB于點(diǎn)E、O、F，則圖中全等的三角形的對(duì)數(shù)是【 】

4、A. 1對(duì) B. 2對(duì) C. 3對(duì) D. 4對(duì) 【答案】D. 【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；全等三角形的判定. 【分析】∵AB=AC，D是BC的中點(diǎn)， ∴根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，易得. ∵EF是AC的垂直平分線， ∴根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等的性質(zhì)，易得. 綜上所述，圖中全等的三角形的對(duì)數(shù)是4對(duì). 故選D. 5. （2015年江蘇無(wú)錫3分）的值為【 】 A. B. C. D. 【答案】B． 【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值． 【分析】根據(jù)45°

5、角這個(gè)特殊角的三角函數(shù)值，可得.故選B． 6. （2015年江蘇無(wú)錫3分）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90o，AC＝3，BC＝4，將邊AC沿CE翻折，使點(diǎn)A落在AB上的點(diǎn)D處；再將邊BC沿CF翻折，使點(diǎn)B落在CD的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)B′處，兩條折痕與斜邊AB分別交于點(diǎn)E、F，則線段B′F的長(zhǎng)為【 】 A. B. C. D. 【答案】B． 【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題）；折疊的性質(zhì)；等腰直角三角形的判定和性質(zhì)；勾股定理． 【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可知， ∴. ∵，∴. ∴是等腰直角三角形. ∴. ∴. ∴. ∵，∴. 在中，根據(jù)

6、勾股定理，得AB=5，∴.∴. 在中，根據(jù)勾股定理，得，∴. ∴. 在中，根據(jù)勾股定理，得. 故選B． 7. （2015年江蘇徐州3分）如圖，菱形中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，E為AD邊中點(diǎn)，菱形ABCD的周長(zhǎng)為28，則OE的長(zhǎng)等于【 】 A. B. C. D. 【答案】A. 【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；直角三角形斜邊上中線的性質(zhì). 【分析】∵四邊形ABCD是菱形，且周長(zhǎng)為28，∴. ∵E為AD邊中點(diǎn)，∴根據(jù)直角三角形斜邊上中線等于斜邊 一半的性質(zhì)，得. 故選A. 8. （2015年江蘇鹽城3分）將一塊等腰直角三角板與一把

7、直尺如圖放置，若∠1=60°，則∠2的度數(shù)為【 】 A. 85° B. 75° C. 60° D. 45° 【答案】B. 【考點(diǎn)】等腰直角三角形的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；平行的性質(zhì). 【分析】如答圖， ∵是等腰直角三角形，∴. ∵在中，∠1=60°，∴. ∵∥，∴. 故選B. 9. （2015年江蘇鹽城3分）若一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是2和5，則它的周長(zhǎng)為【 】 A. 12 B. 9 C. 12或9 D. 9或7 【答案】A. 【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；三角形構(gòu)成條件；分類思想的

8、應(yīng)用. 【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，如果等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為2和5，則另一邊可能是2或5. 但根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊的三邊關(guān)系，2，2，5不構(gòu)成三角形 因此這個(gè)等腰三角形的三邊只能是2，5，5，周長(zhǎng)為12. 故選A. 10. （2015年江蘇揚(yáng)州3分）如圖，若銳角△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)D在⊙O外（與點(diǎn)C在AB同側(cè)）， 則下列三個(gè)結(jié)論：①；②；③中，正確的結(jié)論為【 】 A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①③ 【答案】D. 【考點(diǎn)】圓周角定理；三角形外角性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的性質(zhì). 【分析】

9、如答圖，設(shè)與⊙O相交于點(diǎn)，連接. ∵，∴. ∵正弦、正切函數(shù)值隨銳角的增大而增大，余弦函數(shù)值隨銳角的增大而減小， ∴， ， . ∴正確的結(jié)論為①③. 故選D. 11. （2015年江蘇淮安3分）下列四組線段組成直角三角形的是【 】 A. B. C. D. 【答案】D. 【考點(diǎn)】勾股定理逆定理. 【分析】根據(jù)勾股定理逆定理，因?yàn)?，所以能組成直角三角形的是.故選D. 12. （2015年江蘇南通3分）下列長(zhǎng)度的三條線段能組成三角形的是【 】 A. 5，6，10 B. 5，6，11 C. 3，4，8 D.

10、4a，4a，8a（a＞0） 【答案】A． 【考點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系． 【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可: A、∵10﹣5＜6＜10+5，∴三條線段能構(gòu)成三角形，故本選項(xiàng)正確； B、∵11﹣5=6，∴三條線段不能構(gòu)成三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； C、∵3+4=7＜8，∴三條線段不能構(gòu)成三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； D、∵4a+4a=8a，∴三條線段不能構(gòu)成三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤． 故選A． 13. （2015年江蘇南通3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線OA過(guò)點(diǎn)（2，1），則tanα的值是【 】 A. B. C. D.

11、 【答案】C． 【考點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；銳角三角函數(shù)定義. 【分析】如答圖，設(shè)（2，1）點(diǎn)是B，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C． 則OC=2，BC=1， ∴． 故選C． 14. （2015年江蘇宿遷3分）若等腰三角形中有兩邊長(zhǎng)分別為2和5，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為【 】 A. 9 B. 12 C. 7或9 D. 9或12 【答案】B． 【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系；分類思想的應(yīng)用．. 【分析】當(dāng)腰為5時(shí)，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知此情況成立，周長(zhǎng)=5+5+2=12； 當(dāng)腰長(zhǎng)為2時(shí)，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知此情況不成立. 所以這個(gè)三

12、角形的周長(zhǎng)是12． 故選B． 1. （2015年江蘇連云港3分）在△ABC中，AB=4，AC=3，AD是△ABC的角平分線，則△ABD與△ACD的面積之比是 ▲ ． 【答案】. 【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；等高三角形的面積. 【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)D分別作AB、AC的高線DE、DF， ∵AD是△ABC的角平分線，∴DE=DF． ∵AB=4，AC=3，∴. 2. （2015年江蘇連云港3分）如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=90°，直線l1∥l2∥l3，l1與l2之間距離是1，l2與l3之間距離是2，且l1，l2，l3分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，C，則邊AC的長(zhǎng)為

13、 ▲ ． 【答案】. 【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；銳角三角函數(shù)定義；特殊角的三角函數(shù)值；相似三角形的判定和性質(zhì)；勾股定理． 【分析】如答圖，過(guò)點(diǎn)B作EF⊥l2，交l1于E，交l3于F， ∵∠BAC=60°，∠ABC=90°，∴． ∵直線l1∥l2∥l3，∴EF⊥l1，EF⊥l3. ∴∠AEB=∠BFC=90°． ∵∠ABC=90°，∴∠EAB=90°﹣∠ABE=∠FBC. ∴△BFC∽△AEB，∴． ∵EB=1，∴FC=． 在Rt△BFC中，． 在Rt△ABC中， ． 3. （2015年江蘇蘇州3分）如圖，在△ABC中，CD是高，CE是中線，CE=CB，點(diǎn)A、D

14、關(guān)于點(diǎn)F對(duì)稱，過(guò)點(diǎn)F作FG∥CD，交AC邊于點(diǎn)G，連接GE．若AC=18，BC=12，則△CEG的周長(zhǎng)為 ▲ ． 【答案】27. 【考點(diǎn)】點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；三角形中位線的性質(zhì). 【分析】∵CE=CB，BC=12，∴CE=CB=12. ∵點(diǎn)E是AB 的中點(diǎn)，∴EG 是△ABC 的中位線. ∴. 又∵點(diǎn)A、D關(guān)于點(diǎn)F對(duì)稱，F(xiàn)G∥CD，∴FG 是△ADC的中位線. ∵AC=18，∴. ∴△CEG 的周長(zhǎng)為：CE+GE+CG=12+6+9=27. 4. （2015年江蘇泰州3分）如圖，△中，D為BC 上一點(diǎn)，∠BAD=∠C，AB=6，BD=4，則CD的長(zhǎng)為

15、 ▲ ． 【答案】5. 【考點(diǎn)】相似三角形的判定和性質(zhì). 【分析】∵∠BAD=∠C，∠B=∠B，∴.∴. ∵AB=6，BD=4，∴，解得. 5. （2015年江蘇泰州3分）如圖， 矩形中，AB=8，BC=6，P為AD上一點(diǎn)，將△ABP 沿BP翻折至△EBP， PE與CD相交于點(diǎn)O，且OE=OD，則AP的長(zhǎng)為 ▲ ． 【答案】. 【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題）；矩形的性質(zhì)；折疊對(duì)稱的性質(zhì)；勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)；方程思想的應(yīng)用. 【分析】如答圖，∵四邊形是矩形， ∴. 根據(jù)折疊對(duì)稱的性質(zhì)，得， ∴. 在和中，∵， ∴≌.∴.

16、 ∴. 設(shè)，則，∴. 在中，根據(jù)勾股定理，得，即.解得. ∴AP的長(zhǎng)為. 6. （2015年江蘇無(wú)錫2分）命題“全等三角形的面積相等”的逆命題是 ▲ 命題．（填“真”或“假”） 【答案】假. 【考點(diǎn)】命題與定理；逆命題；真假的判定． 【分析】把一個(gè)命題的條件和結(jié)論互換就得到它的逆命題；分析是否為真命題，需要分別分析題設(shè)是否能推出結(jié)論，如果能就是真命題．因此， “全等三角形的面積相等”的逆命題是“面積相等的三角形是全等三角形”，根據(jù)全等三角形的定義，不符合要求，因此是假命題． 7. （2015年江蘇無(wú)錫2分）已知：如圖，AD、BE分別是△ABC的中線和角平分線，A

17、D⊥BE，AD＝BE＝6，則AC的長(zhǎng)等于 ▲ ． 【答案】. 【考點(diǎn)】三角形中位線定理；勾股定理；全等三角形的判定和性質(zhì)；相似三角形的判定和性質(zhì)；平行四邊形的判定和性質(zhì)． 【分析】如答圖所示，延長(zhǎng)AD至F，使DF=AD，過(guò)點(diǎn)F作FG∥BE與AC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)C作CH∥BE，交AF于點(diǎn)H，連接BF， 在中，， 根據(jù)勾股定理得：， 在和中，∵， ∴. ∴. ∴AG∥BF. ∴四邊形EBFG是平行四邊形. ∴. 在和中，∵， ∴.∴. ∵CH∥FG，∴.∴，即，解得：. 8. （2015年江蘇徐州3分）如圖，在△ABC中，∠C=31°，∠ABC的平分

18、線BD交AC于點(diǎn)D，如果DE垂直平分BC，那么∠A= ▲ °． 【答案】87. 【考點(diǎn)】線段垂直平分的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理. 【分析】∵DE垂直平分BC，∴. ∵∠C=31°，∴. ∵∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，∴. ∴. 9. （2015年江蘇鹽城3分）如圖，在△ABC與△ADC中，已知AD=AB，在不添加任何輔助線的前提下，要使△ABC≌△ADC，只需要再添加的一個(gè)條件可以是 ▲ ． 【答案】或（答案不唯一）. 【考點(diǎn)】開放型；全等三角形的判定. 【分析】在△ABC與△ADC中，已知AD=AB，又有公共邊AC

19、=AC，因此，在不添加任何輔助線的前提下， 根據(jù)SAS，添加，可使△ABC≌△ADC； 根據(jù)SSS，添加，可使△ABC≌△ADC. 答案不唯一. 10. （2015年江蘇鹽城3分）如圖，點(diǎn)D、E、F分別是△ABC各邊的中點(diǎn)，連接DE、EF、DF，若△ABC的周長(zhǎng)為10，則△DEF的周長(zhǎng)為 ▲ ． 【答案】5. 【考點(diǎn)】三角形中位線定理. 【分析】∵點(diǎn)D、E、F分別是△ABC各邊的中點(diǎn)，∴. ∵△ABC的周長(zhǎng)為10，∴△DEF的周長(zhǎng)為5. 11. （2015年江蘇鹽城3分）設(shè)△ABC的面積為1，如圖①將邊BC、AC分別2等份，、相交于點(diǎn)O，△AOB的面積記為；

20、如圖②將邊BC、AC分別3等份，、相交于點(diǎn)O，△AOB的面積記為；……， 依此類推，則可表示為 ▲ ．(用含的代數(shù)式表示，其中為正整數(shù)) 【答案】. 【考點(diǎn)】探索規(guī)律題（圖形的變化類）；平行的判定和性質(zhì)；相似三角形的判定和性質(zhì)；等底或等高三角形面積的性質(zhì). 【分析】如答圖，連接，可知∥. 在圖①中，由題意，得，且，∴. ∴和的邊上高的比是.∴. 又∵，∴. 在圖②中，由題意，得，且，∴. ∴和的邊上高的比是.∴. 又∵，∴. 在圖③中，由題意，得，且，∴. ∴和的邊上高的比是.∴. 又∵，∴. …… 依此類推， 可表示為， ∵，∴. 12.

21、（2015年江蘇揚(yáng)州3分）如圖，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=6，BC=4，將△ABC繞直角頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DEC，若點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，連接AF，則AF= ▲ ． 【答案】5. 【考點(diǎn)】面動(dòng)旋轉(zhuǎn)問(wèn)題；直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；三角形中位線定理；勾股定理. 【分析】如答圖，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)， ∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)， ∴.∴是等腰三角形. ∵將△ABC繞直角頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DEC，BC=4，AC=6， ∴. ∵，∴.∴ 又∵分別是的中點(diǎn)，∴是△DEC的中位線.∴. 在Rt

22、△AGF中，∵，，∴由勾股定理，得AF=5. 13. （2015年江蘇揚(yáng)州3分）如圖，已知△ABC的三邊長(zhǎng)為，且，若平行于三角形一邊的直線將△ABC的周長(zhǎng)分成相等的兩部分，設(shè)圖中的小三角形①、②、③的面積分別為，則的大小關(guān)系是 ▲ （用“<”號(hào)連接）. 【答案】. 【考點(diǎn)】閱讀理解型問(wèn)題；代數(shù)幾何綜合問(wèn)題；圖形的分割；平行的性質(zhì)；相似三角形的判定和性質(zhì)；不等式的性質(zhì). 【分析】設(shè)△ABC的周長(zhǎng)為，面積為， 如答圖，設(shè)，則. ∵平行于三角形一邊的直線將△ABC的周長(zhǎng)分成相等的兩部分， ∴，即. ∴. ∵∥，∴.∴且. ∴. 同理可得，，. ∵，∴. ∴

23、. 14. （2015年江蘇常州2分）如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB=1：2，DE=2，則BC的長(zhǎng)是 ▲ ． 【答案】6． 【考點(diǎn)】相似三角形的判定和性質(zhì)．. 【分析】∵DE∥BC，∴.∴. ∵AD：DB=1：2，DE=2，∴. 15. （2015年江蘇常州2分）如圖是根據(jù)某公園的平面示意圖建立的平面直角坐標(biāo)系，公園的入口位于坐標(biāo)原點(diǎn)O，古塔位于點(diǎn)A（400，300），從古塔出發(fā)沿射線OA方向前行300m是盆景園B，從盆景園B向左轉(zhuǎn)90°后直行400m到達(dá)梅花閣C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是 ▲ ． 【答案】（400，800）． 【考點(diǎn)】全等三角

24、形的判定和性質(zhì)；勾股定理的應(yīng)用；坐標(biāo)確定位置． 【分析】如答圖，連接AC， ∵A（400，300），∴OD=400m，AD=300m. 由題意可得：AB=300m，BC=400m， 在△AOD和△ACB中，∵， ∴△AOD≌△ACB（SAS）.∴∠CAB=∠OAD. ∵B、O在一條直線上，∴C、A、D也在一條直線上. ∴AC=AO=500m， CD=AC=AD=800m. ∴C點(diǎn)坐標(biāo)為：（400，800）． 16. （2015年江蘇淮安3分）如圖，A、B兩地被一座小山阻隔，為了測(cè)量A、B兩地之間的距離，在地面上選一點(diǎn)C，連接CA、CB，分別取CA、CB的中點(diǎn)D、E，測(cè)得DE的

25、長(zhǎng)度為360米，則A、B兩地之間的距離是 ▲ 米． 【答案】720. 【考點(diǎn)】三角形中位線定理． 【分析】根據(jù)三角形中位線求出AB=2DE，代入求出即可： ∵D、E分別是AC、BC的中點(diǎn)，DE=360米， ∴AB=2DE=720米. 17. （2015年江蘇南通3分）如圖，△ABC中，D是BC上一點(diǎn)，AC=AD=DB，∠BAC=102°，則∠ADC= ▲ 度． 【答案】52． 【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)。三角形內(nèi)角和外角性質(zhì)． 【分析】∵AC=AD=DB，∴∠B=∠BAD，∠ADC=∠C. 設(shè)∠ADC=α，∴∠B=∠BAD=. ∵∠BAC

26、=102°，∴∠DAC=102°﹣. 在△ADC中，∵∠ADC+∠C+∠DAC=180°， ∴，解得：α=52°，即∠ADC=52°. 18. （2015年江蘇南通3分）如圖，矩形ABCD中，F(xiàn)是DC上一點(diǎn)，BF⊥AC，垂足為E，，△CEF的面積為S1，△AEB的面積為S2，則的值等于 ▲ ． 【答案】. 【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定和性質(zhì)． 【分析】∵，∴設(shè)AD=BC=a，則AB=CD=2a. ∴. ∵BF⊥AC，∴△CBE∽△CAB，△AEB∽△ABC. ∴. ∴.∴.∴. ∵△CEF∽△AEB，∴. 19. （2015年江蘇宿遷3分）

27、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為AB，AC，BC的中點(diǎn)．若CD=5，則EF的長(zhǎng)為 ▲ ． 【答案】5． 【考點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)；三角形中位線定理． 【分析】∵△ABC是直角三角形，CD是斜邊的中線，CD=5， ∴CD=AB，即AB=2CD=10. 又∵EF是△ABC的中位線， ∴EF=AB=×10=5． 20. （2015年江蘇鎮(zhèn)江2分）如圖，將等邊△OAB繞O點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)150°，得到△OA′B′（點(diǎn)A′，B′分別是點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），則∠1= ▲ °． 【答案】150． 【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等邊

28、三角形的性質(zhì)． 【分析】∵等邊△OAB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了150°，得到△OA′B′，∴∠AOA′=150°， ∵∠A′OB′=60°，∴∠1=360°﹣∠AOA′﹣∠A′OB′=360°﹣150°﹣60°=150°. 21. （2015年江蘇鎮(zhèn)江2分）如圖，中，E為AD的中點(diǎn)，BE，CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，若△DEF的面積為1，則的面積等于 ▲ ． 【答案】4． 【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；全等、相似三角形的判定和性質(zhì)． 【分析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD=BC. ∵AB∥CD，∴∠A=∠EDF. 又∵AE=DE，∠AEB=∠D

29、EF，∴△ABE≌△DFE（SAS）. ∴FD=AB=DC，. ∵AD∥BC，∴△FBC∽△FED. ∴. ∵， ∴. 22. （2015年江蘇鎮(zhèn)江2分）如圖，△ABC和△DBC是兩個(gè)具有公共邊的全等三角形，AB=AC=3cm，BC=2cm，將△DBC沿射線BC平移一定的距離得到△D1B1C1，連接AC1，BD1．如果四邊形ABD1C1是矩形，那么平移的距離為 ▲ cm． 【答案】7． 【考點(diǎn)】面動(dòng)平移問(wèn)題；相似三角形的判定和性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；平移的性質(zhì)． 【分析】如答圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E， ∵∠AEB=∠AEC1=90°，∴∠BAE+

30、∠ABC=90°. ∵AB=AC，BC=2，∴BE=CE=BC=1， ∵四邊形ABD1C1是矩形，∴∠BAC1=90°. ∴∠ABC+∠AC1B=90°. ∴∠BAE=∠AC1B. ∴△ABE∽△C1BA. ∴. ∵AB=3，BE=1，∴.∴BC1=9. ∴CC1=BC1﹣BC=9﹣2=7，即平移的距離為7． 1. （2015年江蘇連云港10分）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=3，D為AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AC=3CD，過(guò)點(diǎn)D作DH∥AB，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H． （1）求的值； （2）若∠CBD=∠A，求AB的長(zhǎng)． 【答案】解：（1）∵DH∥AB，∴∠BHD

31、=∠ABC=90°. ∴△ABC∽△DHC. ∴. ∵BC=3，AC=3CD，∴. ∴CH=1，BH=BC+CH=4. 在Rt△BHD中，. （2）∵DH∥AB，∴∠BHD=∠ABC=90°. 又∵∠CBD=∠A，∴△ABC∽△BHD. ∴. ∵△ABC∽△DHC，∴.∴AB=3DH， ∴，解得DH=2. ∴AB=3DH=3×2=6，即AB的長(zhǎng)是6． 【考點(diǎn)】相似三角形的判定和性質(zhì)；銳角三角函數(shù)定義． 【分析】（1）根據(jù)DH∥AB，判定△ABC∽△DHC，得到=3，求出BH的值，在Rt△BHD中，根據(jù)余弦函數(shù)定義求出． （2）根據(jù)△ABC∽△BHD，推得；根據(jù)△ABC∽

32、△DHC，推得，所以AB=3DH；從而由求出DH的值，進(jìn)而求出AB的值． 2. （2015年江蘇南京8分）如圖，△ABC中，CD是邊AB上的高，且． （1）求證△ACD∽△CBD； （2）求∠ACB的大?。? 【答案】解：（1）證明：∵CD是邊AB上的高，∴∠ADC=∠CDB=90°. 又∵，∴△ACD∽△CBD. （2）∵△ACD∽△CBD，∴∠A=∠BCD. 在△ACD中，∵∠ADC=90°，∴∠A+∠ACD=90°. ∴∠BCD+∠ACD=90°，即 ∠ACB=90°. 【考點(diǎn)】相似三角形的判定和性質(zhì)；直角三角形兩銳角的關(guān)系. 【分析】（1）根據(jù)“兩個(gè)三角形的兩組對(duì)

33、應(yīng)邊成比例，并且對(duì)應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似”作出判定. （2）根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，結(jié)合直角三角形兩銳角的關(guān)系即可求解. 3. （2015年江蘇南京8分）如圖，輪船甲位于碼頭O的正西方向A處，輪船乙位于碼頭O的正北方向C處，測(cè)得∠CAO=45°．輪船甲自西向東勻速行駛，同時(shí)輪船乙沿正北方向勻速行駛，它們的速度分別為45km/h和36km/h．經(jīng)過(guò)0.1h，輪船甲行駛至B處，輪船乙行駛至D處，測(cè)得∠DBO=58°，此時(shí)B處距離碼頭O有多遠(yuǎn)？ （參考數(shù)據(jù)：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60） 【答案】解：設(shè)B處距離碼頭Oxkm，

34、 在Rt△CAO中，∵∠CAO=45°，， ∴． 在Rt△DBO中，∵∠DBO=58°，， ∴． ∵，∴ ． ∴． 答：B處距離碼頭O大約13.5km． 【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用（方向角問(wèn)題）；銳角三角函數(shù)定義；特殊角的三角函數(shù)值；方程思想的應(yīng)用． 【分析】設(shè)B處距離碼頭Oxkm，分別在Rt△CAO和Rt△DBO中，應(yīng)用銳角三角函數(shù)定義，用x表示出和的長(zhǎng)，根據(jù)列方程求解即可． 4. （2015年江蘇南京10分）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，請(qǐng)畫出以A為一個(gè)頂點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在正方形ABCD的邊上，且含邊長(zhǎng)為3的所有大小不同的等腰三角形．（要求：只要畫出示意圖，并在所

35、畫等腰三角形長(zhǎng)為3的邊上標(biāo)注數(shù)字3） 【答案】解：滿足條件的所有等腰三角形如答圖所示： 【考點(diǎn)】作圖（應(yīng)用和設(shè)計(jì)作圖）；等腰三角形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；分類思想的應(yīng)用． 【分析】分是頂角，腰長(zhǎng)是3；是頂角，底邊長(zhǎng)是3（底角在上）；是頂角，底邊長(zhǎng)是3（底角在上）；是底角，腰長(zhǎng)是3；是底角，底邊是3五種情況． 5. （2015年江蘇蘇州8分）如圖，在△ABC中，AB=AC．分別以B、C為圓心，BC長(zhǎng)為半徑在BC下方畫弧，設(shè)兩弧交于點(diǎn)D，與AB、AC的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)E、F，連接AD、BD、CD． （1）求證：AD平分∠BAC； （2）若BC=6，∠BAC＝50°，求的長(zhǎng)度之和（

36、結(jié)果保留）． 【答案】解：（1）證明：由作圖可知，BD=CD. 在△ABD和△ACD中，∵， ∴△ABD≌△ACD（SSS）. ∴∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC. （2）∵AB=AC，∠BAC＝50°，∴∠ABC=∠ACB=65°. 又∵BD=CD=BC，∴△BDC是等邊三角形. ∴∠DBC=∠DCB=60°. ∴∠DBE=∠DCF=55°. 又∵BC=6，∴BD= CD=6， ∴的長(zhǎng)度之和. 【考點(diǎn)】全等三角形的判定和性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的判定和性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；弧長(zhǎng)的計(jì)算. 【分析】（1）由SSS證明△ABD≌△ACD即可證得結(jié)論.

37、（2）求出∠DBE和∠DCF即可應(yīng)用應(yīng)用弧長(zhǎng)公式求解. 6. （2015年江蘇泰州10分）如圖，某倉(cāng)儲(chǔ)中心有一斜坡AB，其坡度為，頂部A處的高AC為4m，B、C在同一水平地面上。 （1）求斜坡AB的水平寬度BC； （2）矩形DEFG為長(zhǎng)方形貨柜的側(cè)面圖，其中DE=2.5m，EF=2m.將該貨柜沿斜坡向上運(yùn)送，當(dāng)BF=3.5m時(shí)，求點(diǎn)D離地面的高. （，結(jié)果精確到0.1m） 【答案】解：（1）∵，∴. ∵，∴.∴斜坡AB的水平寬度為8m. （2）如答圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)， ∵，∴. 又∵，∴.∴. ∵，∴. 又∵，，∴，解得. 又∵，∴. 在中，由勾股定理，得

38、， 易得，∴，即，解得. ∴點(diǎn)D離地面的高為4.5 m. 【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用（坡度坡角問(wèn)題）；相似三角形的判定和性質(zhì)；勾股定理. 【分析】（1）根據(jù)坡度的定義列式求解即可. （2）作輔助線“延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)”構(gòu)造兩對(duì)相似三角形和，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解即可. 7. （2015年江蘇無(wú)錫8分）已知：如圖，AB∥CD，E是AB的中點(diǎn)，CE＝DE．求證： （1）∠AEC＝∠BED； （2）AC＝BD． 【答案】證明：（1）∵AB∥CD，∴∠AEC=∠ECD，∠BED=∠EDC. ∵CE=DE，∴∠ECD=∠EDC. ∴∠AEC=∠BED. （2）∵E是AB的

39、中點(diǎn)，∴AE=BE. 在△AEC和△BED中，∵， ∴△AEC≌△BED（SAS）. ∴AC=BD． 【考點(diǎn)】平行的性質(zhì)；全等三角形的判定和性質(zhì)． 【分析】（1）根據(jù)CE=DE得出∠ECD=∠EDC，再利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行證明即可. （2）根據(jù)SAS證明△AEC與△BED全等，再利用全等三角形的性質(zhì)證明即可． 8. （2015年江蘇無(wú)錫10分）如圖，C為∠AOB的邊OA上一點(diǎn)，OC＝6，N為邊OB上異于點(diǎn)O的一動(dòng)點(diǎn)，P是線段05上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作PQ∥OA交OB于點(diǎn)Q，PM∥OB交OA于點(diǎn)M． （1）若∠AOB=60o，OM=4，OQ=1，求證：05⊥OB； （2）當(dāng)點(diǎn)N在邊

40、OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形OMPQ始終保持為菱形； ①問(wèn)：的值是否發(fā)生變化？如果變化，求出其取值范圍；如果不變，請(qǐng)說(shuō)明理由； ②設(shè)菱形OMPQ的面積為S1，△NOC的面積為S2，求的取值范圍． 【答案】解：（1）證明：如答圖，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OA于點(diǎn)E， ∵PQ∥OA，PM∥OB， ∴四邊形OMPQ為平行四邊形. ∵OQ=1，∠AOB=60°， ∴PM=OQ=1，∠PME=∠AOB=60°. ∴. ∴. ∴. ∴∠PCE=30°. ∴∠CPM=90°， 又∵PM∥OB，∴∠05O=∠CPM=90°，即05⊥OB. （2）①的值不發(fā)生變化，理由如下： 設(shè)， ∵四邊形OMP

41、Q為菱形，∴. ∵PQ∥OA，∴∠NQP=∠O. 又∵∠QNP=∠ONC，∴△NQP∽△NOC. ∴，即， 化簡(jiǎn),得. ∴不變化. ②如答圖,過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OA于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)N作NF⊥OA于點(diǎn)F，設(shè)， 則,∴． ∵PM∥OB，∴∠MCP=∠O. 又∵∠PCM=∠NCO，∴△CPM∽△05O. ∴. ∴ ∵0＜x＜6，∴根據(jù)二次函數(shù)的圖象可知， ． 【考點(diǎn)】相似形綜合題；單動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題；定值問(wèn)題；銳角三角函數(shù)定義；特殊角的三角函數(shù)值；相似三角形的判定和性質(zhì)；二次函數(shù)的性質(zhì)；平行四邊形的判定和性質(zhì)；菱形的性質(zhì). 【分析】（1）作輔助性線，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OA于E，利用兩組對(duì)邊平行的

42、四邊形為平行四邊形得到OMPQ為平行四邊形，利用平行四邊形的對(duì)邊相等，對(duì)角相等得到PM=OQ=1，∠PME=∠AOB=60°，進(jìn)而求出PE與ME的長(zhǎng)，得到CE的長(zhǎng)，求出tan∠PCE的值，利用特殊角的三角函數(shù)值求出∠PCE的度數(shù)，得到PM于NC垂直，而PM與ON平行，即可得到05與OB垂直. （2）①的值不發(fā)生變化，理由如下：設(shè)OM=x，ON=y，根據(jù)OMPQ為菱形，得到PM=PQ=OQ=x，QN=y﹣x，根據(jù)平行得到△NQP與△NOC相似，由相似得比例即可確定出所求式子的值. ②作輔助性線，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OA于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)N作NF⊥OA于點(diǎn)F，表示出菱形OMPQ的面積為S1，△NOC的面

43、積為S2，得到，由PM與OB平行，得到△CPM與△05O相似，由相似得比例求出所求式子的范圍即可． 9. （2015年江蘇徐州8分）如圖，點(diǎn)A，B，C，D在同一條直線上，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AD的兩側(cè)，且AE=DF，∠A=∠D，AB=DC． （1）求證：四邊形DFCE是平行四邊形； （2）若AD=10，EC=3，∠EBD=60°，則AB= ▲ 時(shí)，四邊形BFCE是菱形． 【答案】解：（1）∵AE=DF，∠A=∠D，AB=DC，∴. ∴. ∴.∴. ∴四邊形DFCE是平行四邊形. （2）3.5. 【考點(diǎn)】全等三角形的判定和性質(zhì)；平行的判定；平行四邊形的判定；菱

44、形的性質(zhì)；等邊三角形的判定和性質(zhì). 【分析】（1）由已知，根據(jù)證明，從而得到，根據(jù)等角的補(bǔ)角相等得到，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行的判定得到，進(jìn)而根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等垢四邊形是平行四邊形的判定而得證. （2）若四邊形BFCE是菱形，則， ∵∠EBD=60°，∴是等邊三角形. ∵EC=3，∴. ∵AD=10，AB=DC，∴. 10. （2015年江蘇徐州8分）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，將含30°的三角尺的直角頂點(diǎn)C落在第二象限. 其斜邊兩端點(diǎn)A、B分別落在x軸、y軸上，且AB=12cm （1）若OB=6cm． ①求點(diǎn)C的坐標(biāo)； ②若點(diǎn)A向右滑動(dòng)的距離與點(diǎn)B向上滑動(dòng)的距離相等，求滑動(dòng)

45、的距離； （2）點(diǎn)C與點(diǎn)O的距離的最大值= ▲ cm. 【答案】解：（1）①如答圖1，過(guò)點(diǎn)C作y軸的垂線，垂足為D， 在Rt△ABC中，AB=12，∠BAC=30°，∴BC=6. 在Rt△AOB中，AB=12， OB=6， ∴∠BAO=30°，∠ABO=60°. 又∵∠CBA=60°，∴∠CBD=60°，∠BCD=30°. ∴BD=3，CD=．∴OD=9. ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為. ②如答圖2，設(shè)點(diǎn)A向右滑動(dòng)的距離， 根據(jù)題意得點(diǎn)B向動(dòng)的距離. ∵在Rt△AOB中，AB=12， OB=6，∴. ∴. 在△A'O B'中，由勾股定理得，， 解得，（舍去）.

46、∴滑動(dòng)的距離為． （2）12． 【考點(diǎn)】面動(dòng)問(wèn)題；含30度角直角三角形的性質(zhì)；勾股定理；點(diǎn)的坐標(biāo)；二次函數(shù)最值的應(yīng)用；方程思想的應(yīng)用. 【分析】（1）①作輔助線“過(guò)點(diǎn)C作y軸的垂線，垂足為D”，應(yīng)用含30度角直角三角形的性質(zhì)求出CD和BD的長(zhǎng)，即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo). ②設(shè)點(diǎn)A向右滑動(dòng)的距離，用表示出和的長(zhǎng)，在△A'O B'中，應(yīng)用勾股定理列方程求解即可. （2）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為， 如答圖3，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸，CD⊥y軸， 垂足分別為E，D，則OE=－x，OD=y. ∵∠ACE＋∠BCE=90°，∠DCB＋∠BCE=90°， ∴∠ACE=∠DCB. 又∵∠AEC=∠BDC=90°

47、，∴△ACE ∽△BCD. ∴，即. ∴. ∴. ∴當(dāng)取最大值，即點(diǎn)C到y(tǒng)軸距離最大時(shí)，有最大值，即OC取最大值，如圖，即當(dāng)轉(zhuǎn)到與y軸垂時(shí). 此時(shí)OC=12． 11. （2015年江蘇鹽城10分）如圖，在△ABC中，∠CAB=90°，∠CBA=50°，以AB為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E在邊AC上，且滿足ED=EA. （1）求∠DOA的度數(shù)； （2）求證：直線ED與⊙O相切. 【答案】解：（1）∵∠CBA和∠DOA是同圓中同弧所對(duì)的圓周角和圓心角，且∠CBA=50°， ∴∠DOA=2∠CBA=100°. （2）如答圖，連接， 在和中，∵. ∴≌. ∴. ∴直

48、線ED與⊙O相切. 【考點(diǎn)】圓周角定理；全等三角形的判定和性質(zhì)；切線的判定. 【分析】（1）根據(jù)同圓中同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半直接求解. （2）作輔助線“連接”構(gòu)造全等三角形，由證明≌，從而得到，進(jìn)而作出直線ED與⊙O相切的判定. 12. （2015年江蘇鹽城10分）如圖所示，一幢樓房AB背后有一臺(tái)階CD，臺(tái)階每層高米，且AC=米，設(shè)太陽(yáng)光線與水平地面的夾角為.當(dāng)時(shí)，測(cè)得樓房在地面上的影長(zhǎng)AE=米，現(xiàn)有一只小貓睡在臺(tái)階的MN這層上曬太陽(yáng).（?。? （1）求樓房的高度約為多少米？ （2）過(guò)了一會(huì)兒，當(dāng)時(shí)，問(wèn)小貓能否還曬到太陽(yáng)？請(qǐng)說(shuō)明理由. 【答案】解：（1）當(dāng)時(shí)，∵AE=米

49、，∴（米）. ∴樓房的高度約為17.3米. （2）當(dāng)時(shí)，小貓還能曬到太陽(yáng).理由如下： 如答圖，假設(shè)臺(tái)階是透明的，當(dāng)時(shí)，從點(diǎn)B射出的光線與地面AD的交點(diǎn)為點(diǎn)F，與MC的交點(diǎn)為點(diǎn)H， ∵，∴是等腰直角三角形. ∴. ∴. ∵是等腰直角三角形，∴. ∵，∴大樓的影子落在臺(tái)階這個(gè)側(cè)面上。 ∴小貓還能曬到太陽(yáng). 【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用；銳角三角函數(shù)定義；特殊角的三角函數(shù)值；等腰直角三角形的判定和性質(zhì). 【分析】（1）直接根據(jù)正切函數(shù)的定義和60°的三角函數(shù)值求出樓房的高度. （2）假設(shè)臺(tái)階是透明的，當(dāng)時(shí)，從點(diǎn)B射出的光線與地面AD的交點(diǎn)為點(diǎn)F，與MC的交點(diǎn)為點(diǎn)H，求出的長(zhǎng)與比

50、較即可得出結(jié)論. 13. （2015年江蘇揚(yáng)州10分）如圖，將沿過(guò)點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)D落到AB邊上的點(diǎn)處，折痕交CD邊于點(diǎn)E，連接BE. （1）求證：四邊形是平行四邊形； （2）若BE平分∠ABC，求證：. 【答案】證明：（1）如答圖， ∵將沿過(guò)點(diǎn)A的直線折疊， ∴. ∵四邊形是平行四邊形， ∴∥. ∴. ∴. ∴.∴. ∵，∴.∴. ∴. ∴四邊形是平行四邊形. （2）如答圖， ∵BE平分∠ABC，∴. ∵四邊形是平行四邊形，∴∥. ∴.∴. 由（1），∴，即. ∴在中，由勾股定理，得. 【考點(diǎn)】折疊問(wèn)題；折疊對(duì)稱的性質(zhì)；平行四邊形的判定和性質(zhì)；平行的

51、性質(zhì)；等腰三角形的判定；三角形內(nèi)角和定理；勾股定理. 【分析】（1）要證四邊形是平行四邊形，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形的判定，一方面，由四邊形是平行四邊形可有∥；另一方面，由折疊對(duì)稱的性質(zhì)、平行的內(nèi)錯(cuò)角相等性質(zhì)、等腰三角形的等角對(duì)等邊的性質(zhì)可得，從而得證. （2）要證，根據(jù)勾股定理，只要的即可，而要證，一方面，由BE平分∠ABC可得（如答圖，下同）；另一方面，由∥可得，從而得到，結(jié)合（1）即可根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，進(jìn)而得證. 14. （2015年江蘇常州8分）如圖，在中，∠BCD=120°，分別延長(zhǎng)DC、BC到點(diǎn)E，F(xiàn)，使得△BCE和△CDF都是正三角形． （1）求

52、證：AE=AF； （2）求∠EAF的度數(shù)． 【答案】解：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴∠BAD=∠BCD=120°，∠ABC=∠ADC，AB=CD，BC=AD. ∵△BCE和△CDF都是正三角形，∴BE=BC，DF=CD，∠EBC=∠CDF=60°. ∴∠ABE=∠FDA，AB=DF，BE=AD. 在△ABE和△FDA中，∵，∴△ABE≌△FDA（SAS）. ∴AE=AF. （2）∵△ABE≌△FDA，∴∠AEB=∠FAD. ∵∠ABE=60°+60°=120°，∴∠AEB+∠BAE=60°. ∴∠FAD+∠BAE=60°，∴∠EAF=120°﹣60°=

53、60°． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定和性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)． 【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出∠BAD=∠BCD=120°，∠ABC=∠ADC，AB=CD，BC=AD，由等邊三角形的性質(zhì)得出BE=BC，DF=CD，∠EBC=∠CDF=60°，從而證出∠ABE=∠FDA，AB=DF，BE=AD，根據(jù)SAS證明△ABE≌△FDA，得出對(duì)應(yīng)邊相等即可. （2）由全等三角形的性質(zhì)得出∠AEB=∠FAD，求出∠AEB+∠BAE=60°，得出∠FAD+∠BAE=60°，即可得出∠EAF的度數(shù)． 15. （2015年江蘇常州8分）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠C=45°，∠

54、ADB=∠ABC=105°． （1）若AD=2，求AB； （2）若，求AB． 【答案】解：（1）如答圖，過(guò)點(diǎn)A作DE⊥AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CD于點(diǎn)F， ∵∠A=∠C=45°，∴△ADE與△BCF為等腰直角三角形. 又∵∠ADB=∠ABC=105°， ∴∠ADC=360°∠A∠C∠ABC=360°45°45°105°=165°. ∴∠BDF=∠ADC∠ADB=165°105°=60°. ∵AD=2，∴. ∵∠ABC=105°，∴∠ABD=105°﹣45°﹣30°=30°. ∴. ∴. （2）設(shè)，則， ∴. ∵∠BDF=60°，∴∠DBF=30°. ∴，

55、. ∴. ∵，，∴. ∵，∴. 【考點(diǎn)】勾股定理；銳角三角函數(shù)定義；特殊角的三角函數(shù)值；多邊形內(nèi)角和定理． 【分析】（1）作輔助線“過(guò)點(diǎn)A作DE⊥AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CD于點(diǎn)F”，構(gòu)造含特殊角的直角三角形，在四邊形ABCD中，由∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°，得∠BDF=60°，由△ADE與△BCF為等腰直角三角形，求得AE，利用銳角三角函數(shù)得BE，從而求得AB. （2）設(shè)DE=x，利用（1）的某些結(jié)論，特殊角的三角函數(shù)和勾股定理，用x表示AB，CD，得出，從而根據(jù)求得結(jié)果． 16. （2015年江蘇淮安8分）已知：如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F在邊AD

56、上，且AE＝DF，求證：BF＝CE. 【答案】證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴. 又∵AE＝DF，∴AF＝DE. ∴. ∴BF＝CE. 【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定和性質(zhì). 【分析】要證BF＝CE，只要證它們是全等三角形的對(duì)應(yīng)邊即可. 考察和，一方面，由矩形的性質(zhì)可得；另一方面，由已知AE＝DF，根據(jù)等量加等量和相等得 AF＝DE，從而應(yīng)用即可證明. 17. （2015年江蘇南通8分）如圖，一海倫位于燈塔P的西南方向，距離燈塔海里的A處，它沿正東方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東60°方向上的B處，求航程AB的值（結(jié)果保留根號(hào)）． 【答案】解：如答圖，

57、過(guò)P作PC⊥AB于點(diǎn)C， 在Rt△ACP中，PA=海里，∠APC=45°， ∴AC=AP?sin45°==40（海里）， PC=AP?cos45°==40（海里）. 在Rt△BCP中，∠BPC=60°， ∴BC=PC?tan60°=（海里）， ∴AB=AC+BC=（40+）海里． 【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用（方向角問(wèn)題）；銳角三角函數(shù)定義；特殊角的三角函數(shù)值． 【分析】作輔助線“過(guò)P作PC⊥AB于點(diǎn)C” ，構(gòu)造兩直角三角形ACP和BCP，應(yīng)用銳角三角函數(shù)定義求出AC和CB的長(zhǎng)，由AC+CB求出AB的長(zhǎng)即可． 18. （2015年江蘇南通8分）如圖，在中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，D

58、C上，且ED⊥DB，F(xiàn)B⊥BD． （1）求證：△AED≌△CFB； （2）若∠A=30°，∠DEB=45°，求證：DA=DF． 【答案】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD=CB，∠A=∠C，AD∥CB. ∴∠ADB=∠CBD. ∵ED⊥DB，F(xiàn)B⊥BD，∴∠EDB=∠FBD=90°. ∴∠ADE=∠CBF. 在△AED和△CFB中，，∴△AED≌△CFB（ASA）. （2）如答圖，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB，垂足為H， 在Rt△ADH中，∠A=30°，∴DA=2DH. 在Rt△DEB中，∠DEB=45°，∴EB=2DH. ∴DA= EB. ∵△AED≌△CF

59、B，∴AE=CF. ∵AB=DC，∴EB=DF. ∴DA=DF． 【考點(diǎn)】平行四邊形的判定和性質(zhì)；全等三角形的判定和性質(zhì)；含30度角的直角三角形的性質(zhì)；等腰直角三角形的性質(zhì)． 【分析】（1）由四邊形ABCD為平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)得到對(duì)邊平行且相等，對(duì)角相等，再由垂直的定義得到一對(duì)直角相等，利用等式的性質(zhì)得到一對(duì)角相等，利用ASA即可得證. （2）作輔助線“過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB，垂足為H”，一方面，在Rt△ADH中，利用30度所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半得到AD=2DH，在Rt△DEB中，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到EB=2DH，從而得到DA= EB；另一方面，由△AED≌△C

60、FB得到AE=CF，由四邊形ABCD是平行四邊形得到AB=DC，從而證得EB=DF，進(jìn)而等量代換即可得證． 19. （2015年江蘇南通13分）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，BC=9，點(diǎn)P，Q分別在BC，AC上，CP=3x，CQ=4x（0＜x＜3）．把△PCQ繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，得到△PDE，點(diǎn)D落在線段PQ上． （1）求證：PQ∥AB； （2）若點(diǎn)D在∠BAC的平分線上，求CP的長(zhǎng)； （3）若△PDE與△ABC重疊部分圖形的周長(zhǎng)為T，且12≤T≤16，求x的取值范圍． 【答案】解：（1）證明：∵在Rt△ABC中，AB=15，BC=9， ∴． ∵，∴． 又∵∠C=

61、∠C，∴△PQC∽△BAC. ∴∠CPQ=∠B. ∴PQ∥AB. （2）如答圖1，連接AD， ∵PQ∥AB，∴∠ADQ=∠DAB． ∵點(diǎn)D在∠BAC的平分線上，∴∠DAQ=∠DAB. ∴∠ADQ=∠DAQ. ∴AQ=DQ． 在Rt△CPQ中，∵CP=3x，CQ=4x，∴PQ=5x. ∵PD=PC=3x，∴DQ=2x． ∵AQ=12﹣4x，∴12﹣4x=2x，解得x=2. ∴CP=3x=6． （3）當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí)， ∵PQ∥AB，∴∠DPE=∠PEB． ∵∠CPQ=∠DPE，∠CPQ=∠B，∴∠B=∠PEB. ∴PB=PE=5x. ∴3x+5x=9，解得． ①當(dāng)0＜x

62、≤時(shí)，，此時(shí)0＜T≤. ∴當(dāng)0＜x≤時(shí)，T隨x的增大而增大， ∵12≤T≤16，∴當(dāng)12≤T≤時(shí)，1≤x≤. ②當(dāng)＜x＜3時(shí)， 如答圖2，設(shè)PE交AB于點(diǎn)G，DE交AB于F，作GH⊥FQ，垂足為H， ∴HG=DF，F(xiàn)G=DH，Rt△PHG∽R(shí)t△PDE. ∴． ∵PG=PB=9﹣3x，∴. ∴. ∴， ∴， 此時(shí)，＜T＜18． ∴當(dāng)＜x＜3時(shí)，T隨x的增大而增大. ∵12≤T≤16，∴當(dāng)＜T≤16時(shí)，＜x≤. 綜上所述，當(dāng)12≤T≤16時(shí)，x的取值范圍是1≤x≤． 【考點(diǎn)】面動(dòng)旋轉(zhuǎn)問(wèn)題；勾股定理；相似三角形的判定和性質(zhì)；平行的判定和性質(zhì)；方程思想、函數(shù)思想、分類思

63、想的應(yīng)用． 【分析】（1）先根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)，再由相似三角形的判定定理得出△PQC∽△BAC，由相似三角形的性質(zhì)得出∠CPQ=∠B，由此可得出結(jié)論. （2）連接AD，根據(jù)PQ∥AB可知∠ADQ=∠DAB，再由點(diǎn)D在∠BAC的平分線上，得出∠DAQ=∠DAB，故∠ADQ=∠DAQ，AQ=DQ．在Rt△CPQ中根據(jù)勾股定理可知，AQ=12﹣4x，故可得出x的值，進(jìn)而得出結(jié)論. （3）當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出x的值，再分0＜x≤；＜x＜3兩種情況進(jìn)行分類討論． 20. （2015年江蘇宿遷6分）如圖，已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求證：∠C=2∠D． 【

64、答案】證明：∵AB=AC=AD，∴∠C=∠ABC，∠D=∠ABD. ∴∠ABC=∠CBD+∠D. ∵AD∥BC，∴∠CBD=∠D. ∴∠ABC=∠D+∠D=2∠D. 又∵∠C=∠ABC，∴∠C=2∠D． 【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；平行線的性質(zhì)． 【分析】首先根據(jù)AB=AC=AD，可得∠ABC=∠CBD+∠D；然后根據(jù)AD∥BC，可得∠CBD=∠D，據(jù)此判斷出∠ABC =2∠D.，再根據(jù)∠C=∠ABC，即可判斷出∠C=2∠D． 21. （2015年江蘇宿遷6分）如圖，觀測(cè)點(diǎn)A、旗桿DE的底端D、某樓房CB的底端C三點(diǎn)在一條直線上，從點(diǎn)A處測(cè)得樓頂端B的仰角為22°，此時(shí)點(diǎn)E恰好在AB上

65、，從點(diǎn)D處測(cè)得樓頂端B的仰角為38.5°．已知旗桿DE的高度為12米，試求樓房CB的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin38.5°≈0.62，cos38.5°≈0.78，tan38.5°≈0.80） 【答案】解：∵ED⊥AC，BC⊥AC，∴ED∥BC. 在Rt△ABC中，∵∠A=22°，∴. 在Rt△AED中，∵∠A=22°，DE=12，，，∴. 在Rt△BDC中，∵∠BDC=38.5°，，∴. ∴，解得BC=24. 答：樓房CB的高度為24米． 【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用（仰角俯角問(wèn)題）；銳角三角函數(shù)定義；方程思想

66、的應(yīng)用．. 【分析】在Rt△ABC中得到；在Rt△AED中由求得；在Rt△BDC中求得，從而得到，解之即可. 22. （2015年江蘇宿遷8分）如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，E是邊CD的中點(diǎn)，連接BE并延長(zhǎng)與AD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F． （1）求證：四邊形BDFC是平行四邊形； （2）若△BCD是等腰三角形，求四邊形BDFC的面積． 【答案】解：（1）證明：∵∠A=∠ABC=90°，∴BC∥AD. ∴∠CBE=∠DFE. 在△BEC與△FED中，∵，∴△BEC≌△FED（AAS）.∴BE=FE. 又∵E是邊CD的中點(diǎn)，∴CE=DE. ∴四邊形BDFC是平行四邊形. （2）分三種情況討論： ①BC=BD=3時(shí)，由勾股定理得，， ∴. ②BC=CD=3時(shí)，如答圖，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AF于G，則四邊形AGCB是矩形， ∴AG=BC=3，∴DG=AG﹣AD=3﹣1=2. 由勾股定理得，， ∴. ③BD=CD時(shí)，BC邊上的中線應(yīng)該與BC垂直，從而得到BC=2AD=2，矛盾，此時(shí)不成立即. 綜上所述，若△BCD是等腰三角形，四邊形