《全等三角形中的倍長中線與截長補(bǔ)短法.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《全等三角形中的倍長中線與截長補(bǔ)短法.ppt（22頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、倍長中線與截長補(bǔ)短法,輔助線一般作法,三角形 圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。 也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。 角平分線平行線，等腰三角形來添。 角平分線加垂線，三線合一試試看。 線段垂直平分線，常向兩端把線連。 要證線段倍與半，延長縮短可試驗(yàn)。 三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。 三角形中有中線，延長中線等中線。,,例1：ABC中，AB=5，AC=3，求中線AD的取值范圍 提示：畫出圖形，倍長中線AD，利用三角形兩邊之和大于第三邊,,例2：已知在ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延長線上，DE交BC于F，且DF=EF，求證：BD=CE 方法1：過D作DGAE交BC于G， 方法2：過

2、E作EGAB交BC的延長線于G， 方法3：過D作DGBC于G，過E作EHBC的延長線于H,,例3：已知在ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，且BE=AC，延長BE交AC于F，求證：AF=EF 提示：倍長AD至G，連接BG， 證明BDGCDA 三角形BEG是等腰三角形,,例4：已知：如圖，在中，，D、E在BC上，且DE=EC，過D作交AE于點(diǎn)F，DF=AC. 求證：AE平分BAC 提示： 方法1：倍長AE至G，連結(jié)DG 方法2：倍長FE至H，連結(jié)CH,,,在三角形中線時(shí)，常廷長加倍中線，構(gòu)造全等三角形。 例如：如圖5-1：AD為 ABC的中線，求證：AB+AC2AD 分析：要證AB

3、+AC2AD， 由圖想到： AB+BDAD, AC+CDAD， 所以有AB+AC+ BD+CD AD +AD=2AD， 左邊比要證結(jié)論多BD+CD， 故不能直接證出此題， 而由2AD想到要構(gòu)造2AD， 即加倍中線， 把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中去,證明：延長AD至E，使DE=AD，連接BE，CE AD為ABC的中線 （已知） BD=CD （中線定義） 在ACD和EBD中 BD=CD （已證） 1=2 （對頂角相等） AD=ED （輔助線作法） ACDEBD （SAS） BE=CA（全等三角形對應(yīng)邊相等） 在ABE中有：AB+BEAE（三角形兩邊之和大于第三邊） AB+AC2AD

4、。 （常延長中線加倍，構(gòu)造全等三角形）,練習(xí),已知ABC，AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向外作等腰直角三角形，如圖5-2， 求證EF=2AD。,二、截長補(bǔ)短法作輔助線,要證明兩條線段之和等于第三條線段，可以采取“截長補(bǔ)短”法。 截長法即在較長線段上截取一段等于兩較短線段中的一條，再證剩下的一段等于另一段較短線段。 所謂補(bǔ)短，即把兩短線段補(bǔ)成一條，再證它與長線段相等。,讓我們來大顯身手吧！,例如：已知如圖6-1：在ABC中，ABAC，1=2，P為AD上任一點(diǎn) 求證：AB-ACPB-PC。,要證：AB-ACPB-PC，想到利用三角形三邊關(guān)系定理證明。 因?yàn)橛C的線

5、段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊AB-AC 故可在AB上截取AN等于AC，得AB-AC=BN 再連接PN，則PC=PN，又在PNB中，PB-PNPB-PC。,思路導(dǎo)航,證明：（截長法）在AB上截取AN=AC連接PN 在APN和APC中 AN=AC（輔助線作法） 1=2 （已知） AP=AP （公共邊） APNAPC （SAS） PC=PN （全等三角形對應(yīng)邊相等） 在BPN中，有 PB-PN

6、已知） AP=AP （公共邊） ABPAMP （SAS） PB=PM （全等三角形對應(yīng)邊相等） 又在PCM中有：CMPM-PC(三角形兩邊之差小于第三邊) AB-ACPB-PC。,在 ABC中，ACB=90，AC=BC,直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且ADMN于D，BEMN于E。 求證：DE=AD+BE,證明：, 1+3=90., 1+2=90., 2=3.,ADC= CEB, ADCCEB, AD=CE,CD=BE, DE=AD+BE,ACB=90 ，,BEMN，,ADMN,, ADC= CEB=90.,在 ADC和CEB中,,AC=BC,2=3, DE=CE+CD,,例題講解,1.在ABC

7、中, B2C, AD平分BAC. 求證：AB+BD=AC,,,,,A,B,C,D,,E,,證明：,在AC上截取A E=AB，連結(jié)D E, AD平分BAC 12,,在ABD和 AED中,,12,A B=AE,A D=AD, ABD AED,BD=DE, B3, 3= 4+ C, B2C, 3=2C, 2C = 4+ C,DE=CE,BD=CE,AE+EC=AC, AB+BD=AC,,,,,1,2,3,4, C 4,截長法,例題講解,在ABC中, B2C, AD平分BAC. 求證：AB+BD=AC,,,,,A,B,C,D,,E,,在AB的延長線截取B E=BD， 連結(jié)D E.,證明：,,補(bǔ)短法,在

8、射線 AB截取B E=BD， 連結(jié)D E.,截長法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明 這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目,如圖，ADBC，AE, BE分別平分DAB,CBA， CD經(jīng)過點(diǎn)E， 求證：ABAD+BC,,練習(xí),在等邊ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，D為ABC外一點(diǎn)，且MDN=60, BDC=120, BD=DC. 探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系.,如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且DM=DN時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是,,,,,,,,,A,B,C,D,M,N,思考題,在等邊ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，D為ABC外一點(diǎn)，且MDN=60, BDC=120, BD=DC. 探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系.,如圖2，點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且 當(dāng)DMDN時(shí)，猜想（I）的結(jié)論還成立嗎 ?,,,,,,,A,B,C,D,M,N,寫出你的猜想并加以證明；,,如圖3，點(diǎn)M、N分別在邊AB、CA的延長線上時(shí)，猜想（I）的結(jié)論還成立嗎 ?若不成立，又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想并加以證明.,,,,,,,,,A,B,C,D,M,N,