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1、九年級數(shù)學（上冊）第一章 證明(二),1.你能證明它們嗎等邊三角形的判定,駛向勝利的彼岸,八仙過海,一個三角形滿足什么條件時便可成為等邊三角形？,與同伴交流你在探索思路的過程中的具體做法.,,你認為有一個角是600的等腰三角形是等邊三角形嗎？你能證明你的結論嗎？,一個等腰三角形滿足什么條件時便可成為等邊三角形？,駛向勝利的彼岸,命題的證明,,定理:有一個角是600的等腰三角形是等邊三角形.,證明:AB=AC, B=600(已知), C=B=600.(等邊對等角). A=600(三角形內(nèi)角和定理). A=B（等式性質(zhì)）. AC=CB（等角對等邊）. AB=BC=AC（等式性質(zhì)）. ABC是等邊三

2、角形(等邊三角形意義).,已知:如圖,在ABC中AB=AC,B=600. 求證:ABC是等邊三角形.,幾何的三種語言,,,駛向勝利的彼岸,定理:有一個角是600的等腰三角形是等邊三角形.,在ABC中, AB=AC,B=600(已知). ABC是等邊三角形(有一個角是600的等腰三角形是等邊三角形).,這又是一個判定等邊三角形的根據(jù)之一.,駛向勝利的彼岸,命題的證明,,定理:三個角都相等的三角形是等邊三角形.,證明:A=B (已知), BC=AC,(等角對等邊). 又B=C(已知), AB=AC,(等角對等邊). AB=BC=AC(等式性質(zhì)). ABC是等邊三角形(等邊三角形意義).,已

3、知:如圖,在ABC中,A=B=C. 求證:ABC是等邊三角形.,幾何的三種語言,,,駛向勝利的彼岸,定理:三個角都相等的三角形是等邊三角形.,在ABC中, A=B=C(已知), ABC是等邊三角形(三個角都相等的三角形是等邊三角形).,這又是一個判定靠邊三角形的根據(jù)之一.,駛向勝利的彼岸,命題的猜想,,1 操作:用兩個含有300角的三角尺，你能拼成一個怎樣的三角形？,能證明你的結論嗎？,結論:在直角三角形中, 300角所對的直角邊等于斜邊的一半.,能拼出一個等邊三角形嗎？說說你的理由.,由此你想到，在直角三角形中, 300角所對的直角邊與斜邊有怎樣的大小關系？,駛向勝利的彼岸,命題的證明,,定

4、理:在直角三角形中, 如果有一個銳角等于300,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.,在ABC中,ACB=900,A=300(已知), B=600(直角三角形兩銳角互余). 又 ACB=900, (已知), ACD=900(平角意義). 在ABC與ADC中 BC=DC（作圖）, ACB=ACD（已證）, AC=AC（公共邊）, ABCADC（SAS）. ABD是等邊三角形(有一個角600是的等腰三角形是等邊三角形) BC= BD= AB(等式性質(zhì)).,已知:如圖,在ABC中,ACB=900,A=300. 求證:BC= AB.,證明:如圖, 延長BC至D,使CD=BC,連接AD.,,幾何的三種語言

5、,,,駛向勝利的彼岸,這又是一個判定兩條線段成倍分關系的根據(jù)之一.,定理:在直角三角形中, 如果有一個銳角等于300,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.,在ABC中, ACB=900,A=300. BC= AB.(在直角三角形中, 300角所對的直角邊等于斜邊的一半).,學無止境,,這里有一個化歸的數(shù)學思想即把問題轉化為一個純數(shù)學問題.,,駛向勝利的彼岸,分析:如圖,在ABC中AB=AC=2a,B=ACB=150,CDAB于D. 求:CD=?,解:B=ACB=150(已知), DAC=B+ACB= 150+150=300(三角形的一個外角,等于和不相鄰的兩內(nèi)角的和). CD= AC= 2a=a

6、(在直角三角形中, 如果有一個銳角等于300,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半).,例2.已知:如圖,等腰三角形的底角為150,腰長為2a. 求:腰上的高.,含300角的直角三角形,,,駛向勝利的彼岸,1.已知:如圖, 在ABC中,ACB900,A=300,CDAB于D. 求證:BD=AB/4.,分析:因為A=300,所以BC=AB/2.要證明BD=AB/4,只要能使BD=BC/2即可,此時若BCD=300就可以了.而由“雙垂直三角形”即可求得.,你能規(guī)范地寫出證明過程嗎？你的證題能力有所提高嗎?,三角形,認識我嗎,,2.已知:如圖,點P,Q在BC上,且BP=AP=AQ=QC=a,PAQ=60

7、0,AHBC于H. (1)求證:AB=AC; (2)試在圖中標出各個角的度數(shù); (3)求出圖中各線段的長度,并說明理由.,,駛向勝利的彼岸,勝利屬于敢想敢干的人！ 你能與同學們交流探索證題的全過程嗎?,反過來怎么樣逆向思維,,命題:在直角三角形中, 如果一條直角邊等于斜邊的一半,那么它所對的銳角等于300.是真命題嗎? 如果是,請你證明它.,駛向勝利的彼岸,已知:如圖,在ABC中,ACB=900,BC=AB/2. 求證:A=300.,反過來怎么樣逆向思維,,在ABD中,ACB=900(已知), AB=AD(線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等). 又BC=AB/2(已知), BC=BD/

8、2(作圖), AB=BD(等量代換). AB=BD=AD(等式性質(zhì)）. ABD是等邊三角形(等邊三角形意義). B=600(等邊三角形意義). A=300(直角三角形兩銳角互余).,駛向勝利的彼岸,,證明:如圖, 延長BC至D,使CD=BC,連接AD.,幾何的三種語言,,,駛向勝利的彼岸,這是一個通過線段之間的關系來判定一個角的具體度數(shù)(300)的根據(jù)之一.,定理:在直角三角形中, 如果一條直角邊等于斜邊的一半,那么它所對的銳角等于300.,在ABC中 ACB=900,BC=AB/2(已知), A=300(在直角三角形中,如果一條直角邊等于斜邊的一半,那么它所對的銳角等于300).,,成功者的

9、搖籃,,1.如圖(1):四邊形ABCD是一張正方形紙片,E,F分別是AB,CD的中點,沿著過點D的折痕將A角翻折,使得A落在EF上(如圖(2)), 折痕交AE于點G,那么ADG等于多少度?你能證明你的結論嗎?,成功者的搖籃,,1.如圖(1):四邊形ABCD是一張正方形紙片,E,F分別是AB,CD的中點,沿著過點D的折痕將A角翻折,使得A落在EF上(如圖(2)中A1),折痕交AE于點G,那么ADG等于多少度?你能證明你的結論嗎?,答:ADG等于150.,證明:DF=DC/2(中點意義),,A1D=AD=CD(正方形各邊都相等),,DF=A1D/2(等量代換).,DA1F=300 (在直角三角形中

10、, 如果一條直角邊等于斜邊的一半,那么它所對的銳角等于300).,又ADEF(中點意義),,A1DA=DA1F=300 (兩直線平行,內(nèi)錯角相等).,ADG=A1DA/2=150(角平分線意義).,,,300,回味無窮,等邊三角形的判定: 定理:有一個角是600的等腰三角形是等邊三角形. 定理:三個角都相等的三角形是等邊三角形. 特殊的直角三角形的性質(zhì): 定理:在直角三角形中, 如果有一個銳角等于300,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半. 定理:在直角三角形中, 如果一條直角邊等于斜邊的一半,那么它所對的銳角等于300. 老師提醒: 反證法還認識你嗎?,知識的升華,P9習題1.3 1,2,3題

11、. 祝你成功！,習題1.3,,駛向勝利的彼岸,1.已知:如圖,ABC是等邊三角形,DEBC,分別交AB,AC于點D,E.求證: ADE是等邊三角形.,證明1:,ABC等邊三角形(已知),, AB=A600(已知),,又 DEBC(已知),,1=B=600,2=C=600 (兩直線平行,同位角相等)., A =1=2(等量代換)., ADE是等邊三角形 (三個角相等的三角形是等邊三角形).,F,習題1.3,,駛向勝利的彼岸,2.房梁的一部分如圖所示,其中BCAC,A=300,AB=7.4m,點D是AB的中點,DEAC,垂足為E. 求:BC,DE的長.,解:BCAC,A=300,AB=7.4m(已

12、知),, BC=AB/2=7.423.7(在直角三角形中, 如果有一個銳角等于300,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半),,又 AD=AB/2=7.423.7(中點意義),, DE=AD/2=3.721.85(在直角三角形中, 如果有一個銳角等于300,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半).,答:BC=3.7m,DE=1.85m.,老師提示:對于含300角的直角三角形邊之間,角之間的關系要作為常識去認可.,習題1.3,,駛向勝利的彼岸,1.已知:如圖,ABC是等邊三角形,過它的三個頂點分別作對邊的平行線,得到一個新的DEF,DEF是等邊三角形嗎?你還能找到其它的等邊三角形嗎?請證明你的結論.,答

13、:(1)DEF是等邊三角形;(2)ABE,ACF,BCD也是等邊三角形.,證明(1):ABC是等邊三角形(已知),,又EFBC,DEAC(已知),,E600(三角形內(nèi)角和定理).,同理,D=600,F600.,12=3600(等邊三角形的三個角都相等并且每個 角都等于600 ).,,3,42600,51600(兩直線平行,內(nèi)錯角相等).,,5, DE=F600(等量代換).,DEF是等邊三角形(三個角相等的三角形是等邊三角形).,習題1.3,,駛向勝利的彼岸,1.已知:如圖,ABC是等邊三角形,過它的三個頂點分別作對邊的平行線,得到一個新的DEF,DEF是等邊三角形嗎?你

14、還能找到其它的等邊三角形嗎?請證明你的結論.,答:(1)DEF是等邊三角形; (2)ABE,ACF,BCD也都是等邊三角形.,請同學們來證明(2)中的結論.,,3,,5,習題1.3,,駛向勝利的彼岸,1.已知:如圖,ABC是等邊三角形,過它的三個頂點分別作對邊的平行線,得到一個新的DEF,DEF是等邊三角形嗎?你還能找到其它的等邊三角形嗎?請證明你的結論.,答:(1)DEF是等邊三角形;(2)ABE,ACF,BCD也是等邊三角形.,證明(1):ABC是等邊三角形(已知),,又EFBC,DEAC(已知),,E600(三角形內(nèi)角和定理).,同理,D=600,F600.,12=3600(等邊三角形的三個角都相等并且每個 角都等于600 ).,,3,42600,51600(兩直線平行,內(nèi)錯角相等).,,5, DE=F600(等量代換).,DEF是等邊三角形(三個角相等的三角形是等邊三角形).,結束寄語,嚴格性之于數(shù)學家,猶如道德之于人. 證明的規(guī)范性在于：條理清晰，因果相應,言必有據(jù).這是初學證明者謹記和遵循的原則.,