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1、1.3 等可能概型（古典概型）與幾何概型,一、古典概型的定義 設(shè)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)E滿足下列條件 1.有限性：試驗(yàn)的樣本空間只有有限個(gè)樣本點(diǎn)（即只有有限個(gè)可能的結(jié)果），即 Se1, e 2 , , e n ; 2.等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)（或結(jié)果）的發(fā)生是等可能的，即 P(e1)=P(e2)==P(en)。 則稱(chēng)此試驗(yàn)E為古典概型，也叫等可能概型。,設(shè)事件A中所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為N(A)=k ，以N(S)=n記樣本空間S中樣本點(diǎn)總數(shù)，則有,P(A)具有如下性質(zhì)：,(1) 0 P(A) 1； (2) P(S)1； P( )=0； (3) AB，則P( AB )P(A)P(B)。,二、古典概型中的概率：,解 設(shè)A-

2、-至少有一個(gè)男孩,以H表示某個(gè)孩子是男孩，T表示某個(gè)孩子是女孩。,S=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT,A=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,例1.6 有三個(gè)子女的家庭,設(shè)每個(gè)孩子是男是女的概率相等,則至少有一個(gè)男孩的概率是多少?,例1.7 在盒子里有10個(gè)相同的球，分別標(biāo)上號(hào)碼1，2，，10 。從中任取一球，求此球的號(hào)碼為偶數(shù)的概率。,解 設(shè)m表示所取的球的號(hào)碼為m(m=1,2,,10)，則試驗(yàn)的樣本空間為S=1,2,,10，因此基本事件總數(shù)n=10。 又設(shè)A表示“所取的球號(hào)碼為偶數(shù)”這一事件，則 A=2,4,6,8,10， 所以A中含有k

3、=5個(gè)樣本點(diǎn)，故,乘法原理 設(shè)完成一件事需分兩步，第一步有n1種方法,第二步有n2種方法，則完成這件事共有n1n2種方法,,,,,,,,三、計(jì)算古典概率的方法：排列與組合,加法原理 設(shè)完成一件事可有兩種途徑，第一種途徑有n1種方法，第二種途徑有n2種方法，則完成這件事共有n1+n2種方法。,,,,,,,有重復(fù)排列 從含有n個(gè)元素的集合中隨機(jī)抽取k次，每次取一個(gè)，記錄其結(jié)果后放回，將記錄結(jié)果排成一列，,n,n,n,n,共有nk種排列方式.,無(wú)重復(fù)排列 從含有n個(gè)元素的集合中隨機(jī)抽取k次，每次取一個(gè)，取后不放回，將所取元素排成一列，,共有Pnk=n(n-1)(n-k+1)種排列方式.,n,n-

4、1,n-2,n-k+1,組 合 從含有n個(gè)元素的集合中隨機(jī)抽取k個(gè)，共有,種取法.,四、古典概型的基本類(lèi)型舉例,古典概型的計(jì)算關(guān)鍵在于計(jì)算基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)。,由于樣本空間的設(shè)計(jì)可由各種不同的方法，因此古典概率的計(jì)算就變得五花八門(mén)、紛繁多樣。但可歸納為如下幾種基本類(lèi)型。,1、抽球問(wèn)題 例1.8 設(shè)盒中有3個(gè)白球，2個(gè)紅球，現(xiàn)從盒中任抽2個(gè)球，求取到一紅球一白球的概率。 解 設(shè)A取到一紅球一白球,答:取到一紅一白的概率為3/5。,一般地，設(shè)盒中有N個(gè)球，其中有M個(gè)白 球，現(xiàn)從中任抽n個(gè)球，則這n個(gè)球中恰有k個(gè)白球的概率是,例1.9 某箱中裝有m+n個(gè)球，其中m個(gè)白球， n個(gè)

5、 黑球。(1)從中任意抽取r+s個(gè)球，試求所取的球中恰好有r個(gè)白球和s個(gè)黑球的概率；,解 試驗(yàn)E：從m+n球中取出r+s個(gè)，每r+s個(gè)球構(gòu)成E的一個(gè)基本事件，不同的基本事件總數(shù)為,設(shè)事件A：“所取的球中恰好有r個(gè)白球和s個(gè)黑球”，總共有多少個(gè)基本事件呢？,,所以，事件A發(fā)生的概率為,(2)從中任意接連取出k+1(k+1m+n)個(gè)球，如果每一個(gè)球取出后不還原，試求最后取出的球是白球的概率。,解 試驗(yàn)E：從m+n球中接連地不放回地取出k+1個(gè)球每k+1個(gè)排好的球構(gòu)成E的一個(gè)基本事件，不同的基本事件總數(shù)為,,設(shè)事件B：“第k+1個(gè)取出的球是白球”， 由于第k+1個(gè)球是白球，可先從m個(gè)白球中取一個(gè)留下

6、來(lái)作為第k+1個(gè)球，一共有,其余k個(gè)球可以是余下的m+n-1個(gè)球中任意k個(gè)球的排列，總數(shù)為,,種保留下來(lái)的取法，,,事件B所包含的基本事件總數(shù)為,,所以最后所取的球是白球的概率為,,,注：P(B)與k無(wú)關(guān)，即不論是第幾次抽取，抽到白球的概率均為,在實(shí)際中，有許多問(wèn)題的結(jié)構(gòu)形式與抽球問(wèn)題相同，把一堆事物分成兩類(lèi)，從中隨機(jī)地抽取若干個(gè)或不放回地抽若干次，每次抽一個(gè)，求“被抽出的若干個(gè)事物滿足一定要求”的概率。如產(chǎn)品的檢驗(yàn)、疾病的抽查、農(nóng)作物的選種等問(wèn)題均可化為隨機(jī)抽球問(wèn)題。我們選擇抽球模型的目的在于是問(wèn)題的數(shù)學(xué)意義更加突出，而不必過(guò)多的交代實(shí)際背景。,2、分球入盒問(wèn)題,解 設(shè)A：每盒恰有一球，B：

7、空一盒,例1.10 將3個(gè)球隨機(jī)的放入3個(gè)盒子中去，問(wèn)： （1）每盒恰有一球的概率是多少？ （2）空一盒的概率是多少？,一般地，把n個(gè)球隨機(jī)地分配到N個(gè)盒子中去(nN)，則每盒至多有一球的概率是：,例1.11 設(shè)有n個(gè)顏色互不相同的球，每個(gè)球都以概率1/N落在N(nN)個(gè)盒子中的每一個(gè)盒子里，且每個(gè)盒子能容納的球數(shù)是沒(méi)有限制的，試求下列事件的概率：,A=某指定的一個(gè)盒子中沒(méi)有球B=某指定的n個(gè)盒子中各有一個(gè)球C=恰有n個(gè)盒子中各有一個(gè)球D=某指定的一個(gè)盒子中恰有m個(gè)球(mn) 解 把n個(gè)球隨機(jī)地分配到N個(gè)盒子中去(nN),總共有Nn種放法。即基本事件總數(shù)為Nn。,事件A：指定的盒子中不能放球，

8、因此， n個(gè)球中的每一個(gè)球可以并且只可以放入其余的N-1個(gè)盒子中。總共有(N1)n種放法。因此,,事件B：指定的n個(gè)盒子中，每個(gè)盒子中各放一球，共有n!種放法，因此,事件C：恰有n個(gè)盒子，其中各有一球，即N個(gè)盒子中任選出n個(gè)，選取的種數(shù)為CNn,在這n個(gè)盒子中各分配一個(gè)球，n個(gè)盒中各有1球(同上)，n!種放法；事件C的樣本點(diǎn)總數(shù)為,事件D：指定的盒子中，恰好有m個(gè)球，這m個(gè)球可從n個(gè)球中任意選取，共有Cnm種選法，而其余n-m個(gè)球可以任意分配到其余的N-1個(gè)盒子中去，共有(N-1)n-m種，所以事件D所包含的樣本點(diǎn)總數(shù)為Cnm(N-1)n-m,某班級(jí)有n 個(gè)人(n365)， 問(wèn)至少有兩個(gè)人的生

9、日在同一天 的概率有多大？,?,分球入盒問(wèn)題，或稱(chēng)球在盒中的分布問(wèn)題。有些實(shí)際問(wèn)題可以歸結(jié)為分球入盒問(wèn)題，只是須分清問(wèn)題中的“球”與“盒”，不可弄錯(cuò)。 (1)生日問(wèn)題：n個(gè)人的生日的可能情況，相當(dāng)于n個(gè)球放入N=365個(gè)盒子中的可能情況(設(shè)一年365天)； (2)旅客下車(chē)問(wèn)題(電梯問(wèn)題)：一列火車(chē)中有n名旅客，它在N個(gè)站上都停車(chē)，旅客下車(chē)的各種可能場(chǎng)合，相當(dāng)于n個(gè)球分到N個(gè)盒子：旅客：“球”，站：“盒子”； (3)住房分配問(wèn)題：n個(gè)人被分配到N個(gè)房間中； (4)印刷錯(cuò)誤問(wèn)題：n個(gè)印刷錯(cuò)誤在一本具有N頁(yè)書(shū)的一切可能的分布，錯(cuò)誤球，頁(yè)盒子。,3.分組問(wèn)題 例1.12 30名學(xué)生中有3名運(yùn)動(dòng)員，將這

10、30名學(xué)生平均分成3組，求： （1）每組有一名運(yùn)動(dòng)員的概率； （2）3名運(yùn)動(dòng)員集中在一個(gè)組的概率。,解 設(shè)A：每組有一名運(yùn)動(dòng)員；B：3名運(yùn)動(dòng)員集中在一組,一般地，把n個(gè)球隨機(jī)地分成m組(nm),要求第 i 組恰 有ni個(gè)球(i=1,,m)，共有分法：,4. 隨機(jī)取數(shù)問(wèn)題,例1.13 從1到200這200個(gè)自然數(shù)中任取一個(gè), (1)求取到的數(shù)能被6整除的概率； (2)求取到的數(shù)能被8整除的概率； (3)求取到的數(shù)既能被6整除也能被8整除的概率。,解 N(S)=200,,N(3)=200/24=8,N(1)=200/6=33,,N(2)=200/8=25,(1),(2),(3)的概率分別為：33/200,1/8,1/25,五、幾何概型,（1）設(shè)樣本空間S是平面的某一個(gè)區(qū)域，它的面積記為,（2）S是的某一個(gè)部分區(qū)域A的面積記為,（3）隨機(jī)投擲一點(diǎn)，該點(diǎn)落在區(qū)域A的事件記為A,注：當(dāng)樣本空間S為一線段或者一空間立體時(shí)，公式同上， 不同的是面積計(jì)算相應(yīng)更為長(zhǎng)度或體積。,例（會(huì)面問(wèn)題）甲乙兩人相約在7點(diǎn)到8點(diǎn)在某地會(huì)面，先到者等候另一人20分鐘，過(guò)時(shí)就離開(kāi)。如果每個(gè)人可在指定的一個(gè)小時(shí)內(nèi)任意時(shí)刻到達(dá)，試計(jì)算兩人能夠會(huì)面的概率。,作業(yè) Page 16,6；8；14,