《2011年高考數(shù)學 考點41直線與圓錐曲線的位置關系》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2011年高考數(shù)學 考點41直線與圓錐曲線的位置關系（11頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、考點41 直線與圓錐曲線的位置關系 解答題 1. （2011·福建卷理科·Ｔ17）(本小題滿分13分)已知直線：y=x+m，m∈R. （I）若以點M（2,0）為圓心的圓與直線相切與點P，且點P在y軸上，求該圓的方程； （II）若直線關于x軸對稱的直線為，問直線與拋物線C：x2=4y是否相切？說明理由. 【思路點撥】（1）由題意畫出圖形，結合圖形求出圓的半徑，然后寫出圓的標準方程； （2）由的方程求得的方程，將的方程與拋物線C的方程聯(lián)立，得一元二次方程，然后依據(jù)對應判別式的正負，來判定兩者能否相切. 【精講精析】解法1：（I）依題意，點的坐標為. 因為所以 解得，即點坐標為.

2、 從而圓的半徑 故所求圓的方程為. (Ⅱ)因為直線的方程為，所以直線的方程為. 由得. 當，即時，直線與拋物線C相切； 當，即時，直線與拋物線C不相切. 綜上，當時，直線與拋物線相切；當時，直線與拋物線C不相切. 解法2：（I）設所求圓的半徑為，則圓的方程可設為. 依題意，所求圓與直線相切于點，則 解得 所以所求圓的方程為. （II）同解法1. 2. （2011·福建卷文科·Ｔ18）如圖，直線l：y=x+b與拋物線C：x2=4y相切于點A. （Ⅰ）求實數(shù)b的值； （II）求以點A為圓心，且與拋物線C的準線相切的圓的方程. 【思路點撥】（1）直線與拋物線方

3、程聯(lián)立，然后相切即判別式，解之得b的值； （2）求出A點坐標，找出圓心和半徑，寫出圓的標準方程即可. 【精講精析】(1)由得. 因為直線與拋物線C相切，所以， 解得. (2)由（1）可知，故方程即為， 解得.將其代入，得 故點A（2,1）.因為圓A與拋物線C的準線相切， 所以圓A的半徑等于圓心A到拋物線的準線的距離，即， 所以圓A的方程為 3.（2011·江蘇高考·Ｔ18）如圖，在平面直角坐標系中，M、N分別是橢圓的頂點，過坐標原點的直線交橢圓于P、A兩點，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長交橢圓于點B，設直線PA的斜率為k （1）當直線PA

4、平分線段MN，求k的值； （2）當k=2時，求點P到直線AB的距離d； （3）對任意k>0，求證：PA⊥PB 【思路點撥】本題考查的是直線與橢圓的位置關系，解決本題的關鍵是正確的聯(lián)立方程結合已知進行轉化求解. 【精講精析】由題意知，，故,所以線段MN的中點的坐標為，由于直線PA平分線段MN，故直線PA過線段MN的中點，又直線PA過坐標原點，所以. （2）直線PA的方程為，代入橢圓方程得，解得，因此,于是,直線AC的斜率為，所以直線AB的方程為，因此. （3）解法一：將直線PA的方程為代入，解得，記，則，于是故直線AB的斜率為，直線AB的方程為，代入橢圓方程得，解得，或，因此，于

5、是直線PB的斜率為， 因此，所以. 解法二：設，則，.設直線PB，AB的斜率分別為.因為C在直線AB上，所以 ，從而 ， 因此，所以. 4.（2011·浙江高考理科·Ｔ8）已知橢圓（>>0）與雙曲線有公共的焦點，的一條漸近線與以 的長軸為直徑的圓相交于兩點，若 恰好將線段三等分，則 （A） （B） 13 （C） （D）2 【思路點撥】關鍵是找出關于的關系建立方程組從而求解. 【精講精析】選C. 解法一：由雙曲線＝1知漸近線方程為，又∵橢圓與雙曲線有公共焦點，∴橢圓方程可化為＋＝，聯(lián)立直線與橢圓方程消得，，又∵將線段AB三等分，∴，

6、解之得. 解法二：由雙曲線＝1知漸近線方程為,設漸近線與橢圓（>>0）的交點分別為,則,即,又由在上,所以有,① 又由橢圓（>>0）與雙曲線有公共的焦點可得,② 由①②解得,,故選C. 5.（2011·北京高考理科·T19）(14分)已知橢圓.過點作圓的切線交橢圓G于A,B兩點. （Ⅰ）求橢圓G的焦點坐標和離心率； （Ⅱ）將|AB|表示為m的函數(shù)，并求|AB|的最大值. 【思路點撥】（Ⅰ）根據(jù)標準方程可求出焦點坐標和離心率；（Ⅱ）先討論切線斜率不存在時的兩種情況，當斜率存在時，聯(lián)立切線方程與橢圓方程，利用韋達定理及弦長公式可表示出|AB|，再求|AB|的最大值. 【精講精析】（

7、Ⅰ）由已知得，所以，所以橢圓G的焦點坐標為，離心率為. （Ⅱ）由題意知，. 當m=1時，切線的方程為x=1，點A,B的坐標分別為，此時； 當m=-1時，同理可得； 當|m|>1時，設切線的方程為. 由得. 設A,B兩點的坐標分別為. 又由與圓相切，得，即. 所以 . 由于當時，， ， 當且當時，.所以|AB|的最大值為2. 6.（2011·北京高考文科·T19）(14分)已知橢圓的離心率為，右焦點為，斜率為1的直線與橢圓G交于A,B兩點，以AB為底邊作等腰三角形PAB，頂點為. （Ⅰ）求橢圓G的方程； （Ⅱ）求的面積. 【思路點撥】（Ⅰ）利用a,b,c的關系及

8、離心率求出a,b，代入標準方程；（Ⅱ）聯(lián)立直線方程與橢圓方程，然后利用韋達定理，設而不求，整體代入. 【精講精析】（Ⅰ）由已知得，解得. 又，所以橢圓G的方程為. （II）設直線的方程為，由得，…①. 設A,B的坐標分別為，AB中點為，則 . 因為AB是等腰的底邊，所以.所以PE的斜率，解得. 此時方程①為，解得，所以.所以. 此時，點到直線AB：的距離， 所以的面積. 7.（2011·江西高考理科·Ｔ20）是雙曲線E：上一點，M，N分別是雙曲線E的左、右頂點，直線PM，PN的斜率之積為. （1）求雙曲線的離心率； （2）過雙曲線E的右焦點且斜率為1的直線交雙曲線于A，

9、B兩點，O為坐標原點，C為雙曲線上一點，滿足，求的值. 【思路點撥】（1）表示出直線PM，PN的斜率，根據(jù)直線PM，PN的斜率之積為，得，進而求得離心率. （2）首先根據(jù)直線與雙曲線的位置關系結合，將C點坐標用A,B兩點坐標表示出來，再將C點坐標代入雙曲線方程，即得的關系式，從而求得的值. 【精講精析】 8.（2011·江西高考文科·Ｔ19）已知過拋物線的焦點，斜率為的直線交拋物線于（）兩點，且． （1）求該拋物線的方程； （2）為坐標原點，為拋物線上一點，若，求的值． 【思路點撥】（1）首先將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，結合韋達定理可得，，再結合拋物線的定義可求出P的值.（2

10、）結合第一問所求，解出A,B坐標，結合條件式解出C點的坐標，將其帶入拋物線方程可得的值. 【精講精析】解析：（1）直線AB的方程是 所以：，由拋物線定義得：，所以p=4， 拋物線方程為： （2） 由p=4，化簡得，從而,從而A(1,),B(4,) 設=，又因為，即8（4），即，解得 9.（2011·陜西高考文科·T17）（本小題滿分12分） 設橢圓: 過點（0，4），離心率為． （Ⅰ）求的方程； （Ⅱ）求過點（3，0）且斜率為的直線被所截線段的中點坐標． 【思路點撥】（Ⅰ）由橢圓過已知點和橢圓離心率可以列出方程組，解方程組即可，也可以分步求解；（Ⅱ）直線方程和橢圓方程

11、組成方程組，可以求解，也可以利用根與系數(shù)關系；然后利用中點坐標公式求解． 【精講精析】（Ⅰ）將點（0，4）代入的方程得, ?∴b=4, 又 得，即， ?∴ ?∴的方程為 （Ⅱ）過點且斜率為的直線方程為， 設直線與Ｃ的交點為A，B，將直線方程代入Ｃ的方程，得 ，即，解得，， AB的中點坐標，， 即所截線段的中點坐標為． 注：用韋達定理正確求得結果，同樣給分． 10.（2011·浙江高考理科·Ｔ21）（本題滿分15分）已知拋物線＝，圓的圓心為點M （Ⅰ）求點M到拋物線的準線的距離； （Ⅱ）已知點P是拋物線上一點（異于原點），過點P作圓的兩條切線，交拋物線于A，B兩點

12、，若過M，P兩點的直線垂直于AB，求直線的方程. 【思路點撥】（１）利用拋物線的幾何性質可直接解決；（２）考查直線與拋物線、圓的位置關系等基礎知識，利用＂過M，P兩點的直線垂直于AB＂這一幾何條件建立關系式即可解出． 【精講精析】 （Ⅰ）解：由題意可知，拋物線的準線方程為：所以圓心M（0,4）到拋物線的距離是 （Ⅱ）解：設P(x0, x02)，A（）B（），由題意得設過點P的圓C2的切線方程為y-x0=k(x- x0) 即， ① 則 即 設PA，PB的斜率為，則是上述方程的兩根，所以 ， 將①代入

13、得， 由于是此方程的根，故所以 而 由MP⊥AB,得，解得 即點P的坐標為，所以直線的方程為. 11.（2011·浙江高考文科·Ｔ22）(本題滿分15分)如圖，設P是拋物線上的動點，過點做圓：的兩條切線，交直線：于兩點. （Ⅰ）求的圓心到拋物線 準線的距離； （Ⅱ）是否存在點，使線段被拋物線在點處的切線平分？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由. 【思路點撥】（１）小題利用拋物線的幾何性質可直接解決； （２）寫出三切線方程，求出及拋物線在點處的切線與交點的坐標即可找出關于點坐標的關系． 【精講精析】 （Ⅰ）解：由題意可知，拋物線C1的準線方程為： 所以圓心M到

14、拋物線C1準線的距離為 (Ⅱ）解：設點P的坐標為()，拋物線C1在點P處的切線交直線于點D． 再設A,B,D的橫坐標分別為 過點P()的拋物線C1的切線方程為： （1） 當時，過點與圓的切線PA為：. 可得． 當時，過點與圓的切線為為： 可得． 所以． 設切線PA.PB的斜率為，則 （2） （3） 將分別代入（1），（2），（3），得 從而 又， 即 同理 所以是方程的兩個不相等的根，從而 ， 因為， 所以即. 從而 進而得 綜上所述，存在點P滿足題意，點P的坐標為