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1、多考點綜合練(三)
測試內(nèi)容:三角函數(shù)、解三角形 平面向量
(時間:120分鐘 滿分:150分)
一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分)
1.(2012年孝感第一次統(tǒng)考)點A(sin 2 013°,cos 2 013°)在直角坐標平面上位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:由于2 013°=5×360°+211°,因此2 013°角終邊落在第三象限,于是sin 2 013°<0,cos 2 013°<0,從而A點在第三象限,選C.
答案:C
2.(2011年高考課標卷)
2、已知角θ的頂點與原點重合,始邊與x軸的正半軸重合,終邊在直線y=2x上,則cos 2θ= ( )
A.- B.-
C. D.
解析:由已知tanθ=2,則cos 2θ===-.
答案:B
3.函數(shù)y=sin(2x-π)cos[2(x+π)]是 ( )
A.周期為的奇函數(shù) B.周期為的偶函數(shù)
C.周期為的奇函數(shù) D.周期為的偶函數(shù)
解析:y=sin(2x-π)cos[2(x+π)]
=·(-sin 2x)·cos 2x=-sin 4x,
因此周期T==,
且f(-x)=-f(x),函數(shù)是奇函數(shù),選C.
答案:C
4.(2012年浙江)設a,b是兩個非零向
3、量. ( )
A.若|a+b|=|a|-|b|,則a⊥b
B.若a⊥b,則|a+b|=|a|-|b|
C.若|a+b|=|a|-|b|,則存在實數(shù)λ,使得b=λa
D.若存在實數(shù)λ,使得b=λa,則|a+b|=|a|-|b|
解析:由|a+b|=|a|-|b|兩邊平方,得a2+b2+2a·b=|a|2+|b|2-2|a|·|b|,即a·b=-|a|·|b|,故a與b方向相反.又|a|≥|b|,則存在實數(shù)λ∈[-1,0),使得b=λa.故A,B命題不正確,C命題正確,而兩向量共線,不一定有|a+b|=|a|-|b|,即D命題不正確,故選C.
答案:C
5.已知向量a=(sin
4、x,cos x),向量b=(1, ),則|a+b|的最大值為( )
A.1 B.
C.3 D.9
解析:|a+b|=
= ,
所以|a+b|的最大值為3.
答案:C
6.(2012年洛陽統(tǒng)考)若=-,則sin α+cos α的值為 ( )
A.- B.-
C. D.
解析:依題意,得=-=-,所以sin α+cos α=,選C.
答案:C
7.在△ABC中,“·=0”是“△ABC為直角三角形”的 ( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分又不必要條件
解析:由·=0?⊥,故角B為直角,即△ABC
5、為直角三角形;反之若三角形為直角三角形,不一定角B為直角,故“·=0”是“△ABC為直角三角形”的充分不必要條件.故選A.
答案:A
8.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且m=(b-c,cos C),n=(a,cos A),m∥n,則cos A= ( )
A. B.-
C. D.-
解析:∵m∥n,∴(b-c)cos A=acos C.
∴(sin B-sin C)cos A=sin Acos C,
即sin Bcos A=sin Acos C+sin Ccos A
=sin(A+C)=sin B,
易知sin B≠0,∴cos A=.
答案:C
6、
9.在四邊形ABCD中,==(1,1),+=,則四邊形ABCD的面積為 ( )
A. B.2
C. D.
解析:由==(1,1),知四邊形ABCD為平行四邊形,且||=||=.
又+=,
知平行四邊形ABCD為菱形,且C=120°,
∴S四邊形ABCD=××=.故選A.
答案:A
10.(2013屆江西省百所重點高中階段診斷)已知函數(shù)y=
4sin,的圖象與直線y=m有三個交點,且交點的橫坐標分別為x1,x2,x3(x1
7、,觀察圖象可知x1,x2關(guān)于直線x=對稱,x2,x3關(guān)于直線x=π對稱,故x1+2x2+x3=(x1+x2)+(x2+x3)=2×+2×π=π.
答案:A
11.如圖,在平面斜坐標系中,∠xOy=120°,平面上任意一點P的斜坐標是這樣定義的:“若=x e1+y e2(其中e1,e2分別是與x,y軸同方向的單位向量),則點P的斜坐標為(x,y)”.那么,在斜坐標系中,以O為圓心,2為半徑的圓的方程為 ( )
A.x2+y2=2 B.x2+y2=4
C.x2+y2-xy=2 D.x2+y2-xy=4
解析:據(jù)題意可知在斜坐標系中圓上的點P(x,y)滿足||=|x e1+y e
8、2|=2,即|x e1+y e2|2=x2+y2+2xy e1·e2=x2+y2+2xycos 120°=4,
整理可得x2+y2-xy=4,即為所求圓的方程.故選D.
答案:D
12.(2012~2013學年河北省高三教學質(zhì)檢)函數(shù) f(x)=sin(2x+),給出下列命題:
①函數(shù) f(x)在區(qū)間[,]上是減函數(shù);②直線x=是函數(shù) f(x)的圖象的一條對稱軸;③函數(shù) f(x)的圖象可以由函數(shù)y=sin 2x的圖象向左平移個單位得到.
其中正確的是 ( )
A.①③ B.①②
C.②③ D.①②③
解析:∵當≤x≤時,≤2x+≤,
∴ f(x)在[,]上是減函數(shù),
9、故①正確.
②∵f()=sin(+)=,故②正確.
③y=sin 2x向左平移個單位得y=sin 2(x+)
=cos 2x≠ f(x),故③不正確.故選B.
答案:B
二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)
13.設向量a,b滿足:|a|=1,a·b=,|a+b|=2,則|b|=________.
解析:∵|a+b|=2,∴|a+b|2=a2+2a·b+b2=8.
又∵|a|=1,a·b=,∴b2=4,|b|=2.
答案:2
14.(2011年江蘇)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ),(A,ω,φ是常數(shù),A>0,ω>0)的部分圖象如圖所示,則f(0)=____
10、____.
解析:由圖象知A=,T=4(π-)=π,∴ω=2,
則f(x)=sin(2x+φ),由2×+φ=,得
φ=,故f(x)=sin(2x+)
∴f(0)=sin=.
答案:
15.(2012年山東)如圖,在平面直角坐標系xOy中,一單位圓的圓心的初始位置在(0,1),此時圓上一點P的位置在(0,0),圓在x軸上沿正向滾動.當圓滾動到圓心位于(2,1)時,的坐標為________.
解析:如圖,由題意知=OB=2,∵圓半徑為1,
∴∠BAP=2,故∠DAP=2-,
∴DA=APcos(2-)=sin 2,DP
=APsin(2-)=-cos 2.
∴OC
11、=2-sin 2,PC=1-cos 2.
∴=(2-sin 2,1-cos 2).
答案:(2-sin 2,1-cos 2)
16.(2012年衡陽六校聯(lián)考)給出下列命題:
①存在實數(shù)x,使得sin x+cos x=;②若α,β為第一象限角,且α>β,則tan α>tan β;③函數(shù)y=sin(-)的最小正周期為5π;④函數(shù)y=cos(+)是奇函數(shù);⑤函數(shù)y=sin 2x的圖象向左平移個單位,得到y(tǒng)=sin(2x+)的圖象.
其中正確命題的序號是________(把你認為正確的序號都填上).
解析:對于①,因為sin x+cos x=sin(x+)∈[-,],而>,因此不存在實數(shù)x
12、,使得sin x+cos x=,故①不正確;對于②,取α=30°+360°,β=30°,則tan α=tan β,因此②不正確;對于③,函數(shù)y=sin(-)的最小正周期是T==5π,因此③正確;對于④,令f(x)=cos(+),則f(-x)=cos(-+)=cos(-)=-cos(-+7π)=-cos(+)=-f(x),因此④正確;對于⑤,函數(shù)y=sin 2x的圖象向左平移個單位,得到y(tǒng)=sin 2(x+)=sin(2x+)的圖象,因此⑤不正確.綜上所述,其中正確命題的序號是③④.
答案:③④
三、解答題(本大題共6小題,共70分,17題10分,18~22題,每題12分.解答應寫出文字說明
13、,證明過程或演算步驟.)
17.(2012年江蘇)在△ABC中,已知·=3·.
(1)求證:tan B=3tan A;
(2)若cos C=,求A的值.
解:(1)證明:因為·=3·,所以AB·AC·cos A=3BA·BC·cos B,即AC·cos A=3BC·cos B,
由正弦定理知=,
從而sin Bcos A=3sin Acos B,
又因為00,cos B>0,所以tan B=3tan A.
(2)因為cos C=,0
14、2,
亦即=-2,
由(1)得=-2,
解得tan A=1或-,
因為cos A>0,故tan A=1,所以A=.
18.(2013年山東濱州聯(lián)考)設△ABC的內(nèi)角A、B、C的對應邊分別為a、b、c已知a=1,b=2,cos C=
(1)求△ABC的邊長.
(2)求cos(A-C)的值
解:(1)由余弦定理得:c2=a2+b2-2ab cos C=1+4-2×1×2×=4
∵c>0,∴c=2
(2)sin2C=1-cos2C=1-2=
∵0
15、,∵a
16、2A=1-2cos2A ∴cos2A=.
∵△ABC是銳角三角形,∴cos A= ∴A=.
(2)∵△ABC是銳角三角形,且A=,∴0),函數(shù)f(x)=m·n的最大值為6.
(1)求A;
(2)將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移個單位,再將所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的倍,縱坐標不變,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求g(x)
17、在[0,]上的值域.
解:(1)f(x)=m·n=Asin xcos x+cos 2x
=A=Asin.
因為A>0,由題意知A=6.
(2)由(1)f(x)=6sin.
將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移個單位后得到
y=6sin=6sin的圖象;
再將得到圖象上各點橫坐標縮短為原來的倍,縱坐標不變,得到y(tǒng)=6sin的圖象.
因此g(x)=6sin.
因為x∈,所以4x+∈.
故g(x)在上的值域為[-3,6].
21.(2012年遼寧錦州5月模擬)向量a=(2,2),向量b與向量a的夾角為,且a·b=-2.
(1)求向量b;
(2)若t=(1,0),且b⊥t,c=,
18、其中A、B、C是△ABC的內(nèi)角,若△ABC的內(nèi)角A、B、C依次成等差數(shù)列,試求|b+c|的取值范圍.
解:(1)設b=(x,y),則a·b=2x+2y=-2,且|b|==1=,
∴解得或
∴b=(-1,0)或b=(0,-1).
(2)∵b⊥t,且t=(1,0),∴b=(0,-1).
∵A、B、C依次成等差數(shù)列,∴B=.
∴b+c=(cos A,2cos2-1)=(cos A,cos C).
∴|b+c|2=cos2A+cos2C
=1+(cos 2A+cos 2C)
=1+[cos 2A+cos(-2A)]
=1+(cos 2A-cos 2A-sin 2A)
=1+cos
19、(2A+).
∵2A+∈(,),
∴-1≤cos(2A+)<,
∴≤|b+c|2<,
∴≤|b+c|<.
22.(2012年湖北)已知向量a=(cos ωx-sin ωx,sin ωx),b=(-cos ωx-sin ωx,2cos ωx),設函數(shù)f(x)=a·b+λ(x∈R)的圖象關(guān)于直線x=π對稱,其中ω,λ為常數(shù),且ω∈(,1).
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)若y=f(x)的圖象經(jīng)過點(,0),求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,]上的取值范圍.
解:(1)因為f(x)=sin2ωx-cos2ωx+2sin ωx·cos ωx+λ
=-cos 2ωx+sin 2ωx+λ=2sin(2ωx-)+λ.
由直線x=π是y=f(x)圖象的一條對稱軸,可得sin(2ωπ-)=±1,
所以2ωπ-=kπ+(k∈Z),即ω=+(k∈Z).
又ω∈(,1),k∈Z,所以ω=.
所以f(x)的最小正周期是.
(2)由y=f(x)的圖象過點(,0),得f()=0,
即λ=-2sin(×-)=-2sin =-,即λ=-.
故f(x)=2sin(x-)-,
由0≤x≤,有-≤x-≤,
所以-≤sin(x-)≤1,
得-1-≤2sin(x-)-≤2-,
故函數(shù)f(x)在[0,]上的取值范圍為[-1-,2-].