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1、 （江蘇專用）2013年高考數學總復習 第八章第5課時 橢圓 課時闖關（含解析） [A級　雙基鞏固] 一、填空題 1．已知△ABC的頂點B、C在橢圓＋y2＝1上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則△ABC的周長是________． 解析：由橢圓第一定義得△ABC的周長是4a＝4. 答案：4 2．若橢圓2kx2＋ky2＝1的一個焦點坐標是(0，－4)，則k的值為________． 解析：a2＝，b2＝，則c2＝.又c＝4，所以k＝. 答案： 3．“m＞n＞0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦點在y軸上的橢圓”的________條件． 解析：把

2、橢圓方程化成＋＝1.若m＞n＞0，則＞＞0.所以橢圓的焦點在y軸上．反之，若橢圓的焦點在y軸上，則＞＞0即有m＞n＞0.故為充要條件． 答案：充要 4．中心在原點，準線方程為x＝±4，離心率為的橢圓方程為________． 解析：∵e＝＝，x＝±＝±4， ∴a＝2，c＝1，方程為＋＝1. 答案：＋＝1 5．(2010·高考廣東卷改編)若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數列，則該橢圓的離心率是________． 解析：由題意有2a＋2c＝2(2b)，即a＋c＝2b，又c2＝a2－b2，消去b整理得5c2＝3a2－2ac，即5e2＋2e－3＝0，∴e＝或e＝－1(舍去)．

3、 答案： 6．設橢圓＋＝1(m＞1)上一點P到其左焦點的距離為3，到右焦點的距離為1，則P到右準線的距離為________． 解析：∵m2＞m2－1，∴m2＝a2，m2－1＝b2. ∴c2＝1.又3＋1＝2a?a＝2， ∴dp－l右＝＝＝2. 答案：2 7．動圓C和定圓C1：x2＋(y－4)2＝64內切而和定圓C2：x2＋(y＋4)2＝4外切則動圓圓心的軌跡方程為________． 解析：如圖，該動圓圓心為C(x，y)，半徑為r，由已知得： |CC1|＝8－r，　① |CC2|＝2＋r?、? ①＋②得： |CC1|＋|CC2|＝10， ∴點C的軌跡是以C1、C2為焦點

4、的橢圓， 其中2a＝10,2c＝8. ∴a＝5，c＝4，b＝3. ∴動圓圓心的軌跡方程為＋＝1. 答案：＋＝1 8．如圖所示，橢圓中心為O，F是焦點，A為頂點，準線l交OA延長線于B，P、Q在橢圓上，且PD⊥l于D，QF⊥OA于F，則橢圓離心率為： ①；②；③；④；⑤.上述離心率正確的個數是______． 解析：觀察圖形知，F為左焦點，則l必為左準線，由橢圓的第二定義知： ＝e，又QF⊥BF， ∴Q到l的距離d＝|BF|， 而＝e；＝＝＝e， ＝＝e；＝＝e. 故以上五個比值均可以作為橢圓的離心率． 答案：5 二、解答題 9．如圖，橢圓E：＋＝1(a＞

5、b＞0)的左、右焦點分別為F1，F2，點A(4，m)在橢圓E上，且·＝0，點D(2，0)到直線F1A的距離DH＝. (1)求橢圓E的方程； (2)設點P為橢圓E上的任意一點，求·的取值范圍． 解：(1)由題意知c＝4，F1(－4,0)，F2(4,0)． ∵sin∠AF1F2＝＝，DH＝，DF1＝6， 又∵·＝0，∴AF2＝，AF1＝2a－. ∴＝.則a2＝b2. 由b2＋c2＝a2，得b2＋16＝b2. ∴b2＝48，a2＝64. ∴橢圓E的方程為＋＝1. (2)設點P(x，y)，則＋＝1， 即y2＝48－x2. ∵＝(－4－x，－y)，＝(2－x，－y)， ∴·＝x

6、2＋y2＋2x－8 ＝x2＋2x＋40＝(x＋4)2＋36. ∵－8≤x≤8， ∴·的取值范圍是[36,72]． 10．設橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦點為F，上頂點為A，過點A與AF垂直的直線分別交橢圓C與x軸正半軸于點P，Q，且＝. (1)求橢圓C的離心率； (2)若過A，Q，F三點的圓恰好與直線l：x＋y＋3＝0相切，求橢圓C的方程． 解：(1)∵kAF＝，∴kAQ＝－，∴AQ：y＝－x＋b.∴點Q. 又A(0，b)，設P(x0，y0)，則由＝，得(x0，y0－b)＝，∴代入＋＝1，得＋＝1，解得e＝＝. (2)由(1)，知c＝，b＝a，∴橢圓方程為＋＝1，即3

7、x2＋4y2＝3a2. 此時，A，Q，F. ∴FQ的中點坐標為. 此即過A，Q，F三點的圓的圓心，它的半徑r＝　，又r＝， 因此＝　，∴a＝2，b＝，故橢圓C的方程為＋＝1. [B級　能力提升] 一、填空題 1．已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)，A(2,0)為長軸的一個端點，弦BC過橢圓的中心O，且·＝0，|－|＝2|－|，則橢圓的方程為________． 解析：∵|－|＝2|－|， ∴||＝2||，又·＝0， ∴⊥，∴△AOC為等腰直角三角形． 又|OA|＝2，∴C點的坐標為(1,1)或(1，－1)， ∵C點在橢圓上，∴＋＝1，又a2＝4，∴b2＝， ∴橢圓方程為＋＝1

8、. 答案：＋＝1 2．(2012·蘇北五市調研)已知橢圓＋＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1(－c,0)，F2(c,0)，若橢圓上存在點P(異于長軸的端點)，使得csin∠PF1F2＝asin∠PF2F1，則該橢圓離心率的取值范圍是________． 解析：由題意＝＝?＝?PF2＝，因為a－c＜PF2＜a＋c?a－c＜＜a＋c?1－e＜＜1＋e，又0＜e＜1，所以－1＜e＜1. 答案：(－1,1) 3．已知橢圓＋＝1內有一點P(1，－1)，F為橢圓右焦點，在橢圓上有一點M，使|MP|＋2|MF|取得最小值，則點M的坐標為________． 解析： 如右圖所示，l為橢

9、圓的右準線，過點M作準線的垂線，垂足為M′. 由橢圓的方程易知e＝， ∴＝， 即|MM′|＝2|MF|， 從而求|MP|＋2|MF|的最小值問題，便轉化為求|MP|＋|MM′|的最小值問題． 易知當M、P、M′三點共線時，其和取最小值，即：由點P向準線l作垂線，則與橢圓的交點即為所求的點M. ∴點M的縱坐標為－1，代入橢圓的方程，有＋＝1，∴x2＝. 由于點M在y軸的右側， ∴x＝. 從而點M的坐標為. 答案： 4．我們把由半橢圓＋＝1(x≥0)與半橢圓＋＝1(x＜0)合成的曲線稱作“果圓”(其中a2＝b2＋c2，a＞b＞c＞0)．如圖，設點F0，F1，F2是相應橢圓

10、的焦點，A1，A2和B1，B2是“果園”與x，y軸的交點，若△F0F1F2是邊長為1的等邊三角形，則a，b的值分別為________． 解析：由已知|F1F2|＝2＝1，又因為△F0F1F2是邊長為1的等邊三角形， 所以cos30°＝，即c2＝b2，解得b＝1，c2＝. 所以a2＝，a＞0，所以a＝. 答案：，1 二、解答題 5．(2012·南通質檢)設A、B是橢圓3x2＋y2＝λ上不同的兩點，點N(1,3)是線段AB的中點，線段AB的垂直平分線與橢圓交于C、D兩點． (1)確定λ的取值范圍，并求直線AB的方程； (2)求以線段CD的中點M為圓心且與直線AB相切的圓的方程．

11、解：(1)法一：依題意，顯然直線AB的斜率存在，故可設直線AB的方程y＝k(x－1)＋3，代入3x2＋y2＝λ，整理得(k2＋3)x2－2k(k－3)x＋(k－3)2－λ＝0.① 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1、x2是方程①的兩個不同的實根， 所以Δ＝4[λ(k2＋3)－3(k－3)2]＞0，② 且x1＋x2＝， 由N(1,3)是線段AB的中點，得＝1， 所以k(k－3)＝k2＋3，解得k＝－1， 代入②得，λ＞12， 即λ的取值范圍是(12，＋∞)． 直線AB的方程為y－3＝－(x－1)，即x＋y－4＝0. 法二：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有?3

12、(x1－x2)(x1＋x2)＋(y1－y2)(y1＋y2)＝0. 依題意，x1≠x2， 所以kAB＝＝－. 因為N(1,3)是線段AB的中點，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝6，從而kAB＝－1. 又N(1,3)在橢圓內，所以λ＞3×12＋32＝12， 所以λ的取值范圍是(12，＋∞)． 直線AB的方程為y－3＝－(x－1)，即x＋y－4＝0. (2)因為線段CD垂直平分線段AB，所以線段CD所在的直線方程為y－3＝x－1，即x－y＋2＝0， 代入橢圓方程，整理得4x2＋4x＋4－λ＝0，③ 設C(x3，y3)，D(x4，y4)， 線段CD的中點為M(x0，y0)， 則x

13、3、x4是方程③的兩個不同的根， 所以x3＋x4＝－1， 且x0＝(x3＋x4)＝－，y0＝x0＋2＝， 故M. 又M到直線AB的距離d＝＝， 所以以線段CD的中點M為圓心且與直線AB相切的圓的方程為：2＋2＝. 6．(2012·南京調研)已知直線l：x＝my＋1過橢圓C：＋＝1的右焦點F，拋物線x2＝4y的焦點為橢圓C的上頂點，且直線l交橢圓C于A、B兩點，點A、F、B在直線g：x＝4上的射影依次為點D、K、E. (1)求橢圓C的方程； (2)若直線l交y軸于點M，且＝λ1，＝λ2，當m變化時，探求λ1＋λ2的值是否為定值？若是，求出λ1＋λ2的值，否則，說明理由； (3)

14、連結AE、BD，試探索當m變化時，直線AE與BD是否相交于定點？若是，請求出定點的坐標，并給予證明；否則，說明理由． 解：(1)由題知橢圓右焦點為F(1,0)，∴c＝1，拋物線x2＝4y的焦點坐標為(0，)，∴b＝，∴b2＝3. ∴a2＝b2＋c2＝4. ∴橢圓C的方程為＋＝1. (2)由題，知m≠0，且直線l與y軸交于點M. 設直線l交橢圓于A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由?(3m2＋4)y2＋6my－9＝0， ∴Δ＝(6m)2＋36(3m2＋4)＝144(m2＋1)＞0， ∴y1＋y2＝－，y1·y2＝－. 又∵＝λ1， ∴＝λ1(1－x1，－y1)， ∴λ1

15、＝－1－， 同理λ2＝－1－. ∴λ1＋λ2＝－2－. 又∵＋＝＝－×＝， ∴λ1＋λ2＝－2－＝－2－·＝－. 所以，當m變化時，λ1＋λ2為定值，定值為－. (3)先觀察，當m＝0時，直線l⊥x軸，則ABED為矩形，由對稱性知，AE與BD相交于FK的中點N，且N，猜想當m變化時，AE與BD相交于定點N. 當m≠0時，由(2)知A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∴D(4，y1)，E(4，y2)， 則直線AE的方程為lAE：y－y2＝·(x－4)， 當x＝時，y＝y2＋· ＝ ＝ ＝ ＝＝0. ∴點N在直線AE上， 同理可證，點N也在直線BD上， ∴當m變化時，AE與BD相交于定點N.