《2012年高考數(shù)學 考點9 函數(shù)與方程、函數(shù)模型及其應用》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2012年高考數(shù)學 考點9 函數(shù)與方程、函數(shù)模型及其應用（5頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、考點9 函數(shù)與方程、函數(shù)模型及其應用 一、選擇題 1.（2012·湖北高考理科·Ｔ9）函數(shù)f（x）=xcosx2在區(qū)間[0,4]上的零點個數(shù)為 A.4 B.5 C.6 D.7 【解題指南】本題考查函數(shù)零點的定義,轉化成求方程根的個數(shù)問題。 本題考查基本不等式的應用,解答本題的關鍵把條件的左邊通分利用基本不等式證明. 【解析】選C.由函數(shù)f（x）=xcosx2=0在區(qū)間[0,4]上的解有 ，共6個零點。 2.（2012·湖北高考文科·Ｔ3）函數(shù)f(x)=xcos2x在區(qū)間[0,2π]上的零點個數(shù)為（ ） A.2

2、 B.3 C.4 D.5 【解題指南】解答本題可先求導數(shù)，轉化成求方程根的個數(shù)問題，最后再利用方程與函數(shù)的思想求解. 【解析】選D. f(x)=xcos2x是由y＇=x與y″=cos2x,相乘構成的函數(shù),當x=0時,y＇=0,此時f(x)=0,y″=1當0

3、的零點個數(shù)問題轉化為方程解的個數(shù)問題，再轉化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)。 【解析】選B.函數(shù)f（x）＝的零點個數(shù)，是方程的解的個數(shù)，是方程的解的個數(shù)，也就是函數(shù)與的交點個數(shù)。在同一坐標系中作出兩個函數(shù)的圖象，可得交點個數(shù)為1個。 4.（2012·天津高考理科·Ｔ4）函數(shù)在區(qū)間（0,1）內的零點個數(shù)是 （ ） (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【解題指南】先判斷函數(shù)的單調性，再確定零點。 【解析】選B。因為＞0，所以函數(shù)在（0,1）上遞增，且所以有1個零點。 二、填空題 5.（2012·福建高考理科·Ｔ15）對于實數(shù)和，定義運算“﹡”：，設，且關于

4、的方程為，恰有三個互不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是_______． 【解題指南】根據(jù)新定義，得到一個分段的二次函數(shù)式，通過圖角找出三個實根的具體位置，同時結合運用根與二次方程系數(shù)的關系進行求解 【解析】當x≤0時,(2x-1)≤x-1, 則f(x)=(2x-1)*(x-1)=(2x-1)2-(2x-1)(x-1)=2x2-x, 當x>0時,2x-1>x-1, 則f(x)=(2x-1)*(x-1)=(x-1)2-(2x-1)(x-1)=-x2+x. 畫圖, 可知當m∈時,f(x)=m(m∈R)恰有三個互不相等的實數(shù)根x1,x2,x3(x1

5、程-x2+x-m=0的根, x1是方程2x2-x-m=0的一個根, 則，， 所以 顯然，該式隨m的增大而減小，因此， 當m=0時，；當時， ． 【答案】. 三、解答題 6.（2012·上海高考理科·T21）海事救援船對一艘失事船進行定位：以失事船的當前位置為原點，以正北方向為軸正方向建立平面直角坐標系（以1海里為單位長度），則救援船恰好在失事船正南方向12海里處，如圖．現(xiàn)假設：①失事船的移動路徑可視為拋物線；②定位后救援船即刻沿 直線勻速前往救援；③救援船出發(fā)小時后，失事船所在位置的橫坐標為． （1）當時，寫出失事船所在位置的縱坐標．若此時兩船恰好會合，求救援船速度的大小和

6、方向； （2）問救援船的時速至少是多少海里才能追上失事船？ 【解題指南】本題考察圓錐曲線中的拋物線知識，以及不等式中的均值不等式知識，更考察考生的識圖能力。 【解析】（1）時，P的橫坐標xP=，代入拋物線方程中，得P的縱坐標yP=3.由|AP|=，得救援船速度的大小為海里/時.由tan∠OAP=，得∠OAP=arctan，故救援船速度的方向為北偏東arctan弧度. （2）設救援船的時速為海里，經過小時追上失事船，此時位置為.由，整理得.因為，當且僅當=1時等號成立，所以，即.因此，救援船的時速至少是25海里

7、才能追上失事船. 7.（2012·湖南高考理科·Ｔ20）某企業(yè)接到生產3000臺某產品的A，B，Ｃ三種部件的訂單，每臺產品需要這三種部件的數(shù)量分別為２,２,１（單位：件）。已知每個工人每天可生產Ａ部件６件，或Ｂ部件３件，或Ｃ部件２件。該企業(yè)計劃安排２００名工人分成三組分別生產這三種部件，生產Ｂ部件的人數(shù)與生產Ａ部件的人數(shù)成正比，比例系數(shù)為Ｋ（Ｋ為正整數(shù)）。 （Ⅰ）設生產Ａ部件的人數(shù)為ｘ，分別寫出完成Ａ，Ｂ，Ｃ三種部件生產需要的時間； （Ⅱ）假設這三種部件的生產同時開工，試確定正整數(shù)Ｋ的值，使完成訂單任務的時間最短，并給出時間最短時具體的人數(shù)分組方案。 【解題指南】本題為函數(shù)的應用題，考

8、查分段函數(shù)、函數(shù)單調性、最值等，考查運算能力及用數(shù)學知識分析解決實際應用問題的能力.第一問建立函數(shù)模型；第二問利用單調性與最值來解決，體現(xiàn)分類討論思想. 【解析】（Ⅰ）設完成A,B,C三種部件的生產任務需要的時間（單位：天）分別為由題設有 其中均為1到200之間的正整數(shù). （Ⅱ）完成訂單任務的時間為其定義域為 易知，為減函數(shù)，為增函數(shù).注意到 于是 （1）當k=2時， 此時 ， 由函數(shù)的單調性知，當時取得最小值，解得 .由于. 故當時完成訂單任務的時間最短，且最短時間為. （2）當k>2時，由于為正整數(shù)，故，此時 ，記易知為增函數(shù)，則. 由函數(shù)的單調性知，當時取得最小值，解得.由于 此時完成訂單任務的最短時間大于. （3）當k<2時，由于為正整數(shù)，故，此時由函數(shù)的單調性知，當時取得最小值，解得.類似（1）的討論.此時完成訂單任務的最短時間為，大于.綜上所述，當k=2時完成訂單任務的時間最短，此時生產Ａ，Ｂ，Ｃ三種部件的人數(shù)分別為44,88,68.