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湖南省2013年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 專題七 概率與統(tǒng)計第2講 概率、統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 理

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湖南省2013年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 專題七 概率與統(tǒng)計第2講 概率、統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 理_第1頁
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1、專題七 概率與統(tǒng)計第2講 概率、統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 真題試做 1.(2012·山東高考,理4)采用系統(tǒng)抽樣方法從960人中抽取32人做問卷調(diào)查.為此將他們隨機編號為1,2,…,960,分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為9.抽到的32人中,編號落入?yún)^(qū)間[1,450]的人做問卷A,編號落入?yún)^(qū)間[451,750]的人做問卷B,其余的人做問卷C.則抽到的人中,做問卷B的人數(shù)為(  ). A.7 B.9 C.10 D.15 2.(2012·陜西高考,理6)從甲乙兩個城市分別隨機抽取16臺自動售貨機,對其銷售額進行統(tǒng)計,統(tǒng)計數(shù)據(jù)用莖葉圖表示(如圖所示).設(shè)甲乙

2、兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為甲,乙,中位數(shù)分別為m甲,m乙,則(  ). A.甲<乙,m甲>m乙 B.甲<乙,m甲<m乙 C.甲>乙,m甲>m乙 D.甲>乙,m甲<m乙 3.(2012·湖南高考,理15)函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的部分圖象如圖所示,其中,P為圖象與y軸的交點,A,C為圖象與x軸的兩個交點,B為圖象的最低點. (1)若φ=,點P的坐標(biāo)為,則ω=__________; (2)若在曲線段與x軸所圍成的區(qū)域內(nèi)隨機取一點,則該點在△ABC內(nèi)的概率為__________. 4.(2012·湖北高考,理20)根據(jù)以往的經(jīng)驗,某工程

3、施工期間的降水量X(單位:mm)對工期的影響如下表: 降水量X X<300 300≤X<700 700≤X<900 X≥900 工期延誤天數(shù)Y 0 2 6 10 歷年氣象資料表明,該工程施工期間降水量X小于300,700,900的概率分別為0.3,0.7,0.9.求: (1)工期延誤天數(shù)Y的均值與方差; (2)在降水量X至少是300的條件下,工期延誤不超過6天的概率. 考向分析 概率部分主要考查了概率的概念、條件概率、互斥事件的概率加法公式、對立事件的求法,以及古典概型與幾何概型的計算,均屬容易題.統(tǒng)計部分選擇、填空都是獨立考查本節(jié)知識,解答題均與概率的分布列綜合

4、.預(yù)測下一步概率部分會更加注重實際問題背景,考查分析、推理能力,統(tǒng)計部分在直方圖、莖葉圖、相關(guān)性部分都可單獨命題,且多為一個小題,解答題仍會與分布列結(jié)合. 熱點例析 熱點一 隨機事件的概率 (2012·江西高考,理18)如圖,從A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,1,0),B2(0,2,0),C1(0,0,1),C2(0,0,2)這6個點中隨機選取3個點,將這3個點及原點O兩兩相連構(gòu)成一個“立體”,記該“立體”的體積為隨機變量V(如果選取的3個點與原點在同一個平面內(nèi),此時“立體”的體積V=0). (1)求V=0的概率; (2)求V的分布列及數(shù)學(xué)期望E(V).

5、 規(guī)律方法 高考中,概率解答題一般有兩大方向.一、以頻率分布直方圖為載體,考查統(tǒng)計學(xué)中常見的數(shù)據(jù)特征:如平均數(shù)、中位數(shù)、頻數(shù)、頻率等或古典概型;二、以應(yīng)用題為載體,考查條件概率、獨立事件的概率、隨機變量的期望與方差等.需要注意第一種方向的考查. 變式訓(xùn)練1 (2012·北京昌平二模,理16)某游樂場將要舉行狙擊移動靶比賽.比賽規(guī)則是:每位選手可以選擇在A區(qū)射擊3次或選擇在B區(qū)射擊2次,在A區(qū)每射中一次得3分,射不中得0分;在B區(qū)每射中一次得2分,射不中得0分.已知參賽選手甲在A區(qū)和B區(qū)每次射中移動靶的概率分別是和p(0

6、 (2)我們把在A、B兩區(qū)射擊得分的數(shù)學(xué)期望高者作為選擇射擊區(qū)的標(biāo)準(zhǔn),如果選手甲最終選擇了在B區(qū)射擊,求p的取值范圍. 熱點二 古典概型與幾何概型 例2 (2012·北京高考,理2)設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域為D.在區(qū)域D內(nèi)隨機取一個點,則此點到坐標(biāo)原點的距離大于2的概率是(  ). A.    B.    C.    D. 規(guī)律方法 較為簡單的問題可以直接使用古典概型公式計算,較為復(fù)雜的概率問題的處理方法:一是轉(zhuǎn)化為幾個互斥事件的和,利用互斥事件的加法公式進行求解;二是采用間接解法,先求事件A的對立事件的概率,再由P(A)=1-P()求事件A的概率. 變式訓(xùn)練2 (1

7、)在長為18 cm的線段AB上任取一點M,并以線段AM為邊作正方形,則這個正方形的面積介于36 cm2與81 cm2之間的概率為(  ). A. B. C. D. (2)先后拋擲兩枚均勻的正方體骰子(它們的六個面分別標(biāo)有點數(shù)1,2,3,4,5,6),骰子朝上的面的點數(shù)分別為X,Y,則log 2XY=1的概率為(  ). A. B. C. D. 熱點三 線性相關(guān) 例3 (2012·湖南高考,理4)設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位:kg)與身高x(單位:cm)具有線性相關(guān)關(guān)系,根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法

8、建立的回歸方程為=0.85x-85.71,則下列結(jié)論中不正確的是(  ). A.y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系 B.回歸直線過樣本點的中心(,) C.若該大學(xué)某女生身高增加1 cm,則其體重約增加0.85 kg D.若該大學(xué)某女生身高為170 cm,則可斷定其體重必為58.79 kg 規(guī)律方法 線性回歸的基本思想及應(yīng)用主要按以下步驟完成:①畫散點圖,檢驗是否線性相關(guān);②數(shù)據(jù)計算,求回歸方程;③利用回歸方程,進行科學(xué)預(yù)測. 變式訓(xùn)練3 假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費用y(萬元)有如下的統(tǒng)計資料: 使用年限x 2 3 4 5 6 維修費用y 2.2 3.

9、8 5.5 6.5 7.0 若由資料知y對x呈線性相關(guān)關(guān)系. 試求:(1)線性回歸方程的回歸系數(shù); (2)估計使用年限為10年時,維修費用是多少? 熱點四 獨立性檢驗 列4 為了普及環(huán)保知識,增強環(huán)保意識,某大學(xué)從理工類專業(yè)的A班和文史類專業(yè)的B班各抽取20名同學(xué)參加環(huán)保知識測試.兩個班同學(xué)的成績(百分制)的莖葉圖如圖所示: 按照大于或等于80分為優(yōu)秀,80分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計成績. (1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下面的2×2列聯(lián)表: 成績與專業(yè)列聯(lián)表 優(yōu)秀 非優(yōu)秀 總計 A班 20 B班 20 總計 40 (2)能否在犯錯誤的

10、概率不超過0.050的前提下,認(rèn)為環(huán)保知識測試成績與專業(yè)有關(guān)? 附:K2的觀測值k= P(K2≥k0) 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 規(guī)律方法 獨立性檢驗是指利用2×2列聯(lián)表,通過計算隨機變量K2來確定在多大程度上兩個分類變量有關(guān)系的方法.K2值越大,說明兩個分類變量X與Y有關(guān)系的可能性越大.要會用臨界值表判斷X與Y有關(guān)系的可信程度. 變式訓(xùn)練4 為調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助,用簡單隨機抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人,結(jié)果如下: (1)估計該地區(qū)老年人中,需要志愿者提供幫助的老年人的比例;

11、 (2)能否在犯錯誤的概率不超過0.010的前提下,認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)? 附: P(K2≥k0) 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828   K2的觀測值k=. 思想滲透 數(shù)形結(jié)合思想——解答統(tǒng)計問題 用數(shù)形結(jié)合思想解答的統(tǒng)計問題主要有: (1)通過頻率分布直方圖研究數(shù)據(jù)分布的總體趨勢. (2)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)散點圖確定兩個變量是否存在相關(guān)關(guān)系. 求解時注意的問題: (1)頻率分布直方圖中縱軸表示,每個小長方形的面積等于這一組的頻率. (2)在頻率分布直方圖中,組距是一個固定值,故各小長方形

12、高的比就是頻率之比. 下表給出了某校120名12歲男孩的身高資料.(單位:cm) 區(qū)間 界限 [122,126) [126,130) [130,134) [134,138) [138,142) 人數(shù) 5 8 10 22 33 區(qū)間 界限 [142,146) [146,150) [150,154) [154,158) 人數(shù) 20 11 6 5 (1)列出樣本的頻率分布表; (2)畫出頻率分布直方圖; (3)根據(jù)樣本的頻率分布圖,估計身高小于134 cm的人數(shù)約占總?cè)藬?shù)的百分比. 解:(1)頻率分布表如下:

13、 區(qū)間人數(shù) 頻數(shù) 頻率 [122,126) 5 [126,130) 8 [130,134) 10 [134,138) 22 [138,142) 33 [142,146) 20 [146,150) 11 [150,154) 6 [154,158) 5   (2)頻率分布直方圖如圖: (3)由圖估計,身高小于134 cm的學(xué)生數(shù)約占總數(shù)的19%. 1.某企業(yè)共有職工150人,其中高級職稱15人,中級職稱45人,初級職稱90人,現(xiàn)采用分層抽樣抽取容量為30的樣本,則抽取各職稱的人數(shù)分別為(  ). A.5,1

14、0,15 B.3,9,18 C.3,10,17 D.5,9,16 2.(2012·江西高考,理9)樣本(x1,x2,…,xn)的平均數(shù)為,樣本(y1,y2,…,ym)的平均數(shù)為(≠).若樣本(x1,x2,…,xn,y1,y2,…,ym)的平均數(shù)=α+(1-α),其中0<α<,則n,m的大小關(guān)系為(  ). A.nm C.n=m D.不能確定 3.(2012·安徽高考,理5)甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次,兩人成績的條形統(tǒng)計圖如圖所示,則(  ). A.甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù) B.甲的成績的中位數(shù)等

15、于乙的成績的中位數(shù) C.甲的成績的方差小于乙的成績的方差 D.甲的成績的極差小于乙的成績的極差 4.(2012·福建高考,理6)如圖所示,在邊長為1的正方形OABC中任取一點P,則點P恰好取自陰影部分的概率為(  ). A. B. C. D. 5.在抽查某產(chǎn)品的尺寸的過程中,將其尺寸分成若干組,[a,b]是其中一組,抽查出的個體數(shù)在該組上的頻率是m,該組在頻率分布直方圖上的高為h,則|a-b|等于(  ). A.h·m B. C. D.與m,h無關(guān) 6.設(shè)隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(3,4),若P(ξ<2a-3)=P(ξ>a+2),則

16、a的值為(  ). A. B. C.5 D.3 7.有一種密碼,明文是由三個字符組成,密碼是由明文對應(yīng)的五個數(shù)字組成,編碼規(guī)則如下表:明文由表中每一排取一個字符組成且第一排取的字符放在第一位,第二排取的字符放在第二位,第三排取的字符放在第三位,對應(yīng)的密碼由明文對應(yīng)的數(shù)字按相同的次序排列組成. 第一排 明文字符 A B C D 密碼字符 11 12 13 14 第二排 明文字符 E F G H 密碼字符 21 22 23 24 第三排 明文字符 M N P Q 密碼字符 1 2 3 4 設(shè)隨機變量ξ表

17、示密碼中不同數(shù)字的個數(shù). (1)求P(ξ=2); (2)求隨機變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望. 參考答案 命題調(diào)研·明晰考向 真題試做 1.C 解析:由題意可得,抽樣間隔為30,區(qū)間[451,750]恰好為10個完整的組,所以做問卷B的有10人,故選C. 2.B 解析:由題圖可得甲==21.562 5,m甲=20, 乙==28.562 5,m乙=29, 所以甲<乙,m甲<m乙. 故選B. 3.(1)3 (2) 解析:f(x)=sin(ωx+φ),f′(x)=ωcos(ωx+φ). (1)φ=時,f′(x)=ωcos. ∵f′(0)=,即ωcos=,∴ω=3. (2)當(dāng)ωx

18、+φ=時,x=; 當(dāng)ωx+φ=時,x=. 由幾何概型可知,該點在△ABC內(nèi)的概率為 P= = = = ==. 4.解:(1)由已知條件和概率的加法公式有: P(X<300)=0.3,P(300≤X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4, P(700≤X<900)=P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7=0.2. P(X≥900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1. 所以Y的分布列為: Y 0 2 6 10 P 0.3 0.4 0.2 0.1 于是,E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+

19、10×0.1=3; D(Y)=(0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2×0.2+(10-3)2×0.1=9.8. 故工期延誤天數(shù)Y的均值為3,方差為9.8. (2)由概率的加法公式,P(X≥300)=1-P(X<300)=0.7, 又P(300≤X<900)=P(X<900)-P(X<300)=0.9-0.3=0.6. 由條件概率,得P(Y≤6|X≥300)=P(X<900|X≥300)===. 故在降水量X至少是300 mm的條件下,工期延誤不超過6天的概率是. 精要例析·聚焦熱點 熱點例析 【例1】 解:(1)從6個點中隨機選取3個點總共有C36=20種取

20、法,選取的3個點與原點在同一個平面內(nèi)的取法有C13C34=12種,因此V=0的概率為P(V=0)==. (2)V的所有可能取值為0,,,,,因此V的分布列為 V 0 P 由V的分布列可得 E(V)=0×+×+×+×+×=. 【變式訓(xùn)練1】 解:(1)設(shè)“選手甲在A區(qū)射擊得0分”為事件M,“選手甲在A區(qū)射擊至少得3分”為事件N,則事件M與事件N為對立事件,P(M)=C30·0·3=, P(N)=1-P(M)=1-=. (2)設(shè)選手甲在A區(qū)射擊的得分為ξ,則ξ的可能取值為0,3,6,9. P(ξ=0)=3=;P(ξ=3)=C31··2=;

21、P(ξ=6)=C32·2·=; P(ξ=9)=3=. 所以ξ的分布列為 ξ 0 3 6 9 P ∴E(ξ)=0×+3×+6×+9×=. 設(shè)選手甲在B區(qū)射擊的得分為η,則η的可能取值為0,2,4. P(η=0)=(1-p)2;P(η=2)=C21·p·(1-p)=2p(1-p);P(η=4)=p2. 所以η的分布列為 η 0 2 4 P (1-p)2 2p(1-p) p2 ∴E(η)=0×(1-p)2+2·2p(1-p)+4·p2=4p. 根據(jù)題意,有E(η)>E(ξ), ∴4p>,∴

22、幾何概型,設(shè)所求事件為A,如圖所示,邊長為2的正方形區(qū)域為總度量μΩ,滿足事件A的是陰影部分區(qū)域μA,故由幾何概型的概率公式得:P(A)==. 【變式訓(xùn)練2】 (1)D 解析:AM的長介于6~9 cm之間,這是一個幾何概型,p==. (2)C 解析:總事件數(shù)為36種,而滿足條件的(X,Y)為(1,2),(2,4),(3,6),共3種情形.p==. 【例3】 D 解析:D選項中,若該大學(xué)某女生身高為170 cm,則可斷定其體重約為:0.85×170-85.71=58.79(kg). 故D不正確. 【變式訓(xùn)練3】 解:(1)制表如下: =4,=5, 2i=90,2i=140.78

23、,iyi=112.3 i 1 2 3 4 5 合計 xi 2 3 4 5 6 20 yi 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 25 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0 112.3 于是有===1.23; =-=5-1.23×4=0.08. (2)回歸直線方程為 =1.23x+0.08, 當(dāng)x=10年時, =1.23×10+0.08=12.3+0.08=12.38(萬元),即估計使用10年時,維修費用是12.38萬元. 【例4】 解:(1)成績與專業(yè)列聯(lián)表 優(yōu)秀 非優(yōu)秀 總計 A班 14 6

24、 20 B班 7 13 20 總計 21 19 40 (2)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),得到 k=≈4.912>3.841. 所以在犯錯誤的概率不超過0.050的前提下認(rèn)為環(huán)保知識測試成績與專業(yè)有關(guān). 【變式訓(xùn)練4】 解:(1)調(diào)查的500位老年人中有70位需要志愿者提供幫助,因此該地區(qū)老年人中,需要幫助的老年人的比例的估計值為14%. (2)K2的觀測值 k=≈9.967. 由于9.967>6.635,所以在犯錯誤的概率不超過0.010的前提下認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關(guān). 創(chuàng)新模擬·預(yù)測演練 1.B 解析:高級、中級、初級職稱的人數(shù)所占比例分別為=0.

25、1,=0.3,=0.6.故選B. 2.A 解析:由已知,得x1+x2+…+xn=n,y1+y2+…+ym=m, ===α+(1-α), 整理,得(-)[αm+(α-1)n]=0, ∵≠, ∴αm+(α-1)n=0,即=. 又0<α<,∴0<<1, ∴0<<1. 又n,mN+,∴n

26、為=. 5.C 解析:頻率分布直方圖中,=高度,所以|a-b|=,故選C. 6.A 解析:∵ξ~N(3,4),P(ξ<2a-3)=P(ξ>a+2),∴2a-3與a+2關(guān)于μ=3對稱, ∴=3,解得a=. 7.解:(1)密碼中不同數(shù)字的個數(shù)為2的事件為密碼中只有兩個數(shù)字,注意到密碼的第1,2列分別總是1,2,即只能取表格第1,2列中的數(shù)字作為密碼. ∴P(ξ=2)==. (2)由題意可知ξ的取值為2,3,4三種情形. 若ξ=3,注意表格的第一排總含有數(shù)字1,第二排總含有數(shù)字2,則密碼中只可能取數(shù)字1,2,3或1,2,4. ∴P(ξ=3)==. 若ξ=4,則P(ξ=4)==或P(ξ=4)=1--=, ∴ξ的分布列為: ξ 2 3 4 P ∴E(ξ)=2×+3×+4×=.

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