《山東省高中數(shù)學《第一章解三角形章末質(zhì)量評估 新人教A版必修5》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《山東省高中數(shù)學《第一章解三角形章末質(zhì)量評估 新人教A版必修5（7頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、高中新課程數(shù)學（新課標人教A版）必修五《第一章 解三角形章末質(zhì)量評估 (時間：100分鐘　滿分：120分) 一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．在△ABC中，a＝4，b＝4，角A＝30°，則角B等于 (　　)． A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120° 解析　根據(jù)正弦定理得，sin B＝＝＝. ∵b>a，∴B>A＝30°，∴B＝60°或120°. 答案　D 2．(2011·福州高二檢測)在△ABC中，a＝1，A＝30°，B＝60°，則b等

2、于 (　　)． A. B. C. D．2 解析　由正弦定理知＝，故＝，解之得b＝，故選C. 答案　C 3．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4，則cos C的值為 (　　)． A. B．－ C. D．－ 解析　由正弦定理及sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4知，a∶b∶c＝3∶2∶4，令a＝3x，則b＝2x，c＝4x(x>0)，根據(jù)余弦定理得，cos C＝＝＝－. 答案　D 4．在△ABC中，若＝＝，則△ABC是 (　　)． A．直角三角形 B．等

3、邊三角形 C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形 解析　由正弦定理，原式可化為＝＝， ∴tan A＝tan B＝tan C. 又∵A，B，C∈(0，π)，∴A＝B＝C. ∴△ABC是等邊三角形． 答案　B 5．已知銳角三角形的邊長分別為2,4，x，則x的取值范圍是 (　　)． A．1

4、 A. B. C. D. 解析　設(shè)長為4,5的兩邊的夾角為θ，由2x2＋3x－2＝0得：x＝，或x＝－2(舍)． ∴cos θ＝， ∴第三邊長為 ＝. 答案　B 7．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，則的值為 (　　)． A. B. C. D. 解析　由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A， 即72＝52＋AC2－10AC·cos 120°， ∴AC＝3.由正弦定理得＝＝. 答案　D 8．已知△ABC的三邊分別為a，b，c，且a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，則△ABC的外

5、接圓的直徑為 (　　)． A．4 B．5 C．5 D．6 解析　∵S△ABC＝acsin B，∴c＝4， 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B＝25，∴b＝5. 由正弦定理2R＝＝5(R為△ABC外接圓的半徑)，故選C. 答案　C 9．在△ABC中，AB＝3，A＝60°，AC＝4，則邊AC上的高是 (　　)． A. B. C. D．3 解析　∵A＝60°，∴sin A＝. ∴S△ABC＝AB·AC·sin A＝×3×4×＝3. 設(shè)邊AC上的高為h， 則S△ABC＝AC·h＝×4×h

6、＝3，∴h＝. 答案　B 10．(2011·龍山高二檢測)已知△ABC的三內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，設(shè)向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，則角C的大小為 (　　)． A. B. C. D. 解析　p∥q?(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，即c2－a2－b2＋ab＝0?＝＝cos C，∴C＝. 答案　B 二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線上) 11．在△ABC中，若B＝60°，a＝1，S△ABC＝，則＝________. 解析　把已知條件代入面積公式S△ABC＝acsin B

7、得c＝2. 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B＝3，∴b＝. 由正弦定理＝＝2. 答案　2 12．在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cos C＝，則BC＝________. 解析　設(shè)BC＝x，則根據(jù)余弦定理得， AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BCcos C， 即5＝25＋x2－2×5·x·， ∴x2－9x＋20＝0，∴x＝4或x＝5. 答案　4或5 13．(2011·洛陽高二檢測)在△ABC中，若b＝a，B＝2A，則△ABC為________三角形． 解析　由正弦定理知sin B＝sin A， 又∵B＝2A，∴sin 2A＝sin A， ∴2sin A

8、cos A＝sin A， ∴cos A＝，∴A＝45°，B＝90°. 故△ABC為等腰直角三角形． 答案　等腰直角 14．一船以每小時15 km的速度向東航行，船在A處看到一個燈塔B在北偏東60°，行駛4 h后，船到達C處，看到這個燈塔在北偏東15°，這時船與燈塔的距離為________ km. 解析　如圖，由已知條件， 得AC＝60 km，∠BAC＝30°， ∠ACB＝105°，∠ABC＝45°. 由正弦定理BC＝＝30 (km) 答案　30 三、解答題(本大題共5小題，共54分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 15．(10分)在△ABC中，角A，B，

9、C所對的邊分別是a，b，c，若sin2B＋sin2C＝sin2A＋sin B sin C，且·＝4，求△ABC的面積S. 解　由已知得b2＋c2＝a2＋bc， ∴bc＝b2＋c2－a2＝2bccos A， ∴cos A＝，sin A＝. 由·＝4，得bccos A＝4，∴bc＝8， ∴S＝bcsin A＝2. 16．(10分)為保障高考的公平性，高考時每個考點都要安裝手機屏蔽儀，要求在考點周圍1千米處不能收到手機信號，檢查員抽查青島市一考點，在考點正西約1.732千米有一條北偏東60°方向的公路，在此處檢查員用手機接通電話，以每小時12千米的速度沿公路行駛，問最長需要多少分鐘檢查

10、員開始收不到信號，并至少持續(xù)多長時間該考點才算合格？ 解　如圖所示，考點為A，檢查開始處為B，設(shè)公路上C，D 兩點到考點的距離為1千米． 在△ABC中，AB＝≈1.732(千米)，AC＝1(千米)，∠ABC＝ 30°， 由正弦定理sin∠ACB＝·AB＝， ∴∠ACB＝120°(∠ACB＝60°不合題意)， ∴∠BAC＝30°，∴BC＝AC＝1(千米)， 在△ACD中，AC＝AD，∠ACD＝60°， ∴△ACD為等邊三角形，∴CD＝1(千米)． ∵×60＝5，∴在BC上需5分鐘，CD上需5分鐘． 所以最長需要5分鐘檢查員開始收不到信號，并持續(xù)至少5分鐘才算合格． 17

11、．(10分)在△ABC中，若8·sin2－2cos 2A＝7. (1)求角A的大?。? (2)如果a＝，b＋c＝3，求b，c的值． 解　(1)∵＝－， ∴sin ＝cos ， ∴原式可化為8cos2－2cos 2A＝7， ∴4cos A＋4－2(2cos2A－1)＝7， ∴4cos2A－4cos A＋1＝0，解得cos A＝，∴A＝60°. (2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A， ∴b2＋c2－bc＝3. 又∵b＋c＝3，∴b＝3－c， 代入b2＋c2－bc＝3，并整理得c2－3c＋2＝0， 解之得c＝1或c＝2， ∴或 18．(12分)在△ABC中，若

12、sin(C－A)＝1，sin B＝. (1)求sin A的值； (2)設(shè)AC＝，求△ABC的面積． 解　(1)由sin(C－A)＝1知， C－A＝，且C＋A＝π－B， ∴A＝－， ∴sin A＝sin＝， ∴sin2A＝(1－sin B)＝， 又sin A>0，∴sin A＝. (2)由正弦定理得＝， ∴BC＝＝＝3， 由(1)知sin A＝，∴cos A＝. 又sin B＝，∴cos B＝. 又sin C＝sin(A＋B) ＝sin Acos B＋cos Asin B ＝×＋×＝， ∴S△ABC＝AC·BC·sin C＝××3×＝3. 19．(12分)在△A

13、BC中，已知sin B＝cos Asin C，·A＝9，又△ABC的面積等于6. (1)求C； (2)求△ABC的三邊之長． 解　(1)設(shè)三角形三內(nèi)角A，B，C對應(yīng)的三邊分別為a，b，c， ∵sin B＝cos Asin C， ∴cos A＝，由正弦定理有cos A＝， 又由余弦定理有cos A＝， ∴＝，即a2＋b2＝c2， 所以△ABC為Rt△ABC，且C＝90°. (2)又 ②÷①，得tan A＝＝，令a＝4k，b＝3k(k>0)， 則S△ABC＝ab＝6?k＝1， ∴三邊長分別為a＝4，b＝3，c＝5.