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1、9.2兩條直線的位置關(guān)系,,第九章平面解析幾何,,NEIRONGSUOYIN,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識 自主學習,題型分類 深度剖析,課時作業(yè),1,基礎(chǔ)知識 自主學習,PART ONE,,知識梳理,1.兩條直線的位置關(guān)系 (1)兩條直線平行與垂直 兩條直線平行： ()對于兩條不重合的直線l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1l2 . ()當直線l1，l2不重合且斜率都不存在時，l1l2. 兩條直線垂直： ()如果兩條直線l1，l2的斜率存在，設(shè)為k1，k2， 則有l(wèi)1l2 .,ZHISHISHULI,k1k2,,,,k1k21,()當其中一條直線的斜率不存在，而另一條的斜率為0

2、時，l1l2. (2)兩條直線的交點 直線l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，則l1與l2的交點坐標就是方程組,__________________的解.,2.幾種距離 (1)兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離|P1P2|_____________________. (2)點P0(x0，y0)到直線l：AxByC0的距離d________________. (3)兩條平行線AxByC10與AxByC20(其中C1C2)間的距離d _________.,【概念方法微思考】,1.若兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率有什么關(guān)系？,提示當兩條直線l1與l2的斜率都存

3、在時， 1；當兩條直線中一條直線的斜率為0，另一條直線的斜率不存在時，l1與l2也垂直.,2.應(yīng)用點到直線的距離公式和兩平行線間的距離公式時應(yīng)注意什么？,提示(1)將方程化為最簡的一般形式. (2)利用兩平行線之間的距離公式時，應(yīng)使兩平行線方程中x，y的系數(shù)分別對應(yīng)相等.,,,基礎(chǔ)自測,JICHUZICE,題組一思考辨析 1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”) (1)當直線l1和l2斜率都存在時，一定有k1k2l1l2.() (2)已知直線l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2，C2為常數(shù))，若直線l1l2，則A1A2B1B20.(),,

4、,,,,,1,2,3,4,5,6,7,,1,2,3,4,5,6,(4)直線外一點與直線上一點的距離的最小值就是點到直線的距離.() (5)若點A，B關(guān)于直線l：ykxb(k0)對稱，則直線AB的斜率等于 且線段AB的中點在直線l上.(),,,7,,1,2,3,4,5,6,題組二教材改編 2.P110B組T2已知點(a，2)(a0)到直線l：xy30的距離為1，則a等于,,7,,1,2,3,4,5,6,3.P101A組T10已知P(2，m)，Q(m，4)，且直線PQ垂直于直線xy10，則m___.,1,所以m1.,7,,1,2,3,4,5,6,4.P110B組T1若三條直線y2x，xy3，mx

5、2y50相交于同一點，則m的值為______.,所以點(1，2)滿足方程mx2y50， 即m12250，所以m9.,9,7,,1,2,3,4,5,6,題組三易錯自糾 5.直線2x(m1)y40與直線mx3y20平行，則m等于 A.2 B.3 C.2或3 D.2或3,,解析直線2x(m1)y40與直線mx3y20平行，,故m2或3.故選C.,7,6.直線2x2y10，xy20之間的距離是______.,,1,2,3,4,5,6,7,7.若直線(3a2)x(14a)y80與(5a2)x(a4)y70垂直，則a________.,解析由兩直線垂直的充要條件，得(3a2)(5a2)(14a)(a4)0

6、， 解得a0或a1.,0或1,,1,2,3,4,5,6,7,2,題型分類深度剖析,PART TWO,,題型一兩條直線的平行與垂直,例1已知直線l1：ax2y60和直線l2：x(a1)ya210. (1)試判斷l(xiāng)1與l2是否平行；,,師生共研,解方法一當a1時，l1：x2y60， l2：x0，l1不平行于l2； 當a0時，l1：y3， l2：xy10，l1不平行于l2；,綜上可知，當a1時，l1l2，a1時，l1與l2不平行.,方法二由A1B2A2B10，得a(a1)120， 由A1C2A2C10，得a(a21)160，,故當a1時，l1l2.,(2)當l1l2時，求a的值.,解方法一當a1時，

7、l1：x2y60，l2：x0， l1與l2不垂直，故a1不成立； 當a0時，l1：y3，l2：xy10，l1不垂直于l2， 故a0不成立； 當a1且a0時，,方法二由A1A2B1B20，得a2(a1)0，,(1)當直線方程中存在字母參數(shù)時，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況.同時還要注意x，y的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件. (2)在判斷兩直線平行、垂直時，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論.,跟蹤訓練1(1)(2012浙江)設(shè)aR，則“a1”是“直線l1：ax2y10與直線l2：x(a1)y40平行”的 A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要

8、條件 D.既不充分也不必要條件,即a2或a1， 所以a1是直線l1與直線l2平行的充分不必要條件.,,(2)已知兩條直線l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求滿足下列條件的a，b的值. l1l2，且直線l1過點(3，1)；,解l1l2，a(a1)b0， 又直線l1過點(3，1)， 3ab40. 故a2，b2.,l1l2，且坐標原點到這兩條直線的距離相等.,解直線l2的斜率存在，l1l2， 直線l1的斜率存在.,又坐標原點到這兩條直線的距離相等， l1，l2在y軸上的截距互為相反數(shù)，,,題型二兩直線的交點與距離問題,,自主演練,1.若直線l與兩直線y1，xy70分別交于M，N兩點，且MN

9、的中點是P(1，1)，則直線l的斜率是,解析由題意，設(shè)直線l的方程為yk(x1)1，,,又因為MN的中點是P(1，1)，,2.若P，Q分別為直線3x4y120與6x8y50上任意一點，則|PQ|的最小值為,所以兩直線平行，將直線3x4y120化為6x8y240， 由題意可知|PQ|的最小值為這兩條平行直線間的距離，,,又交點位于第一象限，,而直線方程ykx2k1可變形為y1k(x2)， 表示這是一條過定點P(2，1)，斜率為k的動直線. 兩直線的交點在第一象限， 兩直線的交點必在線段AB上(不包括端點)， 動直線的斜率k需滿足kPA

10、x3y20，若在坐標平面內(nèi)存在一點P，使|PA||PB|，且點P到直線l的距離為2，則P點坐標為_________________.,解析設(shè)點P的坐標為(a，b). A(4，3)，B(2，1)， 線段AB的中點M的坐標為(3，2).,線段AB的垂直平分線方程為y2x3， 即xy50. 點P(a，b)在直線xy50上，ab50. 又點P(a，b)到直線l：4x3y20的距離為2，,(1)求過兩直線交點的直線方程的方法 先求出兩直線的交點坐標，再結(jié)合其他條件寫出直線方程. (2)利用距離公式應(yīng)注意：點P(x0，y0)到直線xa的距離d|x0a|，到直線yb的距離d|y0b|；

11、兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x，y的系數(shù)化為相等.,,題型三對稱問題,命題點1點關(guān)于點中心對稱 例2過點P(0，1)作直線l，使它被直線l1：2xy80和l2：x3y100截得的線段被點P平分，則直線l的方程為______________.,,多維探究,解析設(shè)l1與l的交點為A(a，82a)， 則由題意知，點A關(guān)于點P的對稱點B(a，2a6)在l2上， 代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4， 即點A(4，0)在直線l上， 所以直線l的方程為x4y40.,x4y40,命題點2點關(guān)于直線對稱 例3如圖，已知A(4，0)，B(0，4)，從點P(2，0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射

12、到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到P點，則光線所經(jīng)過的路程是,,解析直線AB的方程為xy4，點P(2，0)關(guān)于直線AB的對稱點為D(4，2)，,關(guān)于y軸的對稱點為C(2，0)，,命題點3直線關(guān)于直線的對稱問題 例4直線2xy30關(guān)于直線xy20對稱的直線方程是______________.,解析設(shè)所求直線上任意一點P(x，y)， 則P關(guān)于xy20的對稱點為P(x0，y0)，,x2y30,由點P(x0，y0)在直線2xy30上， 2(y2)(x2)30， 即x2y30.,解決對稱問題的方法 (1)中心對稱,直線關(guān)于點的對稱可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于點的對稱問題來解決.,(2)軸對稱 點A(a，b)關(guān)于

13、直線AxByC0(B0)的對稱點A(m，n)， 直線關(guān)于直線的對稱可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱問題來解決.,跟蹤訓練2(2018寧波模擬)已知直線l：3xy30，求： (1)點P(4，5)關(guān)于l的對稱點；,解設(shè)P(x，y)關(guān)于直線l：3xy30的對稱點為P(x，y)，,又PP的中點在直線3xy30上，,把x4，y5代入得x2，y7， 點P(4，5)關(guān)于直線l的對稱點P的坐標為(2，7).,(2)直線xy20關(guān)于直線l對稱的直線方程；,解用分別代換xy20中的x，y，,化簡得7xy220.,(3)直線l關(guān)于(1，2)的對稱直線.,解在直線l：3xy30上取點M(0，3)， 關(guān)于(1，2)的對稱點M

14、(x，y)，,l關(guān)于(1，2)的對稱直線平行于l，k3， 對稱直線方程為y13(x2)， 即3xy50.,在求解直線方程的題目中，可采用設(shè)直線系方程的方式簡化運算，常見的直線系有平行直線系，垂直直線系和過直線交點的直線系. 一、平行直線系 由于兩直線平行，它們的斜率相等或它們的斜率都不存在，因此兩直線平行時，它們的一次項系數(shù)與常數(shù)項有必然的聯(lián)系. 例1求與直線3x4y10平行且過點(1，2)的直線l的方程.,,思想方法,SIXIANGFANGFA,,,,妙用直線系求直線方程,解由題意，設(shè)所求直線方程為3x4yc0(c1)， 又因為直線過點(1，2)， 所以3142c0，解得c11. 因此，所求

15、直線方程為3x4y110.,二、垂直直線系 由于直線A1xB1yC10與A2xB2yC20垂直的充要條件為A1A2B1B20.因此，當兩直線垂直時，它們的一次項系數(shù)有必然的聯(lián)系.可以考慮用直線系方程求解. 例2求經(jīng)過A(2，1)，且與直線2xy100垂直的直線l的方程.,解因為所求直線與直線2xy100垂直， 所以設(shè)該直線方程為x2yC0， 又直線過點A(2，1)， 所以有221C0，解得C0， 即所求直線方程為x2y0.,三、過直線交點的直線系 例3求經(jīng)過直線l1：3x2y10和l2：5x2y10的交點，且垂直于直線l3：3x5y60的直線l的方程.,解方法一將直線l1，l2的方程聯(lián)立，,即

16、直線l1，l2的交點為(1，2).,即5x3y10.,方法二由于ll3，所以可設(shè)直線l的方程是5x3yC0，將直線l1，l2的方程聯(lián)立，,即直線l1，l2的交點為(1，2)，則點(1，2)在直線l上， 所以5(1)32C0，解得C1， 所以直線l的方程為5x3y10.,方法三設(shè)直線l的方程為3x2y1(5x2y1)0， 整理得(35)x(22)y(1)0.,所以直線l的方程為5x3y10.,3,課時作業(yè),PART THREE,,基礎(chǔ)保分練,1.直線2xym0和x2yn0的位置關(guān)系是 A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.不能確定,解析直線2xym0的斜率k12，直線x2yn0的斜率k2 則

17、k1k2，且k1k21.故選C.,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,,2.(2018嘉興期末)點(1，0)到直線xy10的距離是,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,,3.(2018浙江嘉興一中月考)點P在直線l：xy10上運動，A(4，1)， B(2，0)，則|PA||PB|的最小值是,解析A(4，1)關(guān)于直線xy10的對稱點為A(2，3)， |PA||PB||PA||PB|，,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,,4.過點M(3，2)，且與直線x2y90平行

18、的直線方程是 A.2xy80 B.x2y70 C.x2y40 D.x2y10,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,,又所求直線過M(3，2)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,化為一般式得x2y10.故選D. 方法二由題意，設(shè)所求直線方程為x2yc0(c9)，將M(3，2)代入， 解得c1，所以所求直線為x2y10.故選D.,,5.若直線l1：xay60與l2：(a2)x3y2a0平行，則l1與l2之間的 距離為,解析l1l2，a2且a0，,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1

19、4,15,16,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6.已知直線l1：y2x3，直線l2與l1關(guān)于直線yx對稱，則直線l2的斜率為,解析直線y2x3與yx的交點為A(1，1)， 而直線y2x3上的點(0，3)關(guān)于yx的對稱點為B(3，0)， 而A，B兩點都在l2上，,,,7.(2018紹興調(diào)研)設(shè)直線l1：(a1)x3y2a0，直線l2：2x(a2)y10.若l1l2，則實數(shù)a的值為______，若l1l2，則實數(shù)a的值為_____.,解析由l1l2得2(a1)3(a2)0，故a ；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14

20、,15,16,4,,8.已知直線l過點P(3，4)且與點A(2，2)，B(4，2)等距離，則直線l的方程為___________________________.,解析顯然當直線l的斜率不存在時，不滿足題意； 設(shè)所求直線方程為y4k(x3)， 即kxy43k0，,2x3y180或2xy20,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所求直線l的方程為2xy20或2x3y180.,,9.(2018浙江嘉興一中月考)已知直線l1：axy60與l2：x(a2)ya10相交于點P，若l1l2，則a____，此時點P的坐標為________.,解析直線l1：axy60

21、與l2：x(a2)ya10相交于點P，且l1l2， a11(a2)0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,(3，3),易得x3，y3，P(3，3).,,10.(2018浙江杭州名校協(xié)作體月考)已知點A(0，1)，直線l1：xy10，直線l2：x2y20，則點A關(guān)于直線l1的對稱點B的坐標為________，直線l2關(guān)于直線l1的對稱直線的方程是_____________.,(2，1) 2xy50,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,,解析設(shè)B(x，y)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,1

22、2,13,14,15,16,設(shè)C(4，3)，由(1)得l2上的點A(0，1)關(guān)于直線l1的對稱點為B， 因此所求對稱直線過B，C兩點，,,11.已知方程(2)x(1)y2(32)0與點P(2，2). (1)證明：對任意的實數(shù)，該方程都表示直線，且這些直線都經(jīng)過同一定點，并求出這一定點的坐標；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解顯然2與(1)不可能同時為零， 故對任意的實數(shù)，該方程都表示直線. 方程可變形為2xy6(xy4)0，,故直線經(jīng)過的定點為M(2，2).,,證明過P作直線的垂線段PQ，由垂線段小于斜線段知|PQ||PM|，當且僅當Q與M重合時

23、，|PQ||PM|， 此時對應(yīng)的直線方程是y2x2，即xy40. 但直線系方程唯獨不能表示直線xy40，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,12.已知三條直線l1：2xya0(a0)；l2：4x2y10；l3：xy10，且l1與l2間的距離是 (1)求a的值；,又a0，解得a3.,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)能否找到一點P，使P同時滿足下列三個條件： 點P在第一象限；,,解假設(shè)存在點P，設(shè)點P(x0，y0). 若P

24、點滿足條件，則P點在與l1，l2平行的直線l：2xyc0上，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,若P點滿足條件，由點到直線的距離公式，,,即|2x0y03||x0y01|， 所以x02y040或3x020； 由于點P在第一象限，所以3x020不可能.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,技能提升練,,13.已知直線y2x是ABC中C的平分線所在的直線，若點A，B的坐標分別是(4，2)，(3，1)，則點C的坐標為 A.(2，4) B.(2，4) C.(2，4) D.(2，4),,1,2,3,4,5,6,7,8,

25、9,10,11,12,13,14,15,16,,解析設(shè)A(4，2)關(guān)于直線y2x的對稱點為(x，y)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,即3xy100. 同理可得點B(3，1)關(guān)于直線y2x的對稱點為(1，3)，,,即x3y100.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,則C(2，4).故選C.,,14.若三條直線y2x，xy3，mxny50相交于同一點，則點(m，n)到原點的距離的最小值為,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,,把(1，2)代入mxny50可得，m

26、2n50. m52n.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,當n2，m1時取等號.,拓展沖刺練,,15.數(shù)學家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半.這條直線被后人稱為三角形的歐拉線.已知ABC的頂點A(1，0)，B(0，2)，且ACBC，則ABC的歐拉線的方程為 A.4x2y30 B.2x4y30 C.x2y30 D.2xy30,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,,解析因為ACBC，所以歐拉線為AB的中垂線，,1,2,3,4,5,6,

27、7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,即2x4y30.,,16.在平面直角坐標系xOy中，將直線l沿x軸正方向平移3個單位長度，沿y軸正方向平移5個單位長度，得到直線l1.再將直線l1沿x軸正方向平移1個單位長度，沿y軸負方向平移2個單位長度，又與直線l重合.若直線l與直線l1關(guān)于點(2，4)對稱，求直線l的方程.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,,解由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為ykxb，將直線l沿x軸正方向平移3個單位長度， 沿y軸正方向平移5個單位長度，得到直線l1：yk(x3)5b， 將直線l1沿x軸正方向平移1個單位長度， 沿y軸負方向平移2個單位長度， 則平移后的直線方程為yk(x31)b52， 即ykx34kb，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,,即6x8y90.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,