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1、專題七 概率與統(tǒng)計第1講 計數(shù)原理、二項式定理 真題試做 1．(2012·浙江高考，理6)若從1,2,3，…，9這9個整數(shù)中同時取4個不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有( )． A．60種 B．63種 C．65種 D．66種 2．(2012·重慶高考，理4)8的展開式中常數(shù)項為( )． A. B. C. D．105 3．(2012·安徽高考，理7)(x2＋2)5的展開式的常數(shù)項是( )． A．－3 B．－2 C．2 D．3 4．(2012·浙江高考，理14)若將函數(shù)f(x)

2、＝x5表示為f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5為實數(shù)，則a3＝__________. 5．(2012·廣東高考，理10)6的展開式中x3的系數(shù)為__________．(用數(shù)字作答) 考向分析 高考中對本節(jié)注重基礎知識和基本解題方法、規(guī)律的考查，伴隨運算能力的考查，基本都為中等難度試題．預測下一步對排列組合會更加注重分類、分步計算原理的考查，注重與概率的聯(lián)系，更要加強對本節(jié)知識的理解深度；二項式定理的應用可能會對x的n次多項式(1＋ax)n的考查升溫，尤其是利用(1＋ax)n的展開式考查賦值思想． 熱點例析 熱點一

3、 分類加法和分步乘法計數(shù)原理 【例1】方程ay＝b2x2＋c中的a，b，c{－3，－2,0,1,2,3}，且a，b，c互不相同．在所有這些方程所表示的曲線中，不同的拋物線共有( )． A．60條 B．62條 C．71條 D．80條 規(guī)律方法“分類”與“分步”的區(qū)別：關鍵是看事件的完成情況，如果每種方法都能將事件完成是分類；如果必須要連續(xù)若干步才能將事件完成是分步，分類要用分類加法計數(shù)原理將種數(shù)相加；分步要用分步乘法計數(shù)原理將種數(shù)相乘． 變式訓練1(2012·安徽高考，理10)6位同學在畢業(yè)聚會活動中進行紀念品的交換，任意兩位同學之間最多交換一次，進行交換的兩位

4、同學互贈一份紀念品．已知6位同學之間共進行了13次交換，則收到4份紀念品的同學人數(shù)為( )． A．1或3 B．1或4 C．2或3 D．2或4 熱點二 求展開式中的指定項 【例2】在6的二項展開式中，常數(shù)項等于__________． 規(guī)律方法運用二項式定理一定要牢記通項Tr＋1＝Can－rbr，其中nN*，rN，r≤n.注意與(b＋a)n的展開式雖然相同，但其展開式中的某一項是不相同的，所以一定要注意順序問題． 變式訓練2若n的展開式中第3項與第7項的二項式系數(shù)相等，則該展開式中的系數(shù)為__________． 熱點三 求展開式中的各項系數(shù)的和 若(2x

5、＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，則(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值為( )． A．1 B．－1 C．0 D．2 規(guī)律方法求展開式中系數(shù)和問題，往往根據(jù)展開式的特點賦值． 變式訓練3若(2x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，則a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝__________. 思想滲透 分類討論思想在排列組合中的應用 由實際意義引起的分類討論在排列組合問題中比較常見，這是因為分類、分步是解決排列組合問題的兩個指導思想．一般采取先分類再分步的策略，分類時要先確定分類標準，是根據(jù)特殊元素來分

6、類還是根據(jù)特殊位置來分類，然后再解決每一類中的分步問題，最后匯總．在分類時注意標準的選取，做到不重不漏． 將數(shù)字1,2,3,4填入標號為1,2,3,4的四個方格里，每格填一個數(shù)字，則每個方格的標號與所填的數(shù)字均不同的填法有________種． 解析：分三類：第一格填2，則第二格有A種填法，第三、四格自動對號入座，不能自由排列； 第一格填3，則第三格有A種填法，第二、四格自動對號入座，不能自由排列； 第一格填4，則第四格有A種填法，第二、三格自動對號入座，不能自由排列； 共計有3A＝9種填法． 答案：9 1．(2012·天津高考，理5)在5的二項展開式中，x的系數(shù)為( )

7、． A．10 B．－10 C．40 D．－40 2．(1＋x)7的展開式中x2的系數(shù)是( )． A．42 B．35 C．28 D．21 3．(2012·陜西高考，理8)兩人進行乒乓球比賽，先贏3局者獲勝，決出勝負為止，則所有可能出現(xiàn)的情形(各人輸贏局次的不同視為不同情形)共有( )． A．10種 B．15種 C．20種 D．30種 4．(2012·山東高考，理11)現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各4張．從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張．不同取

8、法的種數(shù)為( )． A．232 B．252 C．472 D．484 5．(2012·遼寧高考，理5)一排9個座位坐了3個三口之家，若每家人坐在一起，則不同的坐法種數(shù)為( )． A．3×3! B．3×(3！)3 C．(3！)4 D．9! 6．設aZ，且0≤a<13，若512 012＋a能被13整除，則a＝( )． A．0 B．1 C．11 D．12 7．將字母a，a，b，b，c，c排成三行兩列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，則不同的排列方法共有( )． A．12種 B

9、．18種 C．24種 D．36種 8．一袋中有除顏色外其他均相同的6個球，其中3個黑球，紅、白、藍球各1個，現(xiàn)從中取出4個球排成一列，共有多少種不同的排法？ 參考答案 命題調研·明晰考向 真題試做 1．D 解析：和為偶數(shù)共有3種情況，取4個數(shù)均為偶數(shù)的取法有C44＝1(種)，取2奇數(shù)2偶數(shù)的取法有C42·C52＝60(種)，取4個數(shù)均為奇數(shù)的取法有C54＝5(種)，故不同的取法共有1＋60＋5＝66(種)． 2．B 解析：二項式8的通項為Tr＋1＝C8r()8－r(2)－r＝2－rC8rx，令＝0得r＝4，所以二項展開式的常數(shù)項為T5＝2－4C＝，故選B. 3．D

10、解析：5的通項為Tr＋1＝C5r5－r(－1)r＝(－1)rC5r.要使(x2＋2)5的展開式為常數(shù)，須令10－2r＝2或0，此時r＝4或5.故(x2＋2)5的展開式的常數(shù)項是(－1)4×C54＋2×(－1)5×C55＝3. 4．10 解析：由x5＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5可得， 可解得 5．20 解析：Tr＋1＝C6r(x2)r·6－r＝C6rx3r－6，∴要求展開式中x3的系數(shù)，即3r－6＝3，∴r＝3，即T4＝C63·x3＝20x3， ∴x3的系數(shù)為20. 精要例析·聚焦熱點 熱點例析 【例1】 B 解析：因為a，b不能為0，先確定a

11、，b的值有A52種，則c有C41種，即所形成的拋物線有A52C41＝80條．當b＝±2時，b2的值相同，重復的拋物線有C31C31＝9條；當b＝±3時，b2的值相同，重復的拋物線有C31C31＝9條，所以不同的拋物線共有A52C41－2 C31C31＝62條． 【變式訓練1】 D 解析：6人之間互相交換，總共有C62＝15種，而實際只交換了13次，故有2次未交換．不妨設為甲與乙、丙與丁之間未交換或甲與乙、甲與丙之間未交換，當甲與乙、丙與丁之間未交換時，甲、乙、丙、丁4人都收到4份禮物；當甲與乙、甲與丙之間未交換時，只有乙、丙兩人收到4份禮物，故選D. 【例2】 －160 解析：6的二項展開

12、式中的常數(shù)項為C63·(x)3·3＝－160. 【變式訓練2】 56 解析：∵Cn2＝Cn6，∴n＝8. Tr＋1＝C8rx8－rr＝C8rx8－2r， 當8－2r＝－2時，r＝5. ∴系數(shù)為C85＝56. 【例3】 A 解析：(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)(a0－a1＋a2－a3＋a4)＝(2＋)4·(2－)4＝1. 【變式訓練3】 1 創(chuàng)新模擬·預測演練 1．D 解析：Tr＋1＝C5r(2x2)5－rr＝(－1)r25－r C5rx10－3r， ∴當10－3r＝1時，r＝3. ∴(－1)325－3C53＝－40. 2．D 解

13、析：含x2的項是展開式中的第三項T3＝C72x2＝21x2，所以x2的系數(shù)是21. 3．C 解析：甲獲勝有三種情況，第一種共打三局，甲全勝，此時，有一種情形；第二種共打四局，甲第四局獲勝且前三局中只有兩局獲勝，此時，共有C32＝3種情形；第三種共打五局，甲第五局獲勝且前四局只有兩局獲勝，此時，共有C42＝6種情形，所以甲贏共有10種情況，同理乙贏也有10種情形，故選C. 4．C 解析：完成這件事可分為兩類，第一類3張卡片顏色各不相同共有C43C41C41C41＝256種；第二類3張卡片有兩張同色且不是紅色卡片共有C31C42C31C41＝216種，由分類加法計數(shù)原理得共有472種，故選C.

14、 5．C 解析：完成這件事可以分為兩步，第一步排列三個家庭的相對位置，有A33種排法；第二步排列每個家庭中的三個成員，共有A33A33A33種排法．由乘法原理可得不同的坐法種數(shù)有A33A33A33 A33，故選C. 6．D 解析：∵52能被13整除， ∴512 012可化為(52－1)2 012，其二項式系數(shù)為Tr＋1＝C2 012r522 012－r·(－1)r. 故(52－1)2 012被13除余數(shù)為C2 0122 012·(－1)2 012＝1，則當a＝12時，512 012＋12被13整除． 7．A 解析：當?shù)谝恍袨閍 b時，有和兩種情況， ∴當?shù)谝恍袨閍，b時，共有4種情況． 同理當?shù)谝恍袨閍，c時，共有4種情況； 當?shù)谝恍袨閎，c時，共有4種情況； ∴不同的排列方法共有12種． 8．解：分三類：若取1個黑球，和另三個球排4個位置，有A44＝24種不同的排法； 若取2個黑球，從另三個球中選2個排4個位置，2個黑球是相同的，自動進入，不需要排列，即有C32A42＝36種不同的排法； 若取3個黑球，從另三個球中選1個排4個位置，3個黑球是相同的，自動進入，不需要排列，即有C31A41＝12種不同的排法； 所以有24＋36＋12＝72種不同的排法．