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1、1.對數(shù)的概念 （1）對數(shù)的定義 一般地，如果 ,那么數(shù)x叫做以a為底N 的對數(shù)，記作 ,其中 叫做對數(shù)的底數(shù), 叫做真數(shù). （2）幾種常見對數(shù), 2.7 對數(shù)與對數(shù)函數(shù),要點梳理,ax=N(a0且a1),x=logaN,N,,a,,10,,e,logaN,,,,lgN,lnN,2.對數(shù)的性質(zhì)與運算法則 （1）對數(shù)的性質(zhì)： ;logaaN= (a0且a1). （2）對數(shù)的重要公式： 換底公式: (a,b均大于零且不等于1)； 推廣logablogbclogcd= . (3)對數(shù)的運算法則： 如果a0且a1,M0,N0,那么 loga(MN)= ;

2、 ; logaMn= (nR); ,N,N,logad,logaM+logaN,logaM-logaN,nlogaM,3.對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì),（0，+）,R,(1,0),1,0,,y0,y<0,y<0,y0,增,減,,,,,,,4.反函數(shù) 指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)y=logax互為 ,它們的圖象 關(guān)于直線 對稱. 1.(2008全國理,4)若x(e-1,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln3x， 則 （ ） A.a0.ab. c-a=t3-t=t(t2-1)=t(t+1)(t-1), 又-10, ca.cab.,反函數(shù),y=x,基礎(chǔ)自測,C,2.已知3a=5b=

3、A,且 則A的值是 （ ） A.15 B. C. D.225 解析 3a=5b=A,a=log3A,b=log5A, A2=15, 或 （舍去）.,B,3.已知log7log3(log2x)=0，那么 等于 （ ） A. B. C. D. 解析 由條件知log3(log2x)=1,log2x=3, Cx=8, ,C,4.(2009新鄭調(diào)研)若f(x)=logax在2，+）上恒有f(x)1,則實數(shù)a的取值范圍是（ ） A. B. C.（1，2） D. 解析 據(jù)題意a1,f(x)為增函數(shù)， 當(dāng)x2，+）時，f(x)loga2. 故要使f(x)1恒成立， 只

4、需f(x)min=loga21,1

5、2） （3） 【思維啟迪】利用對數(shù)定義求值;利用對數(shù)的運算性質(zhì). 解 （1）方法一 利用對數(shù)定義求值 設(shè) x=-1 ,題型一 對數(shù)的運算,方法二 利用對數(shù)的運算性質(zhì)求解,（3）原式 =,（2）原式,探究拓展 （1）在對數(shù)運算中，先利用冪的運算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后再運用對數(shù)運算法則化簡合并，在運算中要注意化同底和指數(shù)與對數(shù)互化. （2）熟練地運用對數(shù)的三個運算性質(zhì)并配以代數(shù)式的恒等變形是對數(shù)計算、化簡、證明常用的技巧.,比較下列各組數(shù)的大小. （1） （2）log1.10.7與log1.20.7； （3）已知 比較2b,2a,2c的大小關(guān)系.

6、【思維啟迪】（1）引入中間量比較； （2）利用對數(shù)函數(shù)圖象或利用換底公式； （3）利用對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解. 解 （1） 而,題型二 利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小,（2）方法一 0log0.71.1log0.71.2, 即由換底公式可得log1.10.7ac,而y=2x是增函數(shù)，2b2a2c.,探究拓展 比較對數(shù)式的大小，或證明等式問題是對數(shù)中常見題型，解決此類問題的方法很多，當(dāng)?shù)讛?shù)相同時可直接利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較；若底數(shù)不同，真數(shù)相同，可轉(zhuǎn)化為同底（利用換底公式）或利用對數(shù)函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合解得；若不同底，不同真數(shù)，則可利用中間量進(jìn)行比較.,（12分）已知函數(shù)f(x)=logax

7、 (a0,a1)，如果對于 任意x3，+）都有|f(x)|1成立，試求a的取值范圍. 【思維啟迪】當(dāng)x3，+）時，必有|f(x)|1成立,可 以理解為函數(shù)|f(x)|在區(qū)間3，+）上的最小值不小于1. 解 當(dāng)a1時，對于任意x3，+），都有f(x)0. 所以,|f(x)|=f(x),而f(x)=logax在3，+）上為增函數(shù)， 對于任意x3，+），有f(x)loga3. 4分 因此，要使|f(x)|1對于任意x3，+）都成立. 只要loga31=logaa即可，1

8、 8分 f（x）=logax在3，+）上為減函數(shù)， -f（x）在3，+）上為增函數(shù). 對于任意x3，+）都有 |f(x)|=-f(x)-loga3. 10分 因此，要使|f(x)|1對于任意x3，+）都成立， 只要-loga31成立即可， 綜上，使|f(x)|1對任意x3，+）都成立的a的取值范圍是：,探究拓展 本題屬于函數(shù)恒成立問題，即在x3，+）時，函數(shù)f(x)的絕對值恒大于等于1.恒成立問題一般有兩種思路：一是利用圖象轉(zhuǎn)化為最值問題；二是利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為最值問題.這里函數(shù)的底數(shù)為字母a,因此需對參數(shù)a分類討論.,已知過原點O的一條直線與函數(shù)y=log8x的圖象交

9、于 A、B兩點，分別過A、B作y軸的平行線與函數(shù)y=log2x的圖 象交于C、D兩點. （1）證明：點C、D和原點O在同一直線上； （2）當(dāng)BC平行于x軸時，求點A的坐標(biāo). 【思維啟迪】（1）證明三點在同一條直線上只需證明 kOC=kOD;(2)解方程組得x1,x2，代入解析式即可求解. （1）證明 設(shè)點A、B的橫坐標(biāo)分別為x1、x2, 由題設(shè)知x11,x21, 則點A、B的縱坐標(biāo)分別為log8x1、log8x2. 因為A、B在過點O的直線上，,題型四 對數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用,所以 點C、D的坐標(biāo)分別為(x1,log2x1)、(x2,log2x2), 由于 OC的斜率為 OD的斜率為 由此可知

10、k1=k2,即O、C、D在同一直線上.,(2)解 由于BC平行于x軸，知log2x1=log8x2， 即得 代入x2log8x1=x1log8x2，得 由于x11,知log8x10,故 又因x11,解得 于是點A的坐標(biāo)為 探究拓展 本題是典型的在知識交匯點處的命題，若用傳統(tǒng)方法設(shè)直線方程，解方程組求交點必然思路受阻，而充分利用函數(shù)圖象和性質(zhì)及解析幾何的思想方法會使問題迎刃而解.,方法與技巧 1.指數(shù)式ab=N與對數(shù)式logaN=b的關(guān)系以及這兩種形式的互化 是對數(shù)運算法則的關(guān)鍵. 2.在運算性質(zhì)logaMn=nlogaM時，要特別注意條件，在無M 0的條件下應(yīng)為logaMn=nloga|M|

11、(nN*且n為偶數(shù)). 3.注意對數(shù)恒等式、對數(shù)換底公式及等式 在解題中的靈活應(yīng)用.,失誤與防范 1.指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)y=logax（a0，且a1）互為反 函數(shù)，要能從概念、圖象和性質(zhì)三個方面理解它們之間的 聯(lián)系與區(qū)別. 2.在解決問題的思路和方法上，要注意與指數(shù)進(jìn)行比較. 3.比較兩個冪值的大小是一種常見的題型，也是一類容易做 錯的題目.解決這類問題時，首先要分清是底數(shù)相同還是指 數(shù)相同.如果底數(shù)相同，可利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；如果指 數(shù)相同，可利用圖象（如下表）,同一坐標(biāo)系下的圖象關(guān)系 當(dāng)?shù)状笥?時，底越大，圖象越靠近坐標(biāo)軸；當(dāng)?shù)仔∮?大于0時，底越小，圖象越靠近坐標(biāo)軸，

12、如果底數(shù)、指數(shù)都不同， 則要利用中間變量.,1.化簡求值. （1） （2）(lg2)2+lg2lg50+lg25； （3）（log32+log92）(log43+log83). 解 （1）原式 （2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25 =2lg2+lg25=lg100=2. (3）原式,2.已知0a1，b1，ab1,則 的大小 關(guān)系是 （ ） A. B. C. D. 解析 01, 又ab1,,C,3.已知函數(shù)f（x）=log2(x2-ax-a)在區(qū)間 上是單調(diào) 遞減函數(shù).求實數(shù)a的取值范圍. 解 令g(x)=x2-a

13、x-a,則 由以上知g(x）的圖象關(guān)于直線 對稱且此拋物線開口 向上.因為函數(shù)f(x)=log2g(x)的底數(shù)21, 在區(qū)間 上是減函數(shù)， 所以g(x)=x2-ax-a在區(qū)間 上也是單調(diào)減函數(shù)，且 g(x)0. 解得 故a的取值范圍是,4.已知函數(shù) （1）求f(x)的定義域； （2）求f(x)的值域. 解 （1）f(x)有意義時，有 由、得x1,由得x1,f(x)的定義域是(1,p). （2）f(x)=log2(x+1)(p-x),，,，,.,當(dāng) 即 p3時， 當(dāng) 即13時，f(x)的值域是（-,2log2(p+1)-2; 當(dāng)1

14、g2(p-1)).,1.若函數(shù)y=loga(x+b)(a0,且a1)的圖象過兩點（-1，0） 和（0，1），則 （ ） A.a=2,b=2 B. C.a=2,b=1 D. 解析 由題意得 求得 2.D,A,3.已知點（m,n)在函數(shù)f(x)=ax的圖象上，則下列哪個點一定 在函數(shù)g(x)=-logax (a0,a1)的圖象上 （ ） A.(n,m)B.(n,-m) C.(m,-n)D.(-m,n) 解析 f（x）=ax與y=logax互為反函數(shù)， 又(m,n)在f(x)=ax的圖象上， (n,m)在函數(shù)y=logax的圖象上. 又y=logax與g(x)=-logax關(guān)于x

15、軸對稱， （n,-m)在g(x)=-logax的圖象上.,B,4.（2009宜昌調(diào)研）函數(shù) 的遞增區(qū)間是 （ ） A. （-,1） B. (2,+) C.D. 解析 由x2-3x+20得x2, 當(dāng)x(-,1)時，f(x)=x2-3x+2單調(diào)遞減， 而 由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知 在（-,1)上是單調(diào)遞增的，而在（2,+)上是單調(diào)遞減 的.,A,5.D 6.B 7.（2008青島質(zhì)檢）計算 . 解析 原式 8.2,9.已知函數(shù)f(x)=loga(x+1)(a1),若函數(shù)y=g(x)圖象上任意一 點P關(guān)于原點對稱點Q的軌跡恰好是函數(shù)f(x)的圖象. (1)寫出函數(shù)

16、g(x)的解析式； (2)當(dāng)x0，1）時總有f(x)+g(x)m成立,求m的取值范 圍. 解 （1）設(shè)P（x，y）為g(x)圖象上任意一點， 則Q（-x，-y）是點P關(guān)于原點的對稱點， Q（-x，-y）在f(x)的圖象上， -y=loga（-x+1），即y=g(x)=-loga(1-x). （2）f(x)+g(x)m,即,,設(shè) 由題意知，只要F（x）minm即可. F（x）在0，1）上是增函數(shù)， F（x）min=F（0）=0.故m0即為所求. 10. 11.(1) (2) 12.(1) （-,-b）(b,+) (2)奇函數(shù) （3）當(dāng)01時，f(x)分別在(-,-b)和（b,+)上是減函數(shù).,返回,