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1、2013年高中數(shù)學(xué) 暑期特獻(xiàn) 重要知識(shí)點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)與微分 二、導(dǎo)數(shù)與微分 導(dǎo)數(shù)的概念 在學(xué)習(xí)到數(shù)的概念之前，我們先來(lái)討論一下物理學(xué)中變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度的問(wèn)題。例：設(shè)一質(zhì)點(diǎn)沿x軸運(yùn)動(dòng)時(shí)，其位置x是時(shí)間t的函數(shù)，，求質(zhì)點(diǎn)在t0的瞬時(shí)速度？我們知道時(shí)間從t0有增量△t時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的位置有增量 ，這就是質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間段△t的位移。因此，在此段時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平均速度為：.若質(zhì)點(diǎn)是勻速運(yùn)動(dòng)的則這就是在t0的瞬時(shí)速度，若質(zhì)點(diǎn)是非勻速直線運(yùn)動(dòng)，則這還不是質(zhì)點(diǎn)在t0時(shí)的瞬時(shí)速度。我們認(rèn)為當(dāng)時(shí)間段△t無(wú)限地接近于0時(shí)，此平均速度會(huì)無(wú)限地接近于質(zhì)點(diǎn)t0時(shí)的瞬時(shí)速度，即：質(zhì)點(diǎn)在t0時(shí)的瞬時(shí)速度=為此就產(chǎn)生了導(dǎo)數(shù)的定義，如

2、下： 導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在x0處有增量△x(x+△x也在該鄰域內(nèi))時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量，若△y與△x之比當(dāng)△x→0時(shí)極限存在，則稱這個(gè)極限值為在x0處的導(dǎo)數(shù)。記為： 還可記為：， 函數(shù)在點(diǎn)x0處存在導(dǎo)數(shù)簡(jiǎn)稱函數(shù)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，否則不可導(dǎo)。若函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，就稱函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)。這時(shí)函數(shù)對(duì)于區(qū)間(a,b)內(nèi)的每一個(gè)確定的x值，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)，這就構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)，我們就稱這個(gè)函數(shù)為原來(lái)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。 ??? 注：導(dǎo)數(shù)也就是差商的極限 左、右導(dǎo)數(shù) 前面我們有了左、右極限的概念，導(dǎo)數(shù)是差商的極限，因此我們可以給出左

3、、右導(dǎo)數(shù)的概念。若極限存在，我們就稱它為函數(shù)在x=x0處的左導(dǎo)數(shù)。若極限存在，我們就稱它為函數(shù)在x=x0處的右導(dǎo)數(shù)。 注：函數(shù)在x0處的左右導(dǎo)數(shù)存在且相等是函數(shù)在x0處的可導(dǎo)的充分必要條件 函數(shù)的和、差求導(dǎo)法則 函數(shù)的和差求導(dǎo)法則 ?? 法則：兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的和(差)的導(dǎo)數(shù)等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(差).用公式可寫為：。其中u、v為可導(dǎo)函數(shù)。 例題：已知，求 解答： 例題：已知，求 解答： 函數(shù)的積商求導(dǎo)法則 常數(shù)與函數(shù)的積的求導(dǎo)法則 法則：在求一個(gè)常數(shù)與一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的乘積的導(dǎo)數(shù)時(shí)，常數(shù)因子可以提到求導(dǎo)記號(hào)外面去。用公式可寫成： 例題：已知，求 解答： 函數(shù)的積的求

4、導(dǎo)法則 法則：兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)等于第一個(gè)因子的導(dǎo)數(shù)乘第二個(gè)因子，加上第一個(gè)因子乘第二個(gè)因子的導(dǎo)數(shù)。用公式可寫成： 例題：已知，求 解答： 注：若是三個(gè)函數(shù)相乘，則先把其中的兩個(gè)看成一項(xiàng)。 函數(shù)的商的求導(dǎo)法則 法則：兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)之商的導(dǎo)數(shù)等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母導(dǎo)數(shù)乘積減去分母導(dǎo)數(shù)與分子導(dǎo)數(shù)的乘積，在除以分母導(dǎo)數(shù)的平方。用公式可寫成： 例題：已知，求 解答： 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 在學(xué)習(xí)此法則之前我們先來(lái)看一個(gè)例子! 例題：求=? 解答：由于，故?? 這個(gè)解答正確嗎? 這個(gè)解答是錯(cuò)誤的，正確的解答應(yīng)該如下： 我們發(fā)生錯(cuò)誤的原因是是對(duì)自變量x求導(dǎo)，而不是對(duì)2x

5、求導(dǎo)。 下面我們給出復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)規(guī)則 規(guī)則：兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘上中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)。用公式表示為： ，其中u為中間變量 例題：已知，求 解答：設(shè),則可分解為,因此 注：在以后解題中，我們可以中間步驟省去。 例題：已知，求 ?? 解答： 反函數(shù)求導(dǎo)法則 根據(jù)反函數(shù)的定義，函數(shù)為單調(diào)連續(xù)函數(shù)，則它的反函數(shù),它也是單調(diào)連續(xù)的.為此我們可給出反函數(shù)的求導(dǎo)法則，如下(我們以定理的形式給出)： 定理：若是單調(diào)連續(xù)的，且，則它的反函數(shù)在點(diǎn)x可導(dǎo)，且有： 注：通過(guò)此定理我們可以發(fā)現(xiàn)：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于原函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒

6、數(shù)。注：這里的反函數(shù)是以y為自變量的，我們沒(méi)有對(duì)它作記號(hào)變換。 即： 是對(duì)y求導(dǎo)，是對(duì)x求導(dǎo) 例題：求的導(dǎo)數(shù). 解答：此函數(shù)的反函數(shù)為，故則： 例題：求的導(dǎo)數(shù). 解答：此函數(shù)的反函數(shù)為，故則： 高階導(dǎo)數(shù) 我們知道，在物理學(xué)上變速直線運(yùn)動(dòng)的速度v(t)是位置函數(shù)s(t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，即： ，而加速度a又是速度v對(duì)時(shí)間t的變化率，即速度v對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)： ，或。這種導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做s對(duì)t的二階導(dǎo)數(shù)。下面我們給出它的數(shù)學(xué)定義： 定義：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是x的函數(shù).我們把的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，記作或，即：或.相應(yīng)地，把的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù).類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做三階導(dǎo)

7、數(shù)，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做四階導(dǎo)數(shù)，…，一般地(n-1)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做n階導(dǎo)數(shù). 分別記作：，，…，或，，…， 二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱高階導(dǎo)數(shù)。由此可見(jiàn)，求高階導(dǎo)數(shù)就是多次接連地求導(dǎo)，所以，在求高階導(dǎo)數(shù)時(shí)可運(yùn)用前面所學(xué)的求導(dǎo)方法。 例題：已知，求? 解答：因?yàn)?a，故=0 例題：求對(duì)數(shù)函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。 解答：，，，， 一般地，可得 隱函數(shù)及其求導(dǎo)法則 我們知道用解析法表示函數(shù)，可以有不同的形式.若函數(shù)y可以用含自變量x的算式表示，像y=sinx，y=1+3x等，這樣的函數(shù)叫顯函數(shù).前面我們所遇到的函數(shù)大多都是顯函數(shù). 一般地，如果方程F(x,y)=0中，令x在某一區(qū)間內(nèi)任取一值時(shí)，相應(yīng)地總有滿足此方程的y值存在，則我們就說(shuō)方程F(x,y)=0在該區(qū)間上確定了x的隱函數(shù)y.把一個(gè)隱函數(shù)化成顯函數(shù)的形式，叫做隱函數(shù)的顯化。注：有些隱函數(shù)并不是很容易化為顯函數(shù)的，那么在求其導(dǎo)數(shù)時(shí)該如何呢？下面讓我們來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題！