《2021年中考數(shù)學 一輪專題突破等腰三角形》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2021年中考數(shù)學 一輪專題突破等腰三角形（20頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 2021 中考數(shù)學 一輪專題突破：等腰三角形 一、選擇題 1.  如圖，等邊三角形 ABC 中，AD⊥BC，垂足為 D，點 E 在線段 AD 上，∠EBC=45°， 則∠ACE 等于 ( ) A.15°  B.30° C.45° D.60° 2.  已知實數(shù) x 、y 滿足|x－4|＋ y－8 ＝0，則以 x 、y 的值為兩邊長的等腰三角形 的周長是( ) A. 20 或 16 B. 20 C. 16 D. 以上答案均不對 3.  如圖，∠AOB＝50°，OM 平分∠AOB，MA⊥OA 于點 A，MB

2、⊥OB 于點 B，則 ∠MAB 等于( ) A．50° B．40° C．25° 4.  如 K19-6，BD 是△ABC 的角平分線，AE⊥BD，垂足為 F.若∠ABC=35°，∠ C=50°，則∠CDE 的度數(shù)為 ( ) 1 / 20 A.35°  B.40° C.45° D.50° 5.  （2020· 銅仁）已知等邊三角形一邊上的高為2  ，則它的邊長為（ ） A．2  B．3 C．4  D．4 6.  如圖，在五邊形 ABCDE 中，AB＝

3、AC＝AD＝AE，且 AB∥ED，∠EAB＝120°， 則∠BCD 的度數(shù)為( ) A．150° C．130°  B．160° D．60° 7.  (2019?梧州)如圖， DE 是 △ABC 的邊 AB 的垂直平分線， D 為垂足， DE 交 AC  于點 E ，且 AC =8 ，BC =5  ，則 △BEC 的周長是 A．12  B．13 C．14  D．15 2 / 20 8.  （2020· 煙臺）七巧板是我們祖先的一項創(chuàng)造，被譽為 “東方魔板” ．

4、在一次數(shù) 學活動課上，小明用邊長為 4cm 的正方形紙片制作了如圖所示的七巧板，并設 計了下列四幅作品﹣﹣“奔跑者”，其中陰影部分的面積為 5cm2  的是（ ） A．  B．  C  ． D． 二、填空題 9.  （ 2020· 襄陽）如圖，在△ ABC 中， AB ＝ AD＝DC ，∠ BAD ＝ 20° ，則∠ C ＝ __________°． A B D C 10.  如圖，在△ABC 中，AB＝AC，E 為 BC 的中點，BD⊥AC，垂足為 D.若∠EA

5、D ＝20°，則∠ABD＝________°. 3 / 20 11.  (2019?哈爾濱)在 △ABC 中，DA =50°  ，DB =30°  ，點 D 在 AB 邊上，連接 CD ， 若 △ACD 為直角三角形，則 DBCD 的度數(shù)為__________． 12.  一個等腰三角形的一邊長是 2，一個外角是 120°，則它的周長是________． 13.  （2020· 聊城）如圖，在直角坐標系中，點 A(1，1)，B(3，3)是第一象限角平 分線上的兩點，點 C 的縱坐標為 1，且 C

6、A＝CB，在 y 軸上取一點 D，連接 AC， BC，AD，BD，使得四邊形 ACBD 的周長最小，這個最小周長的值為 ． 4 / 20 y D 5 / 20 14.  (2019?黃岡)如圖， AC ，BD 在 AB 的同側， AC =2 ，BD =8 ，AB =8  ，點 M 為 AB 的中點，若 DCMD =120 °，則 CD 的最大值是__________． 三、解答題 15.  如圖，在△ ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，D 是 AB 邊上一點(點 D 與 A，B

7、 不重合)，連接 CD，將線段 CD 繞點 C 按逆時針方向旋轉 90°得到線段 CE，連 接 DE 交 BC 于點 F，連接 BE. (1)求證:△ ACD≌△BCE; (2)當 AD=BF 時，求∠BEF 的度數(shù). 16.  (2020· 荊門)如圖，△ABC 中，AB＝AC，∠B 的平分線交 AC 于 D，AE∥BC 交 BD 的延長線于點 E，AF⊥AB 交 BE 于點 F． (1)若∠BAC＝40°，求∠AFE 的度數(shù)； (2)若 AD＝DC＝2，求 AF 的長． 6 / 20 A  E F

8、 B D C 17.  （12 分）如圖，在等邊三角形 ABC 中，點 E 是邊 AC 上一定點，點 D 是直 線 BC 上一動點，以 DE 為一邊作等邊三角形 DEF，連接 CF． 【問題解決】 如圖 1，若點 D 在邊 BC 上，求證：CE+CF＝CD； 【類比探究】 如圖 2，若點 D 在邊 BC 的延長線上，請?zhí)骄烤€段 CE，CF 與 CD 之間存在怎樣 的數(shù)量關系？并說明理由． 18.  (1)如圖①，在四邊形  ABCD 中，AB∥DC，點 E 是 BC 的中點，若 AE 是∠BAD 的平

9、分線，試判斷 AB，AD，DC 之間的等量關系. 7 / 20 解決此問題可以用如下方法:延長 AE 交 DC 的延長線于點 F，易證△ AEB≌△ FEC，得到 AB=FC，從而把 AB，AD，DC 轉化在一個三角形中即可判斷. AB，AD，DC 之間的等量關系為  ; (2)問題探究:如圖②，在四邊形 ABCD 中，AB∥CD，AF 與 DC 的延長線交于點 F，點 E 是 BC 的中點，若 AE 是∠BAF 的平分線，試探究 AB，AF，CF 之間的 等量關系，并證明你的結論. ① ② 2021 中考數(shù)學 一輪專

10、題突破：等腰三角形 -答案 一、選擇題 1. 【答案】  A [解析] ABC 是等邊三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60° ， ∵AD⊥BC， 8 / 20 2 ∴BD=CD，AD 是 BC 的垂直平分線， ∴BE=CE，∴∠EBC=∠ECB=45°， ∴∠ECA=60°-45°=15°. 2. 【答案】  B 【解析】∵|x－4|＋ y－8＝0，∴x－4＝0，y－8＝0，解得 x＝4， y＝8.分兩種情況討論：①當 4 為腰時，根據(jù)三角形三邊關系知 4＋4＝8，∴這樣 的等腰三角形不存在；②當 8 為腰時，則

11、有 4＋8>8，這樣能夠組成等腰三角形， ∴此三角形的周長是 8＋8＋4＝20. 3. 【答案】  C [解析] ∵OM 平分∠AOB，MA⊥OA 于點 A，MB⊥OB 于點 B， ∴∠AOM＝∠BOM＝25° ，MA＝MB.∴∠OMA ＝∠OMB＝65°.∴∠AMB＝130°. 1 ∴∠MAB＝ ×(180°－130°)＝25°.故選 C. 4. 【答案】C [解析]因為 BD 平分∠ABC，AE⊥BD，BF=BF，所以△ABF≌△EBF， 易得 BD 是線段 AE 的垂直平分線，∠BAF=∠BEF，所以 AD=ED，所以∠DEA= ∠DAE，所以∠BAD=

12、∠BED=180°-35°-50°=95° ， 所以∠CDE=∠BED-∠C=95°-50°=45°， 故選 C. 5. 【答案】  C 【解析】設等邊三角形的邊長為2x，過等邊三角形的一個頂點作對邊的高，由等 邊三角形 “三線合一 ” 的性質得直角三角形的一條直角邊為 x，由勾股定理得 x2＋ （2 ）2 =（2x）2 ，解得x=4，因此本題選C． 6. 【答案】  A  [解析] ∵AB∥ED， ∴∠E＝180°－∠EAB＝180°－120°＝60°. 9 / 20 2 2 又∵

13、AD＝AE， ∴△ADE 是等邊三角形． ∴∠EAD＝60°.∴∠BAD＝∠EAB－∠EAD＝120°－60°＝60°.∵AB＝AC＝AD， ∴∠B＝∠ACB，∠ACD＝∠ADC.在四邊形 ABCD 中，∠BCD＝∠B＋∠ADC 1 1 ＝ (360°－∠BAD)＝ ×(360°－60°)＝150°. 故選 A. 7. 【答案】  B 【解析】∵ DE 是 △ABC 的邊 AB 的垂直平分線，∴ AE =BE ，∵ AC =8 ，BC =5  ，∴ △BEC 的周長是： BE +EC +BC =AE +EC +BC =A

14、C +BC =13 ．故選 B． 8. 【答案】  最小的等腰直角三角形的面積  4  2  ＝1 （cm  2  ），平行四邊形面 積為 2cm2，中等的等腰直角三角形的面積為 2cm2，最大的等腰直角三角形的面 積為 4cm2，則 A、陰影部分的面積為 2+2＝4（cm2  ），不符合題意； B、陰影部分的面積為 1+2＝3（cm2），不符合題意； C、陰影部分的面積為 4+2＝6（cm2  ），不符合題意； D、陰影部分的面積為 4+1＝5（cm2），符合題意． 故選：D．

15、二、填空題 9. 【答案】  40． 10 / 20 【解析】∵AB＝AD＝DC，∴∠ABD＝∠ADB，∠DAC＝∠C．∵∠BAD＝20°， 180°-20° 1 ∴∠ADB＝ ＝80°．又∵∠ADB＝∠DAC＋∠C，∴∠C＝ ∠ADB＝ 2 2 40°．故答案為 40． 10. 【答案】  50 [解析] ∵AB＝AC，E 為 BC 的中點， ∴∠BAE＝∠EAD＝20°.∴∠BAD＝40°， 又∵BD⊥AC，∴∠ABD＝90°－∠BAD＝90° －40°＝50°. 11. 【答案】  60°

16、 或 10° 【解析】分兩種情況： ①如圖 1，當 DADC =90°  時， ∵ DB =30°，∴ DBCD =90°-30°=60°  ； ②如圖 2，當 DACD =90°  時， ∵ DA =50°  ， DB =30°  ，∴ DACB =180°-30°-50°=100°  ， ∴ DBCD =100°-90°=10°  ， 11 / 20 綜上，則 DBCD 的度數(shù)為 60°或10°．故答案為： 60°或10°． 12. 【答案】  6

17、[解析] 已知三角形的一外角為 120°，則相鄰內角度數(shù)為 60°，那 么含有 60°角的等腰三角形是等邊三角形．已知等邊三角形的一邊長為 2，則其 周長為 6. 13. 【答案】  4＋2  5 【解析】先求點 C 的坐標，再利用最短路徑知識確定 D 點位置，最后求四邊形 ACBD 的最小周長即可．由點 A 與點 C 的縱坐標均為 1，可知 AC∥x 軸，又點 A，B 是第一象限角平分線上的兩點，∴∠BAC＝45°，又∵CA＝CB，∴∠CBA ＝45°，∴AC⊥BC，∴C(3，1)，則 AC＝BC＝2． 如圖，作點 A 關于 y 軸的對稱點 E

18、，連接 BE 交 y 軸于點 D，此時 AD＋BD 的值 最小，為線段 BE 的長．由軸對稱性可知 AE=2，則 EC=4．在 Rt 據(jù)勾股定理，得 △BCE 中，根 BE＝ BC 2 +EC 2 ＝ 2 2 +4 2  ＝2  5 ．∴四邊形 ACBD 的最小周長為 2＋2＋ 2  5 ＝4＋2  5 ． 12 / 20 y 13 / 20 14. 【答案】  14 【解析】如圖，作點 A 關于 CM 的對稱點 A' ，點 B  關于 DM 的對稱點 B' ．

19、 ∵ DCMD =120°，∴ DAMC +DDMB =60°， ∴ DCMA' +DDMB' =60°， ∴ DA'MB' =60°， ∵ MA' =MB' ， ∴ △ A'MB'  為等邊三角形， ∵ CD ￡CA' +A'B' +B'D =CA +AM +BD =14 ， ∴ CD 的最大值為 14 ，故答案為： 14 ． 三、解答題 15. 【答案】 解:(1)證明:∵線段 CD 繞點 C 按逆時針方向旋轉 90°得到線段 CE， ∴∠DCE=90°，CD=CE. 又∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DCE，

20、 ∴∠ACD=∠BCE. ACD 和△ BCE 中，∵ 14 / 20 1 1 3 4 ACD≌△BCE. (2)∵∠ACB=90°，AC=BC ， ∴∠A=45°， ACD≌△BCE， ∴AD=BE，∠CBE=∠A=45°. 又 AD=BF，∴BE=BF， ∴∠BEF=∠BFE=  =67.5°. 16. 【答案】 解：(1)∵AB＝AC，∠ BAC＝40°， ∴∠ABC＝ ×(180°－40°)＝70°． 2 ∵BD 平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝ ×70°＝35°． 2

21、 ∵AF⊥AB，∴∠BAF＝90°． ∴∠AFE＝∠BAF＋∠ABD＝90°＋35°＝125°． (2)∵BD 平分∠ABC，BD＝BD，AD＝CD， ∴△BDA≌△BDC．∴AB＝BC． 又 AB＝AC，∴AB＝BC＝AC． ∴△ABC 為等邊三角形．∴∠ABC＝60°，∠ABD＝30°． ∵AD＝DC＝2，∴AB＝4． 在 Rt△ABF 中，AF＝AB· tan30°＝4× ＝ ． 3 3 說明：此題中的條件 AE∥BC 是多余的． 【解析】(1)由“等邊對等角”求出∠ABC，由角平分線的定義求出∠ABD，∠AFE 15 /

22、 20 是△ABF 的外角，因此∠AFE＝∠BAF＋∠ABD； (2)由 BD 既是△ABC 的角平分線又是中線可知 AB＝BC，從而推出△ABC 是邊長 為 2 的等邊三角形．在 Rt△ABF 中可解出 AF． 17. 【答案】 【問題解決】在 CD 上截取 CH＝CE，易證△CEH 是等邊三角形，得出 EH＝EC ＝CH，證明△DEH≌△FEC（SAS），得出 DH＝CF，即可得出結論； 【類比探究】過 D 作 DG∥AB，交 AC 的延長線于點 G，由平行線的性質易證∠ GDC＝∠DGC＝60°，得出△GCD 為等邊三角形，則 DG＝CD＝CG，證明

23、△EGD ≌△FCD（SAS），得出 EG＝FC，即可得出 FC＝CD+CE． 【問題解決】證明：在 CD 上截取 CH＝CE，如圖 1 所示： ∵△ABC 是等邊三角形， ∴∠ECH＝60°， ∴△CEH 是等邊三角形， ∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°， ∵△DEF 是等邊三角形， ∴DE＝FE，∠DEF＝60°， ∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°， ∴∠DEH＝∠FEC， 在△DEH 和△FEC 中， ， ∴△DEH≌△FEC（SAS ）， ∴DH＝CF， 16 / 20

24、 ∴CD＝CH+DH＝CE+CF， ∴CE+CF＝CD； 【類比探究】解：線段 CE，CF 與 CD 之間的等量關系是 FC＝CD+CE；理由如 下： ∵△ABC 是等邊三角形， ∴∠A＝∠B＝60°， 過 D 作 DG∥AB，交 AC 的延長線于點 G，如圖 2 所示： ∵GD∥AB， ∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°， ∴∠GDC＝∠DGC＝60°， ∴△GCD 為等邊三角形， ∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°， ∵△EDF 為等邊三角形， ∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°， ∴∠ED

25、G＝∠FDC， 在△EGD 和△FCD 中， ， ∴△EGD≌△FCD（SAS ）， ∴EG＝FC， ∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE． 17 / 20 18. 【答案】 解:(1)AD=AB+DC [解析]延長 AE 交 DC 的延長線于點 F， ∵AB∥DC， ∴∠BAF=∠F. ∵E 是 BC 的中點， ∴CE=BE. AEB 和△ FEC 中， AEB≌△FEC， ∴AB=FC. ∵AE 是∠BAD 的平分線， 18 / 20 ∴∠DAF=∠BAF，

26、 ∴∠DAF=∠F， ∴DF=AD， ∴AD=DC+CF=DC+AB. 故答案為:AD=AB+DC. (2)AB=AF+CF. 證明:如圖，延長 AE 交 DF 的延長線于點 G， ∵E 是 BC 的中點， ∴CE=BE， ∵AB∥DC， ∴∠BAE=∠G. AEB 和△ GEC 中， AEB≌△GEC，∴AB=GC. ∵AE 是∠BAF 的平分線， ∴∠BAG=∠FAG， ∴∠FAG=∠G， ∴FA=FG， 19 / 20 ∴AB=CG=AF+CF. 20 / 20