《《實數(shù)指數(shù)冪及其運算》教學設計》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《實數(shù)指數(shù)冪及其運算》教學設計（5頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、實數(shù)指數(shù)冪及其運算(I)教學設計 課程名稱：3.1.1實數(shù)指數(shù)冪及其運算(第一節(jié)) 教材分析： 1.數(shù)系的擴充 眾所周知，人類對于數(shù)的認識經(jīng)歷了漫長的過程，從Z到Q，從Q到R，從R到C，乃至擴充到四元數(shù)等等。雖然每一次數(shù)的范圍的擴大往往伴隨著質(zhì)疑，但隨著時間的發(fā)展，人們逐漸能夠接受越來越多的數(shù)，而且尋找到了許多新的數(shù)背后所蘊含的實際意義。 數(shù)系擴充的動力主要包括兩個方面： (1) 生產(chǎn)生活的推動就本節(jié)課所涉及內(nèi)容而言，指數(shù)模型是一種重要的數(shù)學模型，能較好的刻畫許多自然現(xiàn)象(如放射性元素的衰變)，在模型中變量t顯然是連續(xù)的，因此要求我們將指數(shù)推廣到實數(shù)范圍內(nèi)。 (2) 數(shù)學本身的推

2、動 許多數(shù)的出現(xiàn)都與方程有關(guān)(如負數(shù)，分數(shù)，復數(shù)等)，根式也不例外。當我們將數(shù)系擴充后，我們?nèi)稳幌Ｍ碌臄?shù)系能較好的繼承原有數(shù)系的一些性質(zhì)。 事實上，如果我們假定指數(shù)運算拓展到實數(shù)范圍內(nèi)后，仍然繼承下述性質(zhì)： (1)am+n—am?a”(a>0，m,neR) 2)當a>1時， 若m>n， 則am>an (a>0， m,neR) 當a—1時， 若m>n， 則am—an (a>0， m,neR) 當a<1時， 若m>n， 則am0， m,neR) 則指數(shù)an的定義是唯一的 2. Cauchy法 從Z到Q是非常重要的一步，這一步將一個疏集上

3、定義的函數(shù)延拓到了一個稠密集上的函數(shù)，依靠的是是的分式環(huán)；從Q到R也是非常重要的一步，這一步將一個稠密集上的函數(shù)延拓到了一個連續(xù)集上的函數(shù)，依靠的是逼近的想法。 這種方法即為Cauchy法. 事實上，如果附加上連續(xù)性條件，我們可以得到許多函數(shù)的“特征性質(zhì)”如： (1) f(x)是正比例函數(shù)或零函數(shù)of(m+n)—f(m)?f(n),Vm,neR (2) f(x)是指數(shù)函數(shù)或零函數(shù)of(m+n)—f(m)?f(n),Vm,neR (3) f(x)是對數(shù)函數(shù)或零函數(shù)of(m?n)—f(m)+f(n),Vm,n>0 (4) f(x)是冪函數(shù)或零函數(shù)of(m?n

4、)—f(m)?f(n),Vm,n>0 3. 指數(shù)運算和加法運算，乘法運算的區(qū)別 乘法運算是連加法運算的推廣，指數(shù)運算是連乘法運算的推廣。但是同加法運算以及乘法運算相比，指數(shù)運算有一個非常大的區(qū)別，即一個冪的底數(shù)與指數(shù)的地位是不平等的。 換言之，一般的ab豐ba 因此盡管有冪指數(shù)對底數(shù)的分配律成立，即 (a-b)=ac-b 一般的，仍然有： abc豐ab-ac 而這恰恰是學生的易錯點 學情分析： 1. 初中階段，學生學習過整數(shù)指數(shù)冪，經(jīng)歷了從正整數(shù)指數(shù)冪到整數(shù)指數(shù)冪的推演過程，能較為熟練的運用整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)解題，但零次冪和負整數(shù)指數(shù)冪為何選用該方式定義則較模糊，不夠深刻

5、。 初中階段，學生學習過平方根運算和立方根運算，對于平方根和立方根運算相關(guān)性質(zhì)掌握較好，易于接受高次方根的概念。 2. 本班是一個普通班，純數(shù)學的推導較為抽象，相對較難，從具體模型入手則相對容易。教學目標： 知識與技能：1.了解指數(shù)模型的實際背景 2. 理解根式及有理指數(shù)冪的含義 3. 掌握有理指數(shù)冪的運算性質(zhì) 過程與方法：在解決簡單實際問題的過程中，體會有理指數(shù)冪的含義情感態(tài)度與價值觀：體驗數(shù)學與生產(chǎn)實踐的緊密聯(lián)系，提高數(shù)學應用意識教學重點、難點： 教學重點：分數(shù)指數(shù)冪的概念和分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)教學難點：根式的概念及分數(shù)指數(shù)概念 教學設計：一、課前閱讀：閱讀下述材料，回答問

6、題衰變是放射性元素放射出粒子后變成另一種元素的現(xiàn)象。不穩(wěn)定（即具有放射性）的原子核在放射出粒子及能量后，可變得較為穩(wěn)定，這個過程稱為衰變。 放射性同位素衰變的快慢有一定的規(guī)律。 例如，氡-222經(jīng)過a衰變?yōu)獒?218，如果隔一段時間測量一次氡的數(shù)量級就會發(fā)現(xiàn)，每 過3.8天就有一半的氡發(fā)生衰變。也就是說，經(jīng)過第一個3.8天，剩下一半的氡，經(jīng)過第二個3.8天，剩有1/4的氡；再經(jīng)過3.8天，剩有1/8的氡 因此，我們可以用半衰期來表示放射性元素衰變的快慢。放射性元素的原子核有半數(shù)發(fā)生衰變所需的時間，叫做這種元素的半衰期。不同的放射性元素，半衰期不同，甚至差別非常大。 例如，氡-222衰

7、變?yōu)獒?218的時間為3.8天，鐳-226衰變?yōu)殡?222的時間為1620年，鈾-238衰變?yōu)殁Q-234的半衰期竟長達4.5x109年。 設計意圖：創(chuàng)設問題情境 問題一： 現(xiàn)有一種新的放射性物質(zhì)M,自然條件下每經(jīng)過一年，剩余M的量為一年前的量的a倍。假設某時刻放射性物質(zhì)M的量為1,則在自然條件下： (1) 1年后，剩余放射性物質(zhì)M的量為多少？ (2) 2年后，剩余放射性物質(zhì)M的量為多少？ (3) 3年后，剩余放射性物質(zhì)M的量為多少？ (4) n年后，剩余放射性物質(zhì)M的量為多少？為什么？ 問題二： 現(xiàn)有一種新的放射性物質(zhì)M，自然條件下每經(jīng)過一年，剩余M的量為一年前的量的a倍。假

8、設在自然條件下，放射性物質(zhì)M放置了一段時間，剩余的量為1,貝V： (1) 若放置時間為1年，則1年前放射性物質(zhì)M的量為多少？ (2) 若放置時間為2年，則2年前放射性物質(zhì)M的量為多少？ (3) 若放置時間為3年，則3年前放射性物質(zhì)M的量為多少？ (4) 若放置時間為n年，則n年前放射性物質(zhì)M的量為多少？為什么？ 問題三：根據(jù)前面的回答，填寫下表 時間 n年刖 ??? 2年前 1年前 今年 1年后 2年后 ??? N年后 量 1 設計意圖：復習整數(shù)指數(shù)冪的概念，重溫負整數(shù)指數(shù)冪生成過程 二、問題引入 問題四：前述表達中，

9、n的取值范圍是什么？ 問題五：現(xiàn)有一種新的放射性物質(zhì)M，自然條件下每經(jīng)過一年，剩余M的量為一年前的量的a倍。假設某時刻放射性物質(zhì)M的量為1,則在自然條件下： (1) 半年后，剩余放射性物質(zhì)M的量為多少？為什么？ (2) 一個月后，剩余放射性物質(zhì)M的量為多少？為什么？ (3) 一年半后，剩余放射性物質(zhì)M的量為多少？為什么？ 設計意圖：結(jié)合具體模型為進一步引入有理指數(shù)冪及根式的概念作必要的準備 三、概念形成： 一般地，設a，b是實數(shù)，n為正整數(shù).若bn=a，則稱b為a的n次單位根. (1) 當n為奇數(shù)時，任何實數(shù)均恰有一個n次單位根，記作na； (2) 當n為偶數(shù)時，負數(shù)沒有n次

10、單位根；0有唯一的n次單位根0； 正數(shù)有兩個n次單位根，記作土n萬 根式運算性質(zhì)： /—a,n為奇數(shù) Van=< IaI,n為偶數(shù) 問題六：觀察等式a2=\：'a3=(：'a)，an(其中m、n是正整數(shù))應該如何定義？ 設計意圖：引入正有理指數(shù)冪的概念 m 問題七：參考負整數(shù)次冪的實際意義，a-n(其中m、n是正整數(shù))有何實際意義？應該如何定義？設計意圖：引入負有理指數(shù)冪的概念 mm.. 問題八：為了對任意的整數(shù)m、n,an和a-n都有意義，應該對a的取值范圍補充哪些規(guī)定？設計意圖：強調(diào)底數(shù)的取值范圍. 例1.用分數(shù)指數(shù)冪表示下列各式 ③4(a+b)3 ④3m2+n

11、2 ⑤旦 3y2 設計意圖：有理指數(shù)冪形式與根式形式相互轉(zhuǎn)化 例2.先將下列各式寫成根式形式，再求值 i(64、一12 ①362②|642③273 149丿 1丄(1\3 ④100004⑤4-2⑥6—2 I4丿 設計意圖：體驗根式形式的優(yōu)點 四、運算律： 問題九：觀察等式：a2=(a1丿l(a3)2，a=al-a1，它們分別是初中階段哪條性質(zhì)的I丿 推廣？ 設計意圖：引入指數(shù)運算的性質(zhì) 問題十：結(jié)合模型，說明am+n=am?an的含義. 設計意圖：闡明指數(shù)運算律的意義，幫助學生理解運算律. 設a，b是任意正數(shù)，m，n是任意有理數(shù)，則： am+n=am?

12、Qn，(flm)=Qmn，Qmbm=(ab)m 例3.計算 ①a4-a3-a8② 設計意圖：有理指數(shù)運算性質(zhì)應用 例4.計算 ①2邁-4'2-邁② 設計意圖：體驗有理指數(shù)運算的優(yōu)點 五、課堂小結(jié)： 1. 本節(jié)課我們學習了分數(shù)指數(shù)冪的概念及與根式的關(guān)系 2. 本節(jié)課我們將指數(shù)運算性質(zhì)從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理指數(shù)冪 3. 回顧數(shù)系的擴充，我們經(jīng)歷了 NtNtQ +J+ ZtQtR 回顧冪指數(shù)的擴充，我們經(jīng)歷了 NtNtQ +JJZQtR 六、課后作業(yè)： 1. 課本90頁B組1、2題的偶數(shù)題 2. 三新（3.1.1實數(shù)指數(shù)冪及其運算（一）） 板書設計： 3.1

13、.1實數(shù)指數(shù)冪及其運算 二、分數(shù)指數(shù)冪 一、根式 若xn=a（neN） + 則x為a的n次方根 若n為奇數(shù)，則x=na an m (a>0,m,neN,m既約) +n m1 an=— m an 三、運算律 aa-aP=aa+p Cal=aa-p (ab》=aaba 若n為偶數(shù)，則x=±na(a>0,m,neN, + 教學反思： 課堂實踐基本實現(xiàn)了課前預期.以應用背景為主線，貫穿本節(jié)課的教學，有效的克服了本節(jié)課的難點，使學生較易接受有理指數(shù)冪的概念，為后期進一步學習實數(shù)指數(shù)冪、指數(shù)函數(shù)，乃至對數(shù)運算、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)都提供了素材. 學生在得到下述連等式時： a2=703=（/a）=ai-a2 往往僅能關(guān)注到其中的一個或兩個等式，生成的順序也不盡相同，需要教師對各種可能情況做好預案，根據(jù)課堂進程加以引導. 學生雖然較為容易的得到了公式： （） am+n=am-an，am=amn 但是后續(xù)還需要不斷強化和訓練，加深學生的熟練度本節(jié)課中關(guān)于根式運算的概念及其相關(guān)性質(zhì)涉及較少，后續(xù)的課堂教學中需有針對性的補充和訓練，否則可能會影響冪函數(shù)的學習（研究冪函數(shù)性質(zhì)的一個重要方法，即將其改寫為根式形式）. 5