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1、一、一維齊次方程的初值問題,考慮無限長弦的自由振動問題：,達朗貝爾(DAlembert)公式,二、無界弦的受迫振動和齊次化原理,由疊加原理可知，,齊次方程，非齊次初始條件,則,是初值問題（10）（11）的解。,非齊次方程，齊次初始條件,一維非齊次波動方程初值問題的Kirchhoff 公式,定理1（齊次化原理或Duhamel原理）,設,若 滿足：,三、半無界弦的振動問題,對稱延拓法的理論依據：,如果自由項,初始數據,和,是,奇（偶）函數，則由表達式（19）所定義的函數,是,的奇（偶）函數。,的,端點固定,,端點自由,,奇延拓,偶延拓,四、三維波動方程,三維波動方程初值問題解的泊松公式,,

2、非齊次方程的初值問題和推遲勢,其中,Kirchhoff公式,五、二維齊次波動方程的初值問題,二維波動方程初值問題的Poisson公式,二維非齊次波動方程的初值問題,利用疊加原理和齊次化原理，可以得到其解為,五、依賴區(qū)域、影響區(qū)域、決定區(qū)域,1維,我們稱區(qū)域 K為區(qū),間,的決定區(qū)域。,在區(qū)間,上給定初值,，就可以在決定區(qū)域 K,中決定初值問題的解。,因此該擾動的影響范圍是 ，,我們把,稱為區(qū)間,的影響區(qū)域。,平面上的區(qū)域,依賴區(qū)域,在二維情形下，,任取一點,由,二維齊次波動方程的初值問題解的泊松公式得,2維、3維,由此可見，解,在,上的值依賴于初值函,數,在圓域,上的值，而與,在

3、圓外的值無關。,圓域,稱為點,的依賴區(qū)域。,它可看作錐體,與平面,相交截得的圓域。,在三維情形下，,任取一點,由三,維齊次波動方程的初值問題解,的泊松公式可知，它的依賴,區(qū)域是球面,它可看作錐面,與超平面,相交所截得的球面。,決定區(qū)域,在二維情形下，,對于錐體,中任何一點,其解,的依賴區(qū)域,都包含在圓域,內。,因此圓域,就決定了錐體,中每一點上解,的值。,錐體,稱為圓域,的決定區(qū)域。,類似地，在三維情形下，給定球域,我們稱,空間的錐體域,為球域,的決定區(qū)域。,解在錐體域,內任何一點的,值,都由球域,上的初值所決定。,影響區(qū)域,在二維情形下，我們在初始平面,任取一點,作一錐體域,錐體域,中任何一點,其依賴區(qū)域都包括點,即,解受到,上定義的初值,和,的影響，,而,外任何一點的依賴區(qū)域都不包含,點,稱錐體域,為點,的影響區(qū)域。,類似地，,錐面,稱為點,的影響區(qū)域，,即點,處給定,的初值只影響到解,在,上的點的取值，而不影響解,在,外的點的取值。,特征錐,以點,為頂點的圓錐面,稱為二維波動方程的特征錐。,以點,為頂點的圓錐面,稱為三維波動方程的特征錐。,從以上可以看出，特征錐在波動方程初值問題解的,依賴區(qū)域、決定區(qū)域和影響區(qū)域中起著重要作用。,