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【備考2014 志鴻優(yōu)化設(shè)計】2013版中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 基礎(chǔ)講練 第22講 圖形的相似(含答案點撥) 新人教版

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1、 第22講 圖形的相似 考綱要求 命題趨勢 1.了解比例線段的有關(guān)概念及其性質(zhì),并會用比例的性質(zhì)解決簡單的問題. 2.了解相似多邊形、相似比和相似三角形的概念,掌握其性質(zhì)和判定并會運用圖形的相似解決一些簡單的實際問題. 3.了解位似變換和位似圖形的概念,掌握并運用其性質(zhì).   相似多邊形的性質(zhì)是中考考查的熱點,其中以相似多邊形的相似比、面積比、周長比的關(guān)系考查較多.相似三角形的判定、性質(zhì)及應(yīng)用是考查的重點,常與方程、圓、四邊形、三角函數(shù)等相結(jié)合,進(jìn)行有關(guān)計算或證明. 知識梳理 一、比例線段 1.比例線段的定義 在四條線段a,b,c,d中,如果其中兩條線段的比等于另

2、外兩條線段的比,即__________________,那么這四條線段a,b,c,d叫做成比例線段,簡稱__________. 2.比例線段的基本性質(zhì) =?ad=bc. 3.黃金分割 把線段AB分成兩條線段AC和BC(AC>BC),且使AC是AB和BC的__________,叫做把線段AB黃金分割,C叫做線段AB的黃金分割點.≈0.618AB,BC= 二、相似多邊形 1.定義 對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形.相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做________,相似比為1的兩個多邊形全等. 2.性質(zhì) (1)相似多邊形的對應(yīng)角________,對應(yīng)邊成________;

3、 (2)相似多邊形周長的比等于________; (3)相似多邊形面積的比等于__________. 三、相似三角形 1.定義 各角對應(yīng)________,各邊對應(yīng)成________的兩個三角形叫做相似三角形. 2.判定 (1)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊延長線)相交,所構(gòu)成的三角形與________相似; (2)兩角對應(yīng)________,兩三角形相似; (3)兩邊對應(yīng)成________且夾角________,兩三角形相似; (4)三邊對應(yīng)成________,兩三角形相似; (5)斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例,兩直角三角形相似. 3.性質(zhì) (1)相似三角形的對

4、應(yīng)角________,對應(yīng)邊成________; (2)相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比都等于________; (3)相似三角形周長的比等于________; (4)相似三角形面積的比等于____________. 四、位似變換與位似圖形 1.定義 取定一點O,把圖形上任意一點P對應(yīng)到射線OP(或它的反向延長線)上一點P′,使得線段OP′與OP的______等于常數(shù)k(k>0),點O對應(yīng)到它自身,這種變換叫做位似變換,點O叫做________,常數(shù)k叫做________,一個圖形經(jīng)過位似變換得到的圖形叫做與原圖形位似的圖形. 2.性質(zhì) 兩個位似的圖形上每一

5、對對應(yīng)點都與位似中心在一條直線上,并且新圖形與原圖形上對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于________. 3.畫位似圖形的步驟 (1)確定位似________; (2)連接圖形各頂點與位似中心的線段(或延長線); (3)按位似比進(jìn)行取點; (4)順次連接各點,所得的圖形就是所求圖形. 自主測試 1.若相似△ABC與△DEF的相似比為1:3,則△ABC與△DEF的面積比為(  ) A.1:3 B.1:9 C.3:1 D.1: 2.如圖,點F是ABCD的邊CD上一點,直線BF交AD的延長線于點E,則下列結(jié)論錯誤的是(  ) A.= B.= C

6、.= D.= 3.如圖,以點O為位似中心,將五邊形ABCDE放大后得到五邊形A′B′C′D′E′,已知OA=10 cm,OA′=20cm,則五邊形ABCDE的周長與五邊形A′B′C′D′E′的周長的比值是__________. 4.如圖,網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1,每個小正方形的頂點叫做格點.△ACB和△DCE的頂點都在格點上,ED的延長線交AB于點F. 求證:(1)△ACB∽△DCE; (2)EF⊥AB. 考點一、相似圖形的性質(zhì) 【例1】如圖,在長為8 cm、寬為4 cm的矩形中,截去一個矩形,使得留下的矩形(圖中陰影部分)與原矩形相似,則留下矩形的面

7、積是(  ) A.2 cm2 B.4 cm2 C.8 cm2 D.16 cm2 解析:根據(jù)相似多邊形面積的比等于相似比的平方,得=2,=,S陰影=8 cm2. 答案:C 方法總結(jié) 相似多邊形的性質(zhì):對應(yīng)邊成比例,對應(yīng)角相等,周長的比等于相似比,面積的比等于相似比的平方,利用相似多邊形的性質(zhì)可求多邊形的邊長、角、周長或面積. 觸類旁通1 如圖所示的兩個四邊形相似,則∠α的度數(shù)是(  )   A.87° B.60° C.75° D.120° 考點二、相似三角形的性質(zhì)與判定 【例2】如圖,在ABCD中,E,F(xiàn)分別是AD,C

8、D邊上的點,連接BE,AF,它們相交于點G,延長BE交CD的延長線于點H,則圖中相似三角形共有(  ) A.2對 B.3對 C.4對 D.5對 解析:依據(jù)題中的條件,平行四邊形的對邊平行,由AD∥BC,可得△HED∽△HBC,由AB∥CD,可得△HED∽△BEA,△HFG∽△BAG.根據(jù)相似的傳遞性,可得△HBC∽△BEA,一共有四對相似三角形. 答案:C 方法總結(jié) 判定兩個三角形是否相似首先看是否存在平行線或能否作出相關(guān)的平行線,再看是否存在兩組對應(yīng)角相等,若只有一對對應(yīng)角相等,再看夾這個角的兩邊是否成比例;若無內(nèi)角相等,就考慮三組對應(yīng)邊是否成比例

9、. 觸類旁通2 已知如圖(1),(2)中各有兩個三角形,其邊長和角的度數(shù)已在圖上標(biāo)注,圖(2)中AB,CD交于O點,對于各圖中的兩個三角形而言,下列說法正確的是(  ) A.都相似 B.都不相似 C.只有(1)相似 D.只有(2)相似 考點三、位似圖形 【例3】如圖,在直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的頂點O在坐標(biāo)原點,邊OA在x軸上,OC在y軸上,如果矩形OA′B′C′與矩形OABC關(guān)于點O位似,且矩形OA′B′C′的面積等于矩形OABC面積的,那么點B′的坐標(biāo)是(  ) A.(3,2) B.(-2,-3) C.(2,3

10、)或(-2,-3) D.(3,2)或(-3,-2) 解析:分兩種情況計算,即矩形OABC和矩形OA′B′C′在原點的同側(cè)和兩側(cè). 答案:D 方法總結(jié) 位似圖形一定是相似圖形,但相似圖形不一定是位似圖形,利用位似的方法,可以把一個多邊形放大或縮?。凰茍D形所有對應(yīng)點的連線相交于位似中心. 觸類旁通3 如圖,△ABC中,A,B兩個頂點在x軸的上方,點C的坐標(biāo)是(-1,0).以點C為位似中心,在x軸的下方作△ABC的位似圖形△A′B′C,并把△ABC的邊長放大到原來的2倍.設(shè)點B的對應(yīng)點B′的橫坐標(biāo)是a,則點B的橫坐標(biāo)是(  ) A.-a B.-(a+1)

11、 C.-(a-1) D.-(a+3) 考點四、相似三角形的應(yīng)用 【例4】問題背景:在某次活動課中,甲、乙、丙三個學(xué)習(xí)小組于同一時刻在陽光下對校園中的一些物體進(jìn)行了測量,下面是他們通過測量得到的一些信息: 甲組:如圖(1),測得一根直立于平地,長為80 cm的竹竿的影長為60 cm. 乙組:如圖(2),測得學(xué)校旗桿的影長為900 cm. 丙組:如圖(3),測得校園景燈(燈罩視為球體,燈桿為圓柱體,其粗細(xì)忽略不計)的高度為200 cm,影長為156 cm. 任務(wù)要求: (1)請根據(jù)甲、乙兩組得到的信息計算出學(xué)校旗桿的高度; (2)如圖(3),設(shè)太陽光線NH與⊙O相切于

12、點M.請根據(jù)甲、丙兩組得到的信息,求景燈燈罩的半徑.(提示:如圖(3),景燈的影長等于線段NG的影長;需要時可采用等式1562+2082=2602) 解:(1)如題圖,△ABC∽△DEF,∴=. ∵AB=80 cm,AC=60 cm,DF=900 cm,∴=. ∴DE=1 200 cm,即DE=12 m. 故學(xué)校旗桿的高度是12 m. (2)如題圖(3),連接OM,設(shè)⊙O的半徑為r cm. 與(1)類似得=,即=. ∴GN=208 cm. 在Rt△NGH中,根據(jù)勾股定理得NH2=1562+2082=2602,∴NH=260 cm. ∵NH切⊙O于M, ∴OM⊥NH.

13、則∠OMN=∠HGN=90°.又∠ONM=∠HNG, ∴△OMN∽△HGN.∴=. 又∵ON=OI+I(xiàn)N=OI+(GN-GI)=r+8, ∴=,解得r=12. ∴景燈燈罩的半徑是12 cm. 方法總結(jié) 應(yīng)用相似三角形解決實際問題,首先要建立數(shù)學(xué)模型,把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,然后利用相似三角形對應(yīng)邊成比例或相似三角形的性質(zhì)建立等量關(guān)系求解. 觸類旁通4 一個鋁質(zhì)三角形框架三條邊長分別為24 cm,30 cm,36 cm,要做一個與它相似的鋁質(zhì)三角形框架,現(xiàn)有長為27 cm,45 cm的兩根鋁材,要求以其中的一根為一邊,從另一根上截下兩段(允許有余料)作為另外兩邊.截法有(  )

14、 A.0種 B.1種 C.2種 D.3種 1.(2012貴州銅仁)如圖,六邊形ABCDEF∽六邊形GHIJKL,相似比為2:1,則下列結(jié)論正確的是(  ) A.∠E=2∠K B.BC=2HI C.六邊形ABCDEF的周長=六邊形GHIJKL的周長 D.S六邊形ABCDEF=2S六邊形GHIJKL 2.(2012山東聊城)如圖,在△ABC中,點D,E分別是AB,AC的中點,則下列結(jié)論不正確的是(  ) A.BC=2DE B.△ADE∽△ABC C.= D.S△ABC=3S△ADE 3.(2012山東泰安)

15、如圖,AB∥CD,E,F(xiàn)分別為AC,BD的中點,若AB=5,CD=3,則EF的長是(  ) A.4 B.3 C.2 D.1 4.(2012重慶)已知,△ABC∽△DEF,△ABC的周長為3,△DEF的周長為1,則△ABC與△DEF的面積之比為__________. 5.(2012湖南婁底)如圖,在一場羽毛球比賽中,站在場內(nèi)M處的運動員林丹把球從N點擊到了對方內(nèi)的B點,已知網(wǎng)高OA=1.52米,OB=4米,OM=5米,則林丹起跳后擊球點N離地面的距離NM=__________米. 6.(2012湖南張家界)已知△ABC與△DEF相似且面積比為4:25,則△A

16、BC與△DEF的相似比為__________. 1.如圖,小正方形的邊長均為1,則下列圖中的三角形(陰影部分)與△ABC相似的是(  ) 2.如圖,邊長為4的等邊△ABC中,DE為中位線,則四邊形BCED的面積為(  ) A.2 B.3 C.4 D.6 3.已知△ABC與△DEF相似且對應(yīng)中線的比為2:3,則△ABC與△DEF的周長比為__________. 4.如圖,在△ABC中,DE∥AB,CD:DA=2:3,DE=4,則AB的長為__________. (第4題圖) 5.如圖,為了測量某棵樹的高度,小明用長為2 m的竹竿做測量工具,

17、移動竹竿,使竹竿、樹的頂端的影子恰好落在地面的同一點.此時,竹竿與這一點相距6 m,與樹相距15 m,則樹的高度為__________ m. (第5題圖) 6.如圖所示,正方形ABCD和正方形OEFG中,點A和點F的坐標(biāo)分別為(3,2),(-1,-1),則兩個正方形的位似中心的坐標(biāo)是__________. 7.如圖,∠1=∠2,添加一個條件使得△ADE∽△ACB__________. 8.如圖,在矩形ABCD中,AB=6,AD=12,點E在AD邊上且AE=8,EF⊥BE交CD于點F. (1)求證:△ABE∽△DEF. (2)求EF的長. 參考答案 導(dǎo)學(xué)必備知識

18、 自主測試 1.B 2.C 3.1:2 4.證明:(1)∵=,==,∴=. 又∠ACB=∠DCE=90°,∴△ACB∽△DCE. (2)∵△ACB∽△DCE,∴∠ABC=∠DEC. 又∠ABC+∠A=90°,∴∠DEC+∠A=90°. ∴∠EFA=90°,∴EF⊥AB. 探究考點方法 觸類旁通1.A 觸類旁通2.A 觸類旁通3.D 觸類旁通4.B (1)假設(shè)以27 cm為一邊,把45 cm截成兩段,設(shè)這兩段分別為x cm,y cm(x<y).則可得:==①或==②(注:27 cm不可能是最小邊),由①解得x=18,y=22.5,符合題意;由②解得x=,y=,x+y=+==

19、54>45,不合題意,舍去. (2)假設(shè)以45 cm為一邊,把27 cm截成兩段,設(shè)這兩段分別為x cm,y cm(x<y).則可得:==(注:只能是45是最大邊),解得x=30,y=,x+y=30+37.5=67.5>27,不合題意,舍去.綜合以上可知,截法只有一種. 品鑒經(jīng)典考題 1.B ∵六邊形ABCDEF∽六邊形GHIJKL, ∴∠E=∠K,故A錯誤; ∵六邊形ABCDEF∽六邊形GHIJKL,相似比為2:1, ∴BC=2HI,故B正確; ∵六邊形ABCDEF∽六邊形GHIJKL,相似比為2:1, ∴六邊形ABCDEF的周長=六邊形GHIJKL的周長×2,故C錯誤;

20、∵六邊形ABCDEF∽六邊形GHIJKL,相似比為2:1, ∴S六邊形ABCDEF=4S六邊形GHIJKL,故D錯誤. 故選B. 2.D ∵在△ABC中,點D,E分別是邊AB,AC的中點, ∴DE∥BC,BC=2DE,故A正確; ∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,故B正確; ∵△ADE∽△ABC,∴=,故C正確; ∵DE是△ABC的中位線,∴AD:AB=1:2, 又∵△ADE∽△ABC,∴S△ABC=4S△ADE,故D錯誤. 3.D 連接DE并延長交AB于H. ∵CD∥AB, ∴∠C=∠A,∠CDE=∠AHE. ∵E是AC中點,∴EC=AE, ∴△DCE≌△HA

21、E, ∴DE=HE,DC=AH. ∵F是BD中點, ∴EF是△DHB的中位線, ∴EF=BH. ∵BH=AB-AH=AB-DC=2,∴EF=1. 故選D. 4.9:1 ∵△ABC∽△DEF,△ABC的周長為3,△DEF的周長為1,∴三角形的相似比是3:1, ∴△ABC與△DEF的面積之比為9:1. 5.3.42 根據(jù)題意得AO⊥BM,NM⊥BM, ∴AO∥NM,∴△ABO∽△NBM,∴=. ∵OA=1.52米,OB=4米,OM=5米, ∴BM=OB+OM=4+5=9(米),∴=, 解得NM=3.42(米), ∴林丹起跳后擊球點N離地面的距離NM為3.42米. 故答案為3.42. 6.2:5 研習(xí)預(yù)測試題 1.A 2.B 3.2:3 4.10 5.7 6.(1,0)或(-5,-2) 7.略. 8.(1)證明:如圖,∵EF⊥BE, ∴∠EFB=90°,∴∠1+∠2=90°. 在矩形ABCD中,∠A=90°,∠D=90°,∴∠2+∠3=90°,∴∠1=∠3. ∵∠A=∠D=90°, ∴△ABE∽△DEF. (2)解:在△ABE中,∠A=90°,AB=6,AE=8, ∴BE===10. 又∵DE=AD-AE=12-8=4, 由(1)得△ABE∽△DEF. ∴=. ∴EF===. 10

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