《【備考2014 志鴻優(yōu)化設(shè)計】2013版中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 基礎(chǔ)講練 第20講 梯形（含答案點撥） 新人教版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《【備考2014 志鴻優(yōu)化設(shè)計】2013版中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 基礎(chǔ)講練 第20講 梯形（含答案點撥） 新人教版（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第20講　梯形 考綱要求 命題趨勢 1．了解梯形的有關(guān)概念與分類，掌握梯形的性質(zhì)，會進行梯形的有關(guān)計算． 2．掌握等腰梯形的性質(zhì)與判定． 3．能靈活添加輔助線，把梯形問題轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形的問題來解決. 　　等腰梯形的性質(zhì)和判定是中考考查的內(nèi)容，實際問題中往往和特殊三角形、特殊四邊形的知識結(jié)合在一起綜合運用. 知識梳理 一、梯形的有關(guān)概念及分類 1．一組對邊平行，另一組對邊不平行的________叫做梯形．平行的兩邊叫做______，兩底間的________叫做梯形的高． 2．________相等的梯形叫做等腰梯形，有一個角是直角的梯形叫做直角梯形． 3

2、．梯形的分類： 梯形 4．梯形的面積＝(上底＋下底)×高＝中位線×高． 二、等腰梯形的性質(zhì)與判定 1．性質(zhì)： (1)等腰梯形的兩腰相等，兩底平行． (2)等腰梯形同一底上的兩個角________． (3)等腰梯形的對角線________． (4)等腰梯形是軸對稱圖形，過兩底中點的直線是它的對稱軸． 2．判定： (1)兩腰相等的梯形是等腰梯形． (2)同一底上的兩個角相等的________是等腰梯形． (3)對角線相等的________是等腰梯形． 三、梯形的中位線 1．定義：連接梯形兩腰________的線段叫做梯形的中位線． 2．性質(zhì)：梯形的中位線平行于兩底，且

3、等于________的一半． 四、梯形問題的解決方法 梯形問題常通過三角形問題或平行四邊形問題來解答，轉(zhuǎn)化時常用的輔助線有： 1．平移一腰，即從梯形的一個頂點作另一腰的平行線，把梯形分成一個平行四邊形和一個三角形． 2．過頂點作高，即從同一底的兩端作另一底所在直線的垂線，把梯形轉(zhuǎn)化成一個矩形和兩個直角三角形． 3．平移一條對角線，即從梯形的一個頂點作一條對角線的平行線，把梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形和三角形． 4．延長梯形兩腰使它們相交于一點，把梯形轉(zhuǎn)化成三角形． 5．過一腰中點作輔助線． (1)過此中點作另一腰的平行線，把梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形； (2)連接一底的端點與一腰中點，并延

4、長與另一底的延長線相交，把梯形轉(zhuǎn)化成三角形． 自主測試 1．若等腰梯形ABCD的上底長AD＝2，下底長BC＝4，高為2，那么梯形的腰DC的長為(　　) A．2 B． C．3 D． 2．如圖，在一塊形狀為直角梯形的草坪中，修建了一條由A→M→N→C的小路(M，N分別是AB，CD中點)．極少數(shù)同學(xué)為了走“捷徑”，沿線段AC行走，破壞了草坪，實際上他們僅少走了(　　) A．7米 B．6米 C．5米 D．4米 3．如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E為AB上一點，且ED平分∠ADC，EC平分∠BCD，則下列

5、結(jié)論中，錯誤的是(　　) A．∠ADE＝∠CDE B．DE⊥EC C．AD·BC＝BE·DE D．CD＝AD＋BC 4．已知梯形的上底長為2，下底長為5，一腰長為4，則另一腰長x的取值范圍是__________． 考點一、一般梯形的性質(zhì) 【例1】如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD＝CD，∠BDC＝90°，AD＝3，BC＝8，求AB的長． 解：如圖，作AE⊥BC于點E，DF⊥BC于點F. ∴AE∥DF，∠AEF＝90°. ∵AD∥BC，∴四邊形AEFD是矩形． ∴EF＝AD＝3，AE＝DF. ∵BD＝CD，DF⊥BC，∴DF是△BDC邊BC上的中線．

6、 ∵∠BDC＝90°，∴DF＝BC＝BF＝4. ∴AE＝4，BE＝BF－EF＝4－3＝1. 在Rt△ABE中，AB2＝AE2＋BE2， ∴AB＝＝. 方法總結(jié) 遇到梯形問題，一般情況下通過作腰或?qū)蔷€的平行線、高線、連對角線、延長兩腰轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形、直角三角形、矩形等問題來解決． 觸類旁通1 如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC，E，F(xiàn)兩點在邊BC上，且四邊形AEFD是平行四邊形． (1)AD與BC有何等量關(guān)系？請說明理由． (2)當(dāng)AB＝DC時，求證：四邊形AEFD是矩形． 考點二、等腰梯形的性質(zhì)與判定 【例2】如圖，在等腰△ABC中

7、，點D，E分別是兩腰AC，BC上的點，連接AE，BD相交于點O，∠1＝∠2. (1)求證：OD＝OE； (2)求證：四邊形ABED是等腰梯形． 分析：(1)根據(jù)已知條件可知利用全等三角形證明BD＝AE，根據(jù)∠1＝∠2可以證明OA＝OB，根據(jù)等式性質(zhì)可知OD＝OE；(2)先證明四邊形ABED是梯形，然后證明兩腰相等即可． 證明：(1)∵△ABC是等腰三角形，∴AC＝BC. ∴∠BAD＝∠ABE. 又∵AB＝BA，∠2＝∠1，∴△ABD≌△BAE，∴BD＝AE. 又∵∠1＝∠2，∴OA＝OB. ∴BD－OB＝AE－OA，即OD＝OE. (2)由(1)知，OD＝OE，∴∠OED

8、＝∠ODE. ∴∠OED＝(180°－∠DOE)． 同理，∠1＝(180°－∠AOB)． ∵∠DOE＝∠AOB，∴∠1＝∠OED，∴DE∥AB. ∵AD不平行于BE，∴四邊形ABED是梯形， ∵AE＝BD，∴梯形ABED是等腰梯形． 方法總結(jié) 在證明一個四邊形是等腰梯形時，必須先證明它是梯形，然后再通過兩腰相等或同一底上的兩個角相等，或者是對角線相等來證明梯形是等腰梯形． 觸類旁通2 如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，M，N分別為AO，DO的中點，四邊形 BCNM是等腰梯形嗎？為什么？ 考點三、有關(guān)梯形的計算 【例3】如圖，在梯形ABCD中，AD∥B

9、C，AB⊥AC，∠B＝45°，AD＝，BC＝4，求DC的長． 分析：由于△ABC是等腰直角三角形，且BC＝4，可得出BC邊上的高．只要通過平移腰CD，就可與BC邊上的高構(gòu)成直角三角形，從而求出CD. 解：過點A作AE∥DC交BC于點E，過點A作AF⊥BC于點F，如圖所示． ∵AD∥BC，AE∥DC， ∴四邊形AECD為平行四邊形． ∴AE＝DC，AD＝EC＝. 又∵AB⊥AC，∠B＝45°，BC＝4， ∴AB＝AC＝4. ∴AF＝BF＝2. ∴EF＝BC－BF－EC＝. 在Rt△AFE中，AE＝＝＝，即DC＝. 方法總結(jié) 解決梯形問題作輔助線的方法要結(jié)合題目的條

10、件和要證結(jié)論的需要靈活運用．若題中已知兩對角線的條件，可考慮平移對角線，使兩對角線在同一個三角形中；若已知兩腰的某些條件，可考慮平移一腰；若已知兩底角互余，可平移一腰或延長兩腰構(gòu)成直角三角形；若要求梯形的面積，常作出梯形的高． 觸類旁通3 如圖所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，AC⊥BC，∠B＝60°，BC＝2 cm，則上底DC的長是__________cm. 1．(2012山東臨沂)如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC，BD相交于點O，下列結(jié)論不一定正確的是(　　) A．AC＝BD B．OB＝OC C．∠BCD＝∠BDC D．∠ABD

11、＝∠ACD 2．(2012湖南長沙)下列四邊形中，對角線一定不相等的是(　　) A．正方形 B．矩形 C．等腰梯形 D．直角梯形 3．(2012安徽)在一張直角三角形紙片的兩直角邊上各取一點，分別沿斜邊中點與這兩點的連線剪去兩個三角形，剩下的部分是如圖所示的直角梯形，其中三邊長分別為2,4,3，則原直角三角形紙片的斜邊長是(　　) A．10 B．4 C．10或4 D．10或2 4．(2012湖南長沙)如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝2，∠B＝60°，則BC的長為__________． 5．(2012

12、四川內(nèi)江)如圖，四邊形ABCD是梯形，BD＝AC且BD⊥AC，若AB＝2，CD＝4，則S梯形ABCD＝____________. 6．(2012四川南充)如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，點E是AD延長線上的一點，且CE＝CD. 求證：∠B＝∠E. 1．梯形的上底長為5，下底長為9，則梯形的中位線長等于(　　) A．6 B．7 C．8 D．10 2．在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，對角線AC平分∠BAD，∠B＝60°，CD＝2 cm，則梯形ABCD的面積為(　　) A．3cm2 B．6 cm2 C．6cm2 D．12 c

13、m2 3．如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠D＝90°，AD＝DC＝4，AB＝1，F(xiàn)為AD的中點，則點F到BC的距離是(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 4．如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，對角線AC，BD相交于O，∠ABD＝30°，AC⊥BC，AB＝8 cm，則△COD的面積為(　　) A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2 5．如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，梯形ABCD的周長為26，BE＝4，則△DEC的周長為__________． (第5題圖) 6．如圖，在梯形AB

14、CD中，AB∥DC，∠ADC的平分線與∠BCD的平分線的交點E恰在AB上．若AD＝7 cm，BC＝8 cm，則AB的長度是__________ cm. (第6題圖) 7．如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，AB＝3，BC＝4，則梯形ABCD的面積是__________． (第7題圖) 8．如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC⊥BD于點O，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分別為E，F(xiàn)，AD＝4，BC＝8，則AE＋EF＝__________. (第8題圖) 9．如圖，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，過點C作CE⊥AC且與AB的延長線交

15、于點E，求證：四邊形AECD是等腰梯形． 參考答案 導(dǎo)學(xué)必備知識 自主測試 1．D　2．B　3．C　4．1＜x＜7 探究考點方法 觸類旁通1．解：(1)AD＝BC. 理由如下： ∵AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC， ∴四邊形ABED和四邊形AFCD都是平行四邊形， ∴AD＝BE，AD＝FC. 又∵四邊形AEFD是平行四邊形， ∴AD＝EF，∴AD＝BE＝EF＝FC， ∴AD＝BC. (2)證明：∵四邊形ABED和四邊形AFCD都是平行四邊形，∴DE＝AB，AF＝DC. ∵AB＝DC，∴DE＝AF. 又∵四邊形AEFD是平行四邊形， ∴四邊形AEFD是矩形

16、． 觸類旁通2．解：是等腰梯形．根據(jù)三角形中位線定理有，MN∥AD∥BC，且MN≠BC，∴四邊形BCNM為梯形．在矩形ABCD中，AO＝DO，又M，N分別是AO，DO的中點， ∴OM＝ON，∴CM＝BN，∴四邊形BCNM是等腰梯形． 觸類旁通3．2　∠CAB＝90°－60°＝30°，∵等腰梯形ABCD中，∠BAD＝∠B＝60°， ∴∠CAD＝∠BAD－∠BAC＝30°. 又∵CD∥AB，∴∠DCA＝∠CAB＝30°＝∠DAC. ∴CD＝AD＝BC＝2 cm. 品鑒經(jīng)典考題 1．C　對于A，∵四邊形ABCD是等腰梯形，∴AC＝BD，故本選項正確； 對于B，∵四邊形ABCD是等腰

17、梯形，∴AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，在△ABC和△DCB中， ∵ ∴△ABC≌△DCB(SAS)，∴∠ACB＝∠DBC，∴OB＝OC，故本選項正確； 對于C，∵無法判定BC＝BD，∴∠BCD與∠BDC不一定相等，故本選項錯誤； 對于D，∵∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC， ∴∠ABD＝∠ACD，故本選項正確． 故選C. 2．D　根據(jù)正方形、矩形、等腰梯形的性質(zhì)，它們的兩條對角線一定相等，只有直角梯形的對角線一定不相等．故選D. 3．C　考慮兩種情況． ①如圖： 因為CD＝＝2， 點D是斜邊AB的中點， 所以AB＝2CD＝4. ②如圖： 因為CE＝＝

18、5，點E是斜邊AB的中點， 所以AB＝2CE＝10， 故原直角三角形紙片的斜邊長是10或4. 4．4　過點A作AE∥CD交BC于點E， ∵AD∥BC，∴四邊形AECD是平行四邊形， ∴AE＝CD＝2，AD＝EC＝2. ∵∠B＝60°，∴BE＝AB＝AE＝2，∴BC＝BE＋CE＝2＋2＝4. 5．9　過點B作BE∥AC，交DC的延長線于點E，則AB＝CE，BE＝AC＝BD. ∵BD⊥AC，AB＝2，CD＝4，∴BD⊥BE，DE＝6，∴梯形高為3，∴S梯形ABCD＝(2＋4)×3÷2＝9. 6．證明：∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E. ∵AD∥BC，∴∠CDE＝∠DCB.∴∠

19、E＝∠DCB. ∵AB＝DC，∴∠B＝∠DCB.∴∠B＝∠E. 研習(xí)預(yù)測試題 1．B　2．A　3．C　4．A　5．18　6．15　7．9 8．10　如圖，過點D作DG∥AC，交BC的延長線于點G. 易得四邊形ACGD為平行四邊形， ∴CG＝AD＝4，BG＝BC＋CG＝8＋4＝12. ∵AC⊥BD，AC∥DG，∴BD⊥DG. ∵梯形ABCD是等腰梯形，∴AC＝BD＝DG. ∴△BDG為等腰直角三角形． 又∵DF⊥BC，∴DF＝BG＝6. ∴AE＋EF＝DF＋AD＝6＋4＝10. 9．證明：∵四邊形ABCD是菱形，∠DAB＝60°， ∴∠CAE＝∠DAB＝30°. 又∵CE⊥AC，∴∠E＝60°＝∠CBE.∴CE＝BC＝AD. ∵CD∥AE，AE＝AB＋BE＝DC＋BE≠DC， ∴四邊形AECD是等腰梯形． 9