《【備考2014 志鴻優(yōu)化設(shè)計】2013版中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 基礎(chǔ)講練 第24講 圓的有關(guān)性質(zhì)（含答案點撥） 新人教版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《【備考2014 志鴻優(yōu)化設(shè)計】2013版中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 基礎(chǔ)講練 第24講 圓的有關(guān)性質(zhì)（含答案點撥） 新人教版（11頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第七單元　圓 第24講　圓的有關(guān)性質(zhì) 綱要求 命題趨勢 1．理解圓的有關(guān)概念和性質(zhì)，了解圓心角、弧、弦之間的關(guān)系． 2．了解圓心角與圓周角及其所對弧的關(guān)系，掌握垂徑定理及推論. 　　中考主要考查圓的有關(guān)概念和性質(zhì)，與垂徑定理有關(guān)的計算，與圓有關(guān)的角的性質(zhì)及其應(yīng)用．題型以選擇題、填空題為主. 知識梳理 一、圓的有關(guān)概念及其對稱性 1．圓的定義 (1)圓是平面內(nèi)到一定點的距離等于定長的所有點組成的圖形．這個定點叫做________，定長叫做________； (2)平面內(nèi)一個動點繞一個定點旋轉(zhuǎn)一周所形成的圖形叫做圓，定點叫做圓心，定點與動點的連線段叫做半徑． 2

2、．圓的有關(guān)概念 (1)連接圓上任意兩點的________叫做弦； (2)圓上任意兩點間的________叫做圓弧，簡稱?。? (3)________相等的兩個圓是等圓． (4)在同圓或等圓中，能夠互相________的弧叫做等?。? 3．圓的對稱性 (1)圓的軸對稱性：圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對稱軸； (2)圓的中心對稱性：圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形； (3)圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形：圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，都能和原來的圖形重合．這就是圓的旋轉(zhuǎn)不變性． 二、垂徑定理及推論 1．垂徑定理 垂直于弦的直徑________這條弦，并且________弦所對的兩條弧

3、． 2．推論1 (1)平分弦(________)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??；(2)弦的垂直平分線經(jīng)過________，并且平分弦所對的________?。?3)平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條?。? 3．推論2 圓的兩條平行弦所夾的弧________． 4．(1)過圓心；(2)平分弦(不是直徑)；(3)垂直于弦；(4)平分弦所對的優(yōu)??；(5)平分弦所對的劣?。粢粭l直線具備這五項中任意兩項，則必具備另外三項． 三、圓心角、弧、弦之間的關(guān)系 1．定理 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧________，所對的弦________． 2．推論

4、 同圓或等圓中：(1)兩個圓心角相等；(2)兩條弧相等；(3)兩條弦相等．三項中有一項成立，則其余對應(yīng)的兩項也成立． 四、圓心角與圓周角 1．定義 頂點在________上的角叫做圓心角；頂點在________上，角的兩邊和圓都________的角叫做圓周角． 2．性質(zhì) (1)圓心角的度數(shù)等于它所對的______的度數(shù)． (2)一條弧所對的圓周角的度數(shù)等于它所對________的度數(shù)的一半． (3)同弧或等弧所對的圓周角________，同圓或等圓中相等的圓周角所對的弧________． (4)半圓(或直徑)所對的圓周角是______，90°的圓周角所對的弦是________

5、． 五、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì) 圓內(nèi)接四邊形的對角互補． 自主測試 1．如圖，⊙O的弦AB垂直平分半徑OC，若AB＝，則⊙O的半徑為(　　) A． B．2 C． D． 2．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠BAC＝60°，若⊙O的半徑OC為2，則弦BC的長為(　　) (第2題圖) A．1 B． C．2 D．2 3．如圖，A，B，C是⊙O上的三點，∠BAC＝30°，則∠BOC＝__________. (第3題圖) 4．如圖，AB是⊙O的直徑，C，D，E是⊙O上的點，則∠1＋∠2＝__________.

6、 (第4題圖) 5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙A與y軸相切于原點O，平行于x軸的直線交⊙A于M，N兩點，若點M的坐標(biāo)是(－4，－2)，則弦MN的長為__________． (第5題圖) 考點一、垂徑定理及推論 【例1】在圓柱形油槽內(nèi)裝有一些油．截面如圖，油面寬AB為6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面寬變?yōu)?分米，圓柱形油槽直徑MN為(　　) A．6分米 B．8分米 C．10分米 D．12分米 分析：如圖，油面AB上升1分米得到油面CD，依題意得AB＝6，CD＝8，過O點作 AB的垂線，垂足為E，交CD于F點，連接OA，

7、OC，由垂徑定理，得AE＝AB＝3，CF＝CD＝4，設(shè)OE＝x，則OF＝x－1，在Rt△OAE中，OA2＝AE2＋OE2，在Rt△OCF中，OC2＝CF2＋OF2，由OA＝OC，列方程求x即可求得半徑OA，得出直徑MN. 解析：如圖，依題意得AB＝6，CD＝8，過O點作AB的垂線，垂足為E，交CD于F點，連接OA，OC， 由垂徑定理，得AE＝AB＝3，CF＝CD＝4， 設(shè)OE＝x，則OF＝x－1， 在Rt△OAE中，OA2＝AE2＋OE2， 在Rt△OCF中，OC2＝CF2＋OF2， ∵OA＝OC，∴32＋x2＝42＋(x－1)2，解得x＝4，∴半徑OA＝＝5，∴直徑MN＝2OA＝

8、10(分米)．故選C. 答案：C 方法總結(jié) 有關(guān)弦長、弦心距與半徑的計算，常作垂直于弦的直徑，利用垂徑定理和解直角三角形來達(dá)到求解的目的． 觸類旁通1 如圖所示，若⊙O的半徑為13 cm，點P是弦AB上一動點，且到圓心的最短距離為5 cm，則弦AB的長為__________ cm. 考點二、圓心(周)角、弧、弦之間的關(guān)系 【例2】如圖，已知A，B，C，D是⊙O上的四個點，AB＝BC，BD交AC于點E，連接CD，AD. (1)求證：DB平分∠ADC； (2)若BE＝3，ED＝6，求AB的長． 解：(1)證明：∵AB＝BC， ∴.∴∠ADB＝∠BDC， ∴DB平分∠A

9、DC. (2)由(1)知，∴∠BAE＝∠ADB. ∵∠ABE＝∠ABD，∴△ABE∽△DBA.∴＝. ∵BE＝3，ED＝6，∴BD＝9. ∴AB2＝BE·BD＝3×9＝27.∴AB＝3. 方法總結(jié) 圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理，提供了從圓心角到弧到弦的轉(zhuǎn)化方式，為我們證明角相等、線段相等和弧相等提供了新思路，解題時要根據(jù)具體條件靈活選擇應(yīng)用． 觸類旁通2 如圖，AB是⊙O的直徑，C，D兩點在⊙O上，若∠C＝40°，則∠ABD的度數(shù)為(　　) A．40° B．50° C．80° D．90° 考點三、圓周角定理及推論 【例3】如圖，若AB是⊙O的直徑，

10、CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，則∠BCD＝(　　) A．116° B．32° C．58° D．64° 解析：根據(jù)圓周角定理求得，∠AOD＝2∠ABD＝116°(同弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半)，∠BOD＝2∠BCD(同弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半)；根據(jù)平角是180°知∠BOD＝180°－∠AOD.還有一種解法，即利用直徑所對的圓周角等于90°，可得∠ADB＝90°，則∠DAB＝90°－∠ABD＝32°，∵∠DAB＝∠DCB，∴∠DCB＝32°. 答案：B 方法總結(jié) 求圓中角的度數(shù)時，通常要利用圓周角與圓心角或圓心角與弧之間的關(guān)系． 觸類旁

11、通3 如圖，點A，B，C，D都在⊙O上，的度數(shù)等于84°，CA是∠OCD的平分線，則∠ABD＋∠CAO＝__________. 1．(2012重慶)已知：如圖，OA，OB是⊙O的兩條半徑，且OA⊥OB，點C在⊙O上，則∠ACB的度數(shù)為(　　) (第1題圖) A．45° B．35° C．25° D．20° 2．(2012山東泰安)如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為M，下列結(jié)論不成立的是(　　) (第2題圖) A．CM＝DM B． C．∠ACD＝∠ADC D．OM＝MD 3．(2012浙江湖州)如圖，△ABC

12、是⊙O的內(nèi)接三角形，AC是⊙O的直徑，∠C＝50°，∠ABC的平分線BD交⊙O于點D，則∠BAD的度數(shù)是(　　) (第3題圖) A．45° B．85° C．90° D．95° 4．(2012浙江衢州)工程上常用鋼珠來測量零件上小圓孔的寬口，假設(shè)鋼珠的直徑是10 mm，測得鋼珠頂端離零件表面的距離為8 mm，如圖所示，則這個小圓孔的寬口AB的長度為__________ mm. (第4題圖) 5．(2012四川成都)如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C.若AB＝2，OC＝1，則半徑OB的長為__________． (第5題圖) 6．(2012

13、山東青島)如圖，點A，B，C在⊙O上，∠AOC＝60°，則∠ABC的度數(shù)是__________°. (第6題圖) 7．(2012湖南長沙)如圖，A，P，B，C是半徑為8的⊙O上的四點，且滿足∠BAC＝∠APC＝60°. (1)求證：△ABC是等邊三角形； (2)求圓心O到BC的距離OD. 1．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，如果AB＝10，CD＝8，那么線段OE的長為(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 2．如圖，直徑為10的⊙A經(jīng)過點C(0,5)和點O(0,0)，B是y軸右側(cè)⊙A優(yōu)弧上一點，則∠OBC的余弦值

14、為(　　) A． B． C． D． 3．一條排水管的截面如圖所示．已知排水管的截面圓半徑OB＝10，截面圓圓心O到水面的距離OC是6，則水面寬AB是(　　) A．16　　　　　B．10 C．8 D．6 4．如圖，小華同學(xué)設(shè)計了一個圓直徑的測量器，標(biāo)有刻度的尺子OA，OB在O點釘在一起，并使它們保持垂直，在測直徑時，把O點靠在圓周上，讀得刻度OE＝8個單位，OF＝6個單位，則圓的直徑為(　　) (第4題圖) A．12個單位 B．10個單位 C．4個單位 D．15個單位 5．已知如圖，在圓內(nèi)接四邊形

15、ABCD中，∠B＝30°，則∠D＝__________. (第5題圖) 6．如圖，過A，C，D三點的圓的圓心為E，過B，F(xiàn)，E三點的圓的圓心為D，如果∠A＝63°，那么∠DBE＝__________. (第6題圖) 7．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AD⊥BC于D點，且AC＝5，DC＝3，AB＝4，則⊙O的直徑等于________． (第7題圖) 8．如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，CD為∠BCA外角的平分線，F(xiàn)為弧AD上一點，BC＝AF，延長DF與BA的延長線交于點E.求證： (1)△ABD為等腰三角形； (2)AC·AF＝DF·FE. 參考答案 導(dǎo)學(xué)

16、必備知識 自主測試 1．A　2．D　3．60°　4．90° 5．3　如圖，過點A作AB⊥MN，連接AM， 設(shè)MB為x，則AM＝AO＝4－x. 在Rt△AMB中， ∵AM2＝MB2＋AB2， ∴(4－x)2＝x2＋22，解得x＝. ∴MN＝2MB＝3. 探究考點方法 觸類旁通1．24　連接OA，當(dāng)OP⊥AB時，OP最短，此時OP＝5 cm，且AB＝2AP.在Rt△AOP中，AP＝＝＝12，所以AB＝24 cm. 觸類旁通2．B　由題意，得∠A＝∠C＝40°，由直徑所對的圓周角是直角，得∠ADB＝90°，根據(jù)直角三角形兩銳角互余或三角形內(nèi)角和定理得∠A＋∠ABD＝90°，

17、從而得∠ABD＝50°. 觸類旁通3．48°　因為的度數(shù)等于84°，所以∠COD＝84°.因為OC＝OD，所以∠OCD＝48°.因為CA是∠OCD的平分線，所以∠ACD＝∠ACO＝24°，因為OA＝OC，所以∠OAC＝∠ACO＝24°，因為∠ABD＝∠ACD＝24°，所以∠ABD＋∠CAO＝48°. 品鑒經(jīng)典考題 1．A　∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∴∠ACB＝45°.故選A. 2．D　∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為M， ∴M為CD的中點，即CM＝DM，選項A成立； B為的中點，即CB＝DB，選項B成立； 在△ACM和△ADM中， ∵AM＝AM，∠AMC＝∠AM

18、D＝90°，CM＝DM， ∴△ACM≌△ADM(SAS)， ∴∠ACD＝∠ADC，選項C成立； 而OM與MD不一定相等，選項D不成立． 故選D. 3．B　∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC＝90°.∵∠ABC的平分線BD交⊙O于點D，∴∠ABD＝45°.∵∠C＝50°，∴∠D＝50°，∴∠BAD的度數(shù)是180°－45°－50°＝85°. 4．8　如圖所示，在⊙O中，連接OA，過點O作OD⊥AB于點D，則AB＝2AD. ∵鋼珠的直徑是10 mm， ∴鋼珠的半徑是5 mm. ∵鋼珠頂端離零件表面的距離為8 mm， ∴OD＝3 mm. 在Rt△AOD中， ∵AD＝＝＝4(mm

19、)． ∴AB＝2AD＝2×4＝8(mm)． 故答案為8. 5．2　∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，AB＝2， ∴BC＝AB＝.∵OC＝1， ∴在Rt△OBC中， OB＝＝＝2. 故答案為2. 6．150　因為∠AOC＝60°，則它所對的弧度為60°，所以∠ABC所對的弧度為300°.因為∠ABC是圓周角，所以∠ABC＝150°. 7．(1)證明：在△ABC中，∵∠BAC＝∠APC＝60°， ∠APC＝∠ABC，∴∠ABC＝60°， ∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－60°－60°＝60°，∴△ABC是等邊三角形． (2)解：如圖，連接OB，則OB＝8

20、，∠OBD＝30°. 又∵OD⊥BC于D，∴OD＝OB＝4. 研習(xí)預(yù)測試題 1．C　2．C　3．A　4．B 5．150°　6．18° 7．5　連接AO并延長交圓于點E，連接BE.(如圖) ∵AE為⊙O的直徑， ∴∠ABE＝90°. ∴∠ABE＝∠ADC. 又∵∠AEB＝∠ACD， ∴△ABE∽△ADC. ∴＝.∵在Rt△ADC中，AC＝5，DC＝3， ∴AD＝4.∴AE＝5. 8．證明：(1)由圓的性質(zhì)知∠MCD＝∠DAB，∠DCA＝∠DBA，而∠MCD＝∠DCA， ∴∠DBA＝∠DAB，故△ABD為等腰三角形． (2)∵∠DBA＝∠DAB，∴. 又∵BC＝AF，∴，∠CDB＝∠FDA， ∴，∴CD＝DF. 由“圓的內(nèi)接四邊形外角等于它的內(nèi)對角”知， ∠AFE＝∠DBA＝∠DCA，① ∠FAE＝∠BDE. ∴∠CDA＝∠CDB＋∠BDA＝∠FDA＋∠BDA＝∠BDE＝∠FAE，② 由①②得△CDA∽△FAE.∴＝， ∴AC·AF＝CD·FE. 而CD＝DF，∴AC·AF＝DF·FE. 11