《【步步高】2014屆高三數(shù)學(xué)一輪 12.6 離散型隨機(jī)變量的均值與方差課時檢測 理 （含解析）北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《【步步高】2014屆高三數(shù)學(xué)一輪 12.6 離散型隨機(jī)變量的均值與方差課時檢測 理 （含解析）北師大版（7頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 12.6 離散型隨機(jī)變量的均值與方差 一、選擇題 1．若隨機(jī)變量X的分布列如下表，則E(X)等于(　　) X 0 1 2 3 4 5 P 2x 3x 7x 2x 3x x A.　　　　　　　　　 B. C. D. 解析 由分布列的性質(zhì)可得2x＋3x＋7x＋2x＋3x＋x＝1，∴x＝.∴E(X)＝0×2x＋1×3x＋2×7x＋3×2x＋4×3x＋5x＝40x＝. 答案 C 2．某班有的學(xué)生數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀，如果從班中隨機(jī)地找出5名同學(xué)，那么其中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的學(xué)生

2、數(shù)X～B，則E(2X＋1)等于(　　) A. B. C．3 D. 解析 因?yàn)閄～B，所以E(X)＝，所以E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝2×＋1＝. 答案 D 3．已知隨機(jī)變量X＋η＝8，若X～B(10，0.6)，則E(η)，D(η)分別是(　　)． A．6和2.4 B．2和2.4 C．2和5.6 D．6和

3、5.6 解析　若兩個隨機(jī)變量η，X滿足一次關(guān)系式η＝aX＋b(a，b為常數(shù))，當(dāng)已知E(X)、D(X)時，則有E(η)＝aE(X)＋b，D(η)＝a2D(X)．由已知隨機(jī)變量X＋η＝8，所以有η＝8－X.因此，求得E(η)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2， D(η)＝(－1)2D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4. 答案　B 4．已知X的分布列為 X －1 0 1 P 則在下列式子中：①E(X)＝－；②D(X)＝； ③P(X＝0)＝. 正確的個數(shù)是(　　)． A．0 B．1 C．2

4、 D．3 解析　E(X)＝(－1)×＋1×＝－，故①正確． D(X)＝2×＋2×＋2×＝，故②不正確． 由分布列知③正確． 答案　C 5．一個籃球運(yùn)動員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為c，a、b、c∈(0,1)，且無其他得分情況，已知他投籃一次得分的數(shù)學(xué)期望為1，則ab的最大值為(　　) A. B. C. D. 解析 依題意得3a＋2b＋0×c＝1，∵a＞0，b＞0，∴3a＋2b≥2， 即2≤1，∴ab≤.當(dāng)且僅當(dāng)3a＝2b即

5、a＝，b＝時等式成立． 答案 B 6．某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1 000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需要再補(bǔ)種2粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學(xué)期望為(　　)． A．100 B．200 C．300 D．400 解析　種子發(fā)芽率為0.9，不發(fā)芽率為0.1，每粒種子發(fā)芽與否相互獨(dú)立，故設(shè)沒有發(fā)芽的種子數(shù)為ξ，則ξ～B(1 000,0.1)，∴E(ξ)＝1 000×0.1＝100， 故需補(bǔ)種的期望為E(X)＝2·E(ξ)＝200. 答案　B 7．簽盒中有編號為1、2、3、4、5、6的六支簽，從中任意取3

6、支，設(shè)X為這3支簽的號碼之中最大的一個，則X的數(shù)學(xué)期望為(　　)． A．5 B．5.25 C．5.8 D．4.6 解析　由題意可知，X可以取3,4,5,6， P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝， P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝. 由數(shù)學(xué)期望的定義可求得E(X)＝5.25. 答案　B 二、填空題 8. 某畢業(yè)生參加人才招聘會，分別向甲、乙、丙三個公司投遞了個人簡歷，假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為，得到乙、丙兩公司面試的概率為，且三個公司是否讓其面試是相互獨(dú)立的。記為該畢業(yè)生得到面試得公司個數(shù)。若，則隨機(jī)變量

7、的數(shù)學(xué)期望 答案 9．已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如右表，若E(X)＝0，D(X)＝1，則a＝________，b＝________. 解析　由題意知解得 答案　　 10．馬老師從課本上抄錄一個隨機(jī)變量ξ的概率分布列如下表： ξ 1 2 3 P ？ ！ ？ 請小牛同學(xué)計算ξ的數(shù)學(xué)期望．盡管“！”處完全無法看清，且兩個“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個“？”處的數(shù)值相同．據(jù)此，小牛給出了正確答案E(ξ)＝________. 解析　令“？”為a，“！”為b，則2a＋b＝1.又E(ξ)＝a＋2b＋3a＝2(2a＋b)＝2. 答案　2 11．袋中有大小、

8、形狀相同的紅、黑球各一個，每次摸取一個球記下顏色后放回，現(xiàn)連續(xù)取球8次，記取出紅球的次數(shù)為X，則X的方差D(X)＝________. 解析 每次取球時，紅球被取出的概率為，8次取球看做8次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，紅球出現(xiàn)的次數(shù)X～B，故D(X)＝8××＝2. 答案 2 12．罐中有6個紅球，4個白球，從中任取1球，記住顏色后再放回，連續(xù)摸取4次，設(shè)ξ為取得紅球的次數(shù)，則ξ的期望E(ξ)＝________. 解析　因?yàn)槭怯蟹呕氐孛颍悦看蚊?試驗(yàn))摸得紅球(成功)的概率均為，連續(xù)摸4次(做4次試驗(yàn))，ξ為取得紅球(成功)的次數(shù)，則ξ～B， 從而有E(ξ)＝np＝4×＝. 答案　 三、

9、解答題 13．某品牌汽車的4S店，對最近100位采用分期付款的購車者進(jìn)行了統(tǒng)計，統(tǒng)計結(jié)果如下表所示：已知分3期付款的頻率為0.2，且4S店經(jīng)銷一輛該品牌的汽車，顧客分1期付款，其利潤為1萬元；分2期或3期付款其利潤為1.5萬元；分4期或5期付款，其利潤為2萬元．用η表示經(jīng)銷一輛汽車的利潤. 付款方式 分1期 分2期 分3期 分4期 分5期 頻數(shù) 40 20 a 10 b (1)若以頻率作為概率，求事件A：“購買該品牌汽車的3位顧客中，至多有1位采用分3期付款”的概率P(A)； (2)求η的分布列及其數(shù)學(xué)期望E(η)． 解析 (1)由題意可知“購買該品牌汽車的

10、3位顧客中有1位采用分3期付款”的概率為0.2，所以 P(A)＝0.83＋C×0.2×(1－0.2)2＝0.896. (2)由＝0.2得a＝20， ∵40＋20＋a＋10＋b＝100，∴b＝10. 記分期付款的期數(shù)為ξ，依題意得： P(ξ＝1)＝＝0.4，P(ξ＝2)＝＝0.2，P(ξ＝3)＝＝0.2，P(ξ＝4)＝＝0.1， P(ξ＝5)＝＝0.1. 由題意知η的可能取值為：1,1.5,2(單位：萬元)． P(η＝1)＝P(ξ＝1)＝0.4， P(η＝1.5)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.4； P(η＝2)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝0.1＋0.1＝0.2. ∴η

11、的分布列為： η 1 1.5 2 P 0.4 0.4 0.2 ∴η的數(shù)學(xué)期望E(η)＝1×0.4＋1.5×0.4＋2×0.2＝1.4(萬元)． 14．如圖，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，據(jù)統(tǒng)計，通過兩條路徑所用的時間互不影響，所用時間落在各時間段內(nèi)的頻率如下表： 時間(分鐘) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 L1的頻率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 L2的頻率 0 0.1 0.4 0.4 0.1 現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站． (1)為了盡最大可能在

12、各自允許的時間內(nèi)趕到火車站，甲和乙應(yīng)如何選擇各自的路徑？ (2)用X表示甲、乙兩人中在允許的時間內(nèi)能趕到火車站的人數(shù)，針對(1)的選擇方案，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望． 解析　(1)Ai表示事件“甲選擇路徑Li時，40分鐘內(nèi)趕到火車站”，Bi表示事件“乙選擇路徑Li時，50分鐘內(nèi)趕到火車站”，i＝1,2. 用頻率估計相應(yīng)的概率可得 P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5， ∵P(A1)＞P(A2)，∴甲應(yīng)選擇L1； P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9， ∵P(B2)＞P(B1)，∴乙應(yīng)

13、選擇L2. (2)A，B分別表示針對(1)的選擇方案，甲、乙在各自允許的時間內(nèi)趕到火車站， 由(1)知P(A)＝0.6，P(B)＝0.9，又由題意知，A，B獨(dú)立， ∴P(X＝0)＝P()＝P()P()＝0.4×0.1＝0.04， P(X＝1)＝P(B＋A)＝P()P(B)＋P(A)P() ＝0.4×0.9＋0.6×0.1＝0.42， P(X＝2)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.6×0.9＝0.54. ∴X的分布列為 X 0 1 2 P 0.04 0.42 0.54 ∴E(X)＝0×0.04＋1×0.42＋2×0.54＝1.5. 15．某省示范高中為了推進(jìn)新

14、課程改革，滿足不同層次學(xué)生的需求，決定從高一年級開始，在每周的周一、周三、周五的課外活動期間同時開設(shè)數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物和信息技術(shù)輔導(dǎo)講座，每位有興趣的同學(xué)可以在期間的任何一天參加任何一門科目的輔導(dǎo)講座，也可以放棄任何一門科目的輔導(dǎo)講座．(規(guī)定：各科達(dá)到預(yù)先設(shè)定的人數(shù)時稱為滿座，否則稱為不滿座)統(tǒng)計數(shù)據(jù)表明，各學(xué)科講座各天的滿座的概率如下表： 信息技術(shù) 生物 化學(xué) 物理 數(shù)學(xué) 周一 周三 周五 (1)求數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講座在周一、周三、周五都不滿座的概率； (2)設(shè)周三各輔導(dǎo)講座滿座的科目數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列

15、和數(shù)學(xué)期望． 解析　(1)設(shè)數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講座在周一、周三、周五都不滿座為事件A， 則P(A)＝＝. (2)ξ的可能取值為0,1,2,3,4,5. P(ξ＝0)＝4×＝； P(ξ＝1)＝C××3×＋4×＝； P(ξ＝2)＝C×2×2×＋C××3×＝； P(ξ＝3)＝C×3××＋C×2×2×＝； P(ξ＝4)＝4×＋C×3××＝； P(ξ＝5)＝4×＝. 所以，隨機(jī)變量ξ的分布列如下： ξ 0 1 2 3 4 5 P 故E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝. 16．某城市有甲、乙、丙3個旅游景點(diǎn)，一位游客游覽這3個景點(diǎn)的概率分別

16、是0.4、0.5、0.6，且游客是否游覽哪個景點(diǎn)互不影響，用X表示該游客離開該城市時游覽的景點(diǎn)數(shù)與沒有游覽的景點(diǎn)數(shù)之差的絕對值． (1)求X的分布列及期望； (2)記“f(x)＝2Xx＋4在[－3，－1]上存在x0，使f(x0)＝0”為事件A，求事件A的概率． 解析　(1)設(shè)游客游覽甲、乙、丙景點(diǎn)分別記為事件A1、A2、A3，已知A1、A2、A3相互獨(dú)立，且P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.5，P(A3)＝0.6.游客游覽的景點(diǎn)數(shù)可能取值為0、1、2、3，相應(yīng)的游客沒有游覽的景點(diǎn)數(shù)可能取值為3、2、1、0， 所以X的可能取值為1、3.則P(X＝3)＝P(A1A2A3)＋P(　　) ＝P(A1)·P(A2)·P(A3)＋P()·P()·P() ＝2×0.4×0.5×0.6＝0.24. P(X＝1)＝1－0.24＝0.76. 所以分布列為： X 1 3 P 0.76 0.24 ∴E(X)＝1×0.76＋3×0.24＝1.48. (2)∵f(x)＝2Xx＋4在[－3，－1]上存在x0，使得f(x0)＝0， ∴f(－3)·f(－1)≤0，即(－6X＋4)(－2X＋4)≤0， 解得：≤X≤2. ∴P(A)＝P＝P(X＝1)＝0.76. 7