3、＝k＋1的推理不正確
解析 在n＝k＋1時(shí)，沒(méi)有應(yīng)用n＝k時(shí)的假設(shè)，不是數(shù)學(xué)歸納法．
答案 D
4.利用數(shù)學(xué)歸納法證明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N*)”時(shí)，在驗(yàn)證n＝1成立時(shí)，左邊應(yīng)該是( )
A 1 B 1＋a
C 1＋a＋a2 D 1＋a＋a2＋a3
解析當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1＋a＋a2，故選C.
答案 C
5．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋2＋3＋…＋n2＝，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)左端應(yīng)在n＝k的基礎(chǔ)上加上( )．
A．k2＋1
B．(k＋
4、1)2
C.
D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2
解析 ∵當(dāng)n＝k時(shí)，左側(cè)＝1＋2＋3＋…＋k2，
當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
左側(cè)＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2，
∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左端應(yīng)在n＝k的基礎(chǔ)上加上
(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2.
答案 D
6．下列代數(shù)式(其中k∈N*)能被9整除的是( )
A．6＋6·7k B．2＋7k－1
C．2(2＋7k＋1) D．3(2＋7k)
解析 (1)當(dāng)k＝1時(shí)，顯然只有3(
5、2＋7k)能被9整除．
(2)假設(shè)當(dāng)k＝n(n∈N*)時(shí)，命題成立，即3(2＋7n)能被9整除，
那么3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36.
這就是說(shuō)，k＝n＋1時(shí)命題也成立．
由(1)(2)可知，命題對(duì)任何k∈N*都成立．
答案 D
7．用數(shù)學(xué)歸納法證明1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左端應(yīng)在n＝k的基礎(chǔ)上加上( )．
A. B．－
C.－ D.＋
解析 ∵當(dāng)n＝k時(shí)，左側(cè)＝1－＋－＋…＋－，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
左側(cè)＝1－＋－＋…＋－＋－.
答案 C
6、
二、填空題
8．對(duì)大于或等于2的自然數(shù) m的n 次方冪有如下分解方式：
22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7；23＝3＋5,33＝7＋9＋11,
43＝13＋15＋17＋19.
根據(jù)上述分解規(guī)律，若n2＝1＋3＋5＋…＋19, m3(m∈N*)的分解中最小的數(shù)是21，則m＋n的值為_(kāi)_______．
解析 依題意得 n2＝＝100,
∴n＝10. 易知 m3＝21m＋×2,
整理得(m－5)(m＋4)＝0, 又 m∈N*, 所以 m＝5, 所以m＋n＝15.
答案 15
9.用數(shù)學(xué)歸納法證明：
＋＋…＋＝；當(dāng)推證當(dāng)n＝k＋1等式也成立時(shí)，用上歸納假設(shè)后
7、需要證明的等式是 .
解析 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
＋＋…＋＋
＝＋
故只需證明＋
＝即可.
答案 ＋＝
10．如下圖，在楊輝三角形中，從上往下數(shù)共有n(n∈N*)行，在這些數(shù)中非1的數(shù)字之和是________________．
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
…
解析 所有數(shù)字之和Sn＝20＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1，
除掉1的和2n－1－(2n－1)＝2n－2n.
答案 2n－2n
11．在數(shù)列{an}中，a1＝且Sn＝n(2n－1)an，通過(guò)計(jì)算a2，a3，a4，猜想an的表達(dá)式是________
8、．
解析 當(dāng)n＝2時(shí)，a1＋a2＝6a2，即a2＝a1＝；
當(dāng)n＝3時(shí)，a1＋a2＋a3＝15a3，
即a3＝(a1＋a2)＝；
當(dāng)n＝4時(shí)，a1＋a2＋a3＋a4＝28a4，
即a4＝(a1＋a2＋a3)＝.
∴a1＝＝，a2＝＝，a3＝＝，a4＝，
故猜想an＝.
答案 an＝
12．用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xn＋yn能被x＋y整除”，當(dāng)?shù)诙郊僭O(shè)n＝2k－1(k∈N*)命題為真時(shí)，進(jìn)而需證n＝________時(shí)，命題亦真．
解析 ∵n為正奇數(shù)，假設(shè)n＝2k－1成立后，需證明的應(yīng)為n＝2k＋1時(shí)成立．
答案 2k＋1
三、解答題
13．用數(shù)學(xué)歸納法證明下
9、面的等式
12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1.
證明 (1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝12＝1，
右邊＝(－1)0·＝1，
∴原等式成立．
(2)假設(shè)n＝k(k∈N*，k≥1)時(shí)，等式成立，
即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2
＝(－1)k－1.
那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，則有
12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＋(－1)k(k＋1)2
＝(－1)k－1＋(－1)k·(k＋1)2
＝(－1)k·[－k＋2(k＋1)]
＝(－1)k，
∴n＝k＋1時(shí)，等式也成立，
由(1)(2)得對(duì)任意n∈N*有
12－22＋32－
10、42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1.
14．已知數(shù)列{an}中，a1＝a(a＞2)，對(duì)一切n∈N*，an＞0，an＋1＝.
求證：an＞2且an＋1＜an.
證明 法一 ∵an＋1＝＞0，
∴an＞1，
∴an－2＝－2＝≥0，
∴an≥2.若存在ak＝2，則ak－1＝2，
由此可推出ak－2＝2，…，a1＝2，
與a1＝a＞2矛盾，故an＞2.
∵an＋1－an＝＜0，
∴an＋1＜an.
法二 (用數(shù)學(xué)歸納法證明an＞2)
①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝a＞2，故命題an＞2成立；
②假設(shè)n＝k(k≥1且k∈N*)時(shí)命題成立，
即ak＞2，那么，ak＋1－2＝
11、－2＝＞0.
所以ak＋1＞2，即n＝k＋1時(shí)命題也成立．
綜上所述，命題an＞2對(duì)一切正整數(shù)成立．
an＋1＜an的證明同上．
15．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝c－.
(1)設(shè)c＝，bn＝，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)求使不等式an＜an＋1＜3成立的c的取值范圍．
解析 (1)an＋1－2＝－－2＝，＝＝＋2，
即bn＋1＝4bn＋2.
bn＋1＋＝4，又a1＝1，故b1＝＝－1，
所以是首項(xiàng)為－，公比為4的等比數(shù)列，
bn＋＝－×4n－1，bn＝－－.
(2)a1＝1，a2＝c－1，由a2＞a1，得c＞2.
用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)c＞2時(shí)，an
12、＜an＋1.
(ⅰ)當(dāng)n＝1時(shí)，a2＝c－＞a1，命題成立；
(ⅱ)設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1且k∈N*)時(shí)，ak＜ak＋1，
則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
ak＋2＝c－＞c－＝ak＋1.
故由(ⅰ)(ⅱ)知當(dāng)c＞2時(shí)，an＜an＋1.
當(dāng)c＞2時(shí)，因?yàn)閏＝an＋1＋＞an＋，
所以a－can＋1＜0有解，
所以＜an＜，令α＝，
當(dāng)2＜c≤時(shí)，an＜α≤3.
當(dāng)c＞時(shí)，α＞3，且1≤an＜α，于是α－an＋1＝(α－an)＜(α－an)＜(α－an－1)＜…(α－1)．
當(dāng)n＞log3時(shí)，α－an＋1＜α－3，an＋1＞3，與已知矛盾．
因此c＞不符合要求．
所以c的取值范圍是.
13、
16．是否存在常數(shù)a、b、c使等式12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝an(bn2＋c)對(duì)于一切n∈N*都成立，若存在，求出a、b、c并證明；若不存在，試說(shuō)明理由．
解析 假設(shè)存在a、b、c使12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝an(bn2＋c)對(duì)于一切n∈N*都成立．
當(dāng)n＝1時(shí)，a(b＋c)＝1；
當(dāng)n＝2時(shí)，2a(4b＋c)＝6；
當(dāng)n＝3時(shí)，3a(9b＋c)＝19.
解方程組
解得
證明如下：
①當(dāng)n＝1時(shí)，由以上知存在常數(shù)a，b，c使等式成立．
②假設(shè)n＝k(k∈N*)時(shí)等式成立，
即12＋22＋32＋…＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12＝k(2k2＋1)；
當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12
＝k(2k2＋1)＋(k＋1)2＋k2
＝k(2k2＋3k＋1)＋(k＋1)2
＝k(2k＋1)(k＋1)＋(k＋1)2
＝(k＋1)(2k2＋4k＋3)
＝(k＋1)[2(k＋1)2＋1]．
即n＝k＋1時(shí)，等式成立．
因此存在a＝，b＝2，c＝1使等式對(duì)一切n∈N*都成立．
7
【步步高】2014屆高三數(shù)學(xué)一輪 13.4 數(shù)學(xué)歸納法課時(shí)檢測(cè) 理 （含解析）北師大版
