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1、2.3 極限應(yīng)用的一個例子 連續(xù)函數(shù),連續(xù)函數(shù)的概念 反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性 初等函數(shù)的連續(xù)性,2.3.1連續(xù)函數(shù)的概念,1.連續(xù)函數(shù)的兩個定義,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閄, 如圖所示,x=xx0, 稱為自變量, 在點(diǎn)x0的改變量或增量.,y=f(x)f(x0) 或 y=f(x0+x)f(x0) 稱為函數(shù)的改變量或增量.,設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的鄰域內(nèi)有定 義, 當(dāng)xx0時f(x)的極限存在, 且等于該 點(diǎn)處的函數(shù)值f(x0), 即,定義1,則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù), x0稱為函數(shù) f(x)的連續(xù)點(diǎn).,如果函數(shù)在某一區(qū)間的任意一點(diǎn)都 連續(xù),則稱此函數(shù)是該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù).,連

2、續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間 斷的曲線.,例1. 證明函數(shù),在x=0處連續(xù).,證,又 f(0)=0,,則,由定義1知,,函數(shù)f(x)在x=0處連續(xù).,,則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù),設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的鄰域內(nèi)有定 義,當(dāng)x=xx00時, y=f(x)f(x0)0, 即,定義2,函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的本質(zhì)特征: 自變量變化很小時,函數(shù)值的變化也很小.,例2. 證明正弦函數(shù)y=sinx在區(qū)間(,+) 內(nèi)連續(xù).,證,任取x(,+),,y=sin(x+x)sinx,由于|sin||| ，,當(dāng)x0時, y0,則 |y|<|x| .,,即sinx在點(diǎn)x處連續(xù).,由x的任意性,命題得證.,2.函數(shù)的間斷點(diǎn)

3、,由定義1,函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)應(yīng) 同時滿足三個條件：,(1) f(x)在點(diǎn)x0處有定義,(2),存在,(3),如果這三個條件至少有一個不滿 足,則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0間斷, x0稱為函 數(shù)的間斷點(diǎn).,例如, 函數(shù),在x=0處無定義,所以x=0是該函數(shù)的間斷點(diǎn).,例如, 函數(shù),在x=0處極限不存在,,所以x=0是該函數(shù)的間斷點(diǎn).,另: 第二個條件可以用“左、右極限存在 且相等”來代替,用于討論分段函數(shù)的 連續(xù)性.,例3. 討論函數(shù),在x=0處的連續(xù)性.,解：,左、右極限存在但不相等, 故,不存在,,即該函數(shù)在x=0處間斷.,例4.,問a為何值時,,f (x)在x=0連續(xù).,解: f

4、 (0)=3,= 3,為使f (x)在x=0連續(xù), 必須 f (00)=f (0)=f (0+0),即, a=3.,故 a=3時, f (x)在x=0連續(xù).,= a,或f(x)在點(diǎn)x0處 無定義,則稱點(diǎn)x0為函數(shù)f(x)的可去間斷點(diǎn).,間斷點(diǎn)的類型,1. 跳躍間斷點(diǎn) 如果f(x)在點(diǎn)x0左、右極限 都存在, 但,, 則稱點(diǎn)x0 為函數(shù)f(x)的跳躍間斷點(diǎn)。,如例3,2. 可去間斷點(diǎn) 如果f(x)在點(diǎn)x0處的極限存 在, 但,跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類 間斷點(diǎn).,特點(diǎn): 函數(shù)在點(diǎn)x0處的左、右極限都存在.,第一類間斷點(diǎn),第二類間斷點(diǎn) 如果f(x)在點(diǎn)x0處的左、 右極限至少有一個不存在,

5、則稱點(diǎn)x0為函 數(shù)f(x)的第二類間斷點(diǎn).,無窮型,振蕩型,第二類間斷點(diǎn),例. 確定函數(shù),間斷點(diǎn)的類型.,解: 間斷點(diǎn),為無窮間斷點(diǎn);,故,為跳躍間斷點(diǎn).,2.3.2連續(xù)函數(shù)求極限的法則,設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù), 則,連續(xù)函數(shù)求極限的法則：連續(xù)函數(shù)在連 續(xù)點(diǎn)處的極限值等于函數(shù)在該點(diǎn)處的函 數(shù)值（極限符號可以與函數(shù)符號互換）.,例1. 求,解：,可以證明，函數(shù)cosx在(-,+)內(nèi) 為連續(xù)函數(shù).,函數(shù)cosx在點(diǎn)x=處連續(xù). 則,=cos,= 1,2.3.3 初等函數(shù)的連續(xù)性,1.連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算 2.反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性 3.初等函數(shù)的連續(xù)性,(g(x0)0) 在 點(diǎn)x0處也連續(xù).

6、,1.連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算,若函數(shù)f(x), g(x)在點(diǎn)x0處連續(xù),則 f(x)g(x), f(x)g(x),,例如，sinx, cosx在(,+)內(nèi)連續(xù),,故tanx, cotx, secx, cscx在其定義域內(nèi) 連續(xù).,2.反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性,定理1 單調(diào)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)仍是單調(diào) 連續(xù)函數(shù).,例如, y=sinx在/2, /2上單調(diào)增加且連續(xù),,故y=arcsinx在1,1上也單調(diào)增加且連續(xù).,同理y=arccosx在1,1上單調(diào)減少且連續(xù),,y=arctanx, y=arccotx在(,+)上單 調(diào)且連續(xù).,定理2 連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍是連續(xù)函數(shù).,例如,,在(,0)(0,+)內(nèi)

7、連續(xù),,y=sinu在(,+)內(nèi)連續(xù),,在(,0)(0,+)內(nèi)連續(xù).,3.初等函數(shù)的連續(xù)性,常數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的.,指數(shù)函數(shù)y=ax (a0,a1)在(,+) 內(nèi)單調(diào)且連續(xù).,對數(shù)函數(shù)y=logax (a0,a1)在(0,+) 內(nèi)單調(diào)且連續(xù).,冪函數(shù)y=x,而y=au, u=logax在(0,+)內(nèi)連續(xù).,討論不同值,冪函數(shù)均在其定義域內(nèi)連續(xù).,可知, 所有基本初等函數(shù)在其有定義 的區(qū)間內(nèi)連續(xù).,進(jìn)一步, 初等函數(shù)在其有定義的區(qū)間 內(nèi)連續(xù).,是初等函數(shù),在點(diǎn) x0=1處有定義,例. 求,解：,原式=,故在x0=1處連續(xù),由連續(xù)函數(shù)求極限的法則,有,思考題,設(shè),

8、已知f(x)在x=0處連續(xù), 試確定a和b的值,答案：(a=1,b=e),2.3.4 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),一、最大值和最小值定理 二、介值定理,1.最大值和最小值定理,定理1 (最大值和最小值定理) 閉區(qū)間上 的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值.,至少存在一個 最高點(diǎn)(x1, f(x1))和 最低點(diǎn)(x2, f(x2)),,使得xa,b,,有f(x1)f(x) f(x2)f(x).,1. 若區(qū)間不是閉區(qū)間,定理不一定 成立,2. 若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn),定理不一定 成立,注意:,,但它既存在最大值,也存 在最小值.,推論(有界性定理) 在閉區(qū)間上連續(xù)的 函數(shù)一定在該區(qū)間上有界.,例如,符號函

9、數(shù),不是連續(xù)函數(shù),應(yīng)注意條件與結(jié)論之間的邏輯關(guān)系.,2.介值定理,定理2(介值定理) 若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間 a,b上連續(xù),且f(a)f(b), 為介于f(a)與 f(b)之間的任意一個數(shù),即f(a)f(b),則至少存在一個內(nèi)點(diǎn)(a, b),使得f()= .,連續(xù)曲線弧y=f(x) 與水平直線y=至 少有一個交點(diǎn).,推論 (根的存在定理) 若函數(shù)f(x)在閉區(qū) 間a,b上連續(xù),且f(a)與f(b)異號, 則至少 存在一個內(nèi)點(diǎn)(a,b),使得f()=0.,連續(xù)曲線弧y=f(x)的 兩個端點(diǎn)位于x軸的 兩側(cè), 則曲線弧與x 軸至少有一個交點(diǎn),若方程f(x)=0左端的函數(shù)f(x)在閉 區(qū)間a,b兩個

10、端點(diǎn)處的函數(shù)值異 號,則該方程在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少 存在一個根 .,應(yīng)用:,例1. 證明方程x34x2+1=0在區(qū)間(0,1)內(nèi) 至少有一根.,證,令f(x)=x34x2+1，,則f(x)在區(qū)間0,1上連續(xù).,又 f(0)=1,f(1)= 2,由根的存在定理,,(0,1),使f()=0.,即342+1=0.,故方程x34x2+1=0在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少 有一根 .,0,,<0,,例2. 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù),且 f(a)b,證明(a,b),使f()=.,證,令F(x)=f(x)x,,則F(x)在a,b上連續(xù).,而F(a)=f(a)a,<0,,F(b)=f(b)b,0.,由根的存在定理,,(a,b),使F()=f() =0,,即f()= .,例3.,至少有一個不超過 4 的,證：,證明,令,且,根據(jù)零點(diǎn)定理 ,,原命題得證 .,內(nèi)至少存在一點(diǎn),在開區(qū)間,顯然,正根 .,