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1、2 線性變換的運算,3 線性變換的矩陣,4 特征值與特征向量,1 線性變換的定義,6線性變換的值域與核,8 若當標準形簡介,9 最小多項式,7不變子空間,小結與習題,第七章 線性變換,5 對角矩陣,7.1 線性變換的定義,一、線性變換的定義,二、線性變換的簡單性質(zhì),7.1 線性變換的定義,7.1 線性變換的定義,引入,在討論線性空間的同構時，我們考慮的是一種,保持向量的加法和數(shù)量乘法的一一對應. 我們常稱,線性變換.,映射. 本節(jié)要討論的是在線性空間V上的線性映射,兩線性空間之間保持加法和數(shù)量乘法的映射為線性,,7.1 線性變換的定義,一、 線性變換的定義,設V為數(shù)域P上的線性空間，若變換,滿

2、足：,則稱為線性空間V上的線性變換.,7.1 線性變換的定義,,注：幾個特殊線性變換,由數(shù)k決定的數(shù)乘變換：,事實上，,單位變換(恒等變換)：,零變換：,7.1 線性變換的定義,例1. (實數(shù)域上二維向量空間)，把V中每,一向量繞坐標原點旋轉(zhuǎn)角，就是一個線性變換，,這里，,易驗證：,7.1 線性變換的定義,,例2 為一固定非零向量，把V中每,一個向量變成它在上的內(nèi)射影是V上的一個線,性變換. 用 表示，即,這里表示內(nèi)積.,易驗證：,,,,,7.1 線性變換的定義,例3上的求微商是一個 線性變換，,用D表示，即,例4. 閉區(qū)間 上的全體連續(xù)函數(shù)構成的線性空間,是一個線性變換.,上的變換,7.1 線性變換的定義,1 為V的線性變換，則,2線性變換保持線性組合及關系式不變，即,若,則,3線性變換把線性相關的向量組的變成線性相關,二、 線性變換的簡單性質(zhì),的向量組. 即,7.1 線性變換的定義,若 線性相關，則,也線性相關.,事實上，若有不全為零的數(shù)使,則由2即有，,線性相關的向量組. 如零變換.,事實上，線性變換可能把線性無關的向量組變成,注意：3的逆不成立，即,線性相關，未必線性相關.,7.1 線性變換的定義,練習：下列變換中，哪些是線性變換？,2在 中，,1在 中，,5復數(shù)域C看成是自身上的線性空間，,6C看成是實數(shù)域R上的線性空間，,,,,,