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1、飛機觀測數據修正模型,例飛機在飛行過程中，能夠收到地面上各個監(jiān)控臺發(fā)來的關于飛機當前位置的信息，根據這些信息可以比較精確地確定飛機的位置。如圖所示，VOR是高頻多向導航設備的英文縮寫，它能夠得到飛機與該設備連線的角度信息；DME是距離測量裝置的英文縮寫，它能夠得到飛機與該設備的距離信息。圖中飛機接收到來自3個VOR給出的角度和1個DME給出的距離(括號內是測量誤差限)，并已知這4種設備的x，y坐標(假設飛機和這些設備在同一平面上)。如何根據這些信息精確地確定當前飛機的位置？,問題分析 記4種設備VOR1、VOR2、VOR3、DME的坐標為(xi, yi)(以km為單位)，i=1, 2, 3

2、, 4；VOR1、VOR2、VOR3測量得到的角度為i (從圖中可以看出，按照航空飛行管理的慣例，該角度是從北開始，沿順時針方向的角度，取值在003600之間)，角度的誤差限為i，i=1, 2, 3；DME測量得到的距離為d4 (km)，距離的誤差限為4。設飛機當前位置的坐標為(x, y)，則問題就是由下表的已知數據計算(x, y)。,模型1及求解,圖中角度i是點(xi, yi)和點(x, y)的連線與y 軸的夾角(以y 軸正向為基準，順時針方向夾角為正，而不考慮逆時針方向的夾角)，于是角度i的正切,i=1, 2, 3,,對DME測量得到的距離，顯然有,直接利用上面得到的4個等式確定飛機的坐標

3、x, y，這時是一個求解超定(非線性)方程組的問題，在最小二乘準則下使計算值與測量值的誤差平方和最小(越接近0越好)。,這是一個非線性(無約束)最小二乘擬合問題。,則需要求解,MODEL: SETS: VOR/1..3/: x, y, cita, sigma; ENDSETS DATA: x, y, cita, sigma = 74613932.813470.0140 6293750.787140.0105 15712595.393070.0227; x4 y4 d4 sigma4 = 155987864.32.0; ENDDATA ! XX,YY表示飛機坐標; min = sum(VOR:

4、sqr((xx-x)/(yy-y) - tan(cita)) ) + sqr(d4 - sqrt(sqr(xx-x4)+sqr(yy-y4)) ); END,很容易寫出其LINGO程序如下：,求解該模型得到的解為(只列出部分結果)：,Local optimal solution found. Objective value: 128.0226 Variable Value Reduced Cost XX 243.4204 0.1315903E-08 YY 126.3734 0.000000,顯然，這個解的目標函數值很大

5、(128.0226), 因此我們懷疑是一個局部最小點。用“LINGO|OPTIONS”菜單命令啟動“Global Solver”選項卡上的“Use Global Solver”選項，然后求解，可以得到全局最優(yōu)解如下：,Global optimal solution found. Objective value: 0.7050440E-03 Variable Value Reduced Cost XX 980.6926 0.000000 YY 731.5666 0.000000,這個解的目標函數值很小(0.000705)，飛機坐標

6、為(980.6926，731.5666)。,模型2及求解,注意到這個問題中角度和距離的單位是不一致的(角度為弧度，距離為公里)，因此將這4個誤差平方和同等對待(相加)不是很合適。并且，4種設備測量的精度(誤差限)不同，而上面的方法根本沒有考慮測量誤差問題。如何利用測量設備的精度信息？這就需要看你對例中給出的設備精度如何理解。 一種可能的理解是：設備的測量誤差是均勻分布的。以VOR1為例，目前測得的角度為161.20，測量精度為0.80，所以實際的角度應該位于區(qū)間161.20-0.80，161.20+0.80內。對其他設備也可以類似理解。由于很小，即測量精度很高，所以在相應區(qū)間內正切函數ta

7、n的單調性成立。,于是可以得到一組不等式：,(i=1, 2, 3),也就是說，飛機坐標應該位于上述不等式組成的區(qū)域內。例如，模型1中得到的目標函數值很小，顯然滿足測量精度要求，因此坐標(980.6926, 731.5666)肯定位于這個可行區(qū)域內。,由于這里假設設備的測量誤差是均勻分布的，所以飛機坐標在這個區(qū)域內的每個點上的可能性應該也是一樣的，我們最好應該給出這個區(qū)域的x和y坐標的最大值和最小值。于是我們可以分別以min x、max x、min y、max y、為目標，以上面的區(qū)域限制條件為約束，求出x和y坐標的最大值和最小值。,以min x為例，相應的LINGO程序為：,MODEL: Ti

8、tle 飛機定位模型2; SETS: VOR/1..3/: x, y, cita, sigma; ENDSETS,DATA: x, y, cita, sigma = 74613932.813470.0140 6293750.787140.0105 15712595.393070.0227; x4 y4 d4 sigma4 = 155987864.32.0; ENDDATA ! XX,YY表示飛機坐標; min=xx; for(VOR: (xx-x)/(yy-y) tan(cita - sigma) ); for(VOR: (xx-x)/(yy-y) sqrt(sqr(xx-x4)+sqr(yy

9、-y4)) ; END,用LINGO求解上述模型，LINGO系統(tǒng)返回的信息是這個模型沒有可行解。其實這顯然是一個不正確的信息，可能只是由于求解空間太大，LINGO沒有找到可行解。其實，我們可以想象這個問題的可行解大致就該在模型1中得到的最優(yōu)解附近，因此可以把這個解作為初始值告訴LINGO。例如，在上面程序中增加以下三行：,INIT: xx, yy = 980.6926, 731.5666; ENDINIT,此時求解，馬上就得到XX的最小值為974.8424。類似地（只需要換換目標函數就可以了），可得到XX的最大值為982.2129，YY的最小值為717.1587，YY的最大值為733.1944

10、。 因此，最后得到的解是一個比較大的矩形區(qū)域，大致為975，982717，733。,模型3及求解,模型2得到的只是一個很大的矩形區(qū)域，仍不能令人滿意。實際上，模型2中假設設備的測量誤差是均勻分布的，這是很不合理的。一般來說，在多次測量中，應該假設設備的測量誤差是正態(tài)分布的，而且均值為0。本例中給出的精度i可以認為是測量誤差的標準差(也可以是與標準差成比例的一個量，如標準差的3倍或6倍等)。 在這種理解下，用各自的誤差限i對測量誤差進行無量綱化(也可以看成是一種加權法)處理是合理的，即求解如下的無約束優(yōu)化問題更合理：,其中,i=1, 2, 3,,由于目標函數是平方和的形式，因此這是一個非

11、線性最小二乘擬合問題。相應的LINGO程序為(仍然將迭代初值告訴LINGO)：,MODEL: TITLE 飛機定位模型3; SETS: VOR/1..3/: x, y, cita, sigma; ENDSETS DATA: x, y, cita, sigma = 74613932.813470.0140 6293750.787140.0105 15712595.393070.0227; x4 y4 d4 sigma4 = 155987864.3 2.0; ENDDATA INIT: xx, yy = 980.6926, 731.5666; ENDINIT,! XX,YY表示飛機坐標; !min

12、 = sum(VOR: sqr(((xx-x)/(yy-y) - tan(cita))/sigma) ) + sqr((d4 - sqrt(sqr(xx-x4)+sqr(yy-y4)))/sigma4 ); min = sum(VOR: (((xx-x)/(yy-y) - tan(cita))/sigma)2 ) + ((d4 - ((xx-x4)2+(yy-y4)2).5 )/sigma4 )2; END,Global optimal solution found. Objective value: 2.600539 Model Title: 飛機定位模型3 Variable Value Reduced Cost XX 980.2106 0.000000 YY 727.3056 0.000000,計算結果為：,即飛機坐標為(980.21, 727.31)，這個解對應的目標函數值大約為2.6。,這個誤差為什么比模型1的大很多？這是因為模型1中使用的是絕對誤差，而這里使用的是相對于精度i的誤差。分母i很小，所以相對誤差比絕對誤差大，這是可以理解的。其實，可以認為此時的目標函數是四個標準正態(tài)分布的誤差平方和，只要在4以內都是合理的。,