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1、第2課時 指數冪及運算,一、分數指數冪的意義,0,沒有意義,判斷：(正確的打“”，錯誤的打“”) (1)只要根式有意義，都能化成分數指數冪的形式.( ) (2)分數指數冪 可以理解為 個a相乘.( ) (3)0的任何指數冪都等于0.( ),提示：(1)正確.引入分數指數冪之后,任何有意義的根式都能 化成分數指數冪的形式, 即 (2)錯誤.分數指數冪 不可以理解為 個a相乘.事實上，它 是根式的一種新寫法. (3)錯誤.因為0的負指數冪無意義，所以此說法是錯誤的. 答案：(1) (2) (3),二、有理數指數冪的運算性質 (1)aras=____(a0,r,sQ). (2)(ar)s=___

2、(a0,r,sQ). (3)(ab)r=____(a0,b0,rQ).,ar+s,ars,arbr,思考：在有理數指數冪的運算性質中，為什么要規(guī)定a0? 提示：(1)若a=0，0的負數指數冪無意義, (ab)r=arbr，當r0時不成立，a0. (2)若a0，(ar)s=ars也不一定成立,如 a0時不成立.因此規(guī)定a0.,三、無理數指數冪 無理數指數冪a(a0,是無理數)是一個確定的_____,有理 數指數冪的運算性質對于無理數指數冪_________. 思考：為什么在規(guī)定無理數指數冪的意義時，必須規(guī)定底數 是正數？ 提示：底數大于零是必要的，否則會造成混亂，如a=-1,則 (-1)是1還是

3、-1就無法確定了，規(guī)定后就清楚了.,實數,同樣適用,【知識點撥】 1.“三角度”理解分數指數冪 (1)角度一：與根式的關系. 分數指數冪是根式的另一種寫法，根式與分數指數冪可以相 互轉化. (2)角度二：底數的取值范圍. 由分數指數冪的定義知a0， 可能會有意義.當 有意義 時可借助定義將底數化為正數，再進行運算.,(3)角度三：運算性質. 分數指數冪的運算性質形式上與整數指數冪的運算性質完全一樣.記憶有理數指數冪的運算性質的口訣是：乘相加，除相減，冪相乘.,2.關于指數運算性質的四點說明 (1)無理數指數冪的運算性質是有理數指數冪運算性質的推廣. (2)運算性質的形式要掌握，它是化簡的基礎.

4、 (3)運算性質可以逆用.如amn=(am)n=(an)m(a0). (4)要會用文字語言來敘述運算性質.,3.對無理數指數冪的理解 (1)無理數可以作為指數，并且它的結果是一個實數. (2)無理數指數冪是一個確定的實數，所以能進行指數的運算，也能進行冪的運算，有理數指數冪的運算性質，同樣也適用于無理數指數冪.類比有理數指數冪的運算性質可以得到無理數指數冪的運算性質.對任意的實數r,s,均有下面的運算性質：aras=ar+s(a0,r,sR). (ar)s=ars(a0,r,sR). (ab)r=arbr(a0,b0,rR).,類型 一 根式與分數指數冪的互化 【典型例題】 1.下列互化中正確

5、的是( ) A. (x0) B. (y<0) C. (x,y0) D. 2.將 化為分數指數冪的形式是______.,【解題探究】1.分數指數冪的底數a0時成立嗎？如何處理？ 2.根式中的根指數和被開方數(式)的指數與分數指數冪有怎樣的對應關系？,探究提示： 1.由分數指數冪的定義知a0， 可能會有意義，當 有意 義時可借助定義將底數化為正數,再進行運算，如 等. 2.根指數 分數指數的分母，被開方數(式)的指數 分數指 數的分子.,【解析】1.選C. 故選項A不正確；選項B中，y<0， 故 選項B也不正確； 故選項D不正確. 2. 答案：,【互動探究】若將

6、題2變?yōu)? 又如何化為分數指數冪的 形式呢？ 【解析】,【拓展提升】根式與分數指數冪互化的規(guī)律 (1)根指數 分數指數的分母， 被開方數(式)的指數 分數指數的分子. (2)在具體計算時,通常會把根式轉化成分數指數冪的形式,然 后利用有理數指數冪的運算性質解題.,【變式訓練】 等于( ) A. B. C. D.2 【解析】選C.,類型 二 利用分數指數冪的運算性質化簡求值 【典型例題】 1.計算： =______. 2.化簡：,【解題探究】1.對于指數冪中指數、底數是負數，或是小數的應如何化簡？ 2.對于根式中含有多重根號的題目應如何處理? 探究提示： 1.負指數化成正指

7、數，小數指數化成分數指數，底數是負數，先確定符號，底數是小數，先要化成分數，然后要盡可能用冪的形式表示，便于用指數運算性質. 2.含有多重根號的題目，可以由內到外逐一化分數指數冪，邊運算邊化簡；或都先化成分數指數冪，再進行冪的運算.,【解析】1.原式= 答案： 2.原式=,【拓展提升】 1.冪的運算的常規(guī)方法 (1)化負指數冪為正指數冪; (2)化根式為分數指數冪; (3)化小數為分數進行運算. 2.分數指數冪及根式化簡結果的具體要求 利用分數指數冪進行根式計算時，結果可化為根式形式或保留分數指數冪的形式，不強求統(tǒng)一用什么形式，但結果不能既有根式又有分數指數冪，也不能同時含有分母和負指數.,【

8、變式訓練】化簡 【解析】原式=,類型 三 指數冪運算的條件求值 【典型例題】 1.x-2+x2= 且x1，則x2-x-2的值為( ) A.2或-2 B.-2 C. D.2 2.已知x+y=12，xy=9x，且x

9、= 2.由x+y=12及xy=9x得x(12-x)=9x， 所以 或 當 時， 當 時，,【拓展提升】條件等式求值的原則和方法技巧 (1)原則：對于條件等式的求值問題，可以把所要求的式子先進行變形，找出與條件等式的聯(lián)系，然后求值. 也可以先對條件加以變形，使它與所要求的式子的聯(lián)系更加明顯，從整體上把握代數式的結構特點，然后求值. (2)方法技巧：乘法公式在分數指數冪當中的應用及“整體代換”的技巧、換元思想.,【變式訓練】已知 =0，求yx的值. 【解題指南】解決本題的關鍵是根據已知條件，求出x,y的值. 【解析】由 =0得，|x-1|+|y+3|=0，所以 x=1，y=-

10、3，yx=(-3)1=-3.,根式與分數指數冪的應用 【典型例題】 1. 從小到大的排列順序為______. 2在 中最大的數是______.,【解析】1. 121<123<125， 即 答案： 2 所以最大的數是 答案：,【拓展提升】根式大小比較的一般方法 (1)根指數相同時，不論根指數是奇數還是偶數，根式的大小取決于被開方數的大小. (2)根指數不同時，應先化成統(tǒng)一的根指數，再進行大小比較.,【易錯誤區(qū)】根式化簡時忽視符號致誤 【典例】化簡 =( ) A. B. C.(a-1)4 D.,【解析】選B.要使原式有意義，則a-10.,【類題試解】化

11、簡： =______. 【解析】由 知,-a0,a0,故a-10， 所以 答案：,【誤區(qū)警示】,【防范措施】 1.注意隱含條件的挖掘 要關注條件中有無隱含條件，在出現根式時，要注意是否是偶次方根，被開方數是否符合要求，如本例中是四次方根，則必須(a-1)30，即a-10. 2.準確應用公式和性質 對于公式和性質要記住且要記準.如本例根式與分數指數冪的互化公式，以及分數指數冪的運算性質.,1若a0，且m,n為整數，則下列各式中正確的是( ) A.aman= B.aman=am+n C.(am)n=am+n D.1-an=a0-n 【解析】選B.同底數冪相乘，底數不變，指數相加，所以aman=am+n正確.,2. 可化為( ) A. B. C. D. 【解析】選A.當根式化分數指數冪時，注意分子與分母，,3.若10 x=3,10y=4,則10 x-y=______. 【解析】 答案：,4. 的值是______. 【解析】 答案：,5.求值： (1) (2),【解析】(1) (2),